上海 同济大学第二附属中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题

21．若正数x，y满足x4xy40，则xy的最小值是（ ）

A．3 B．

45 5C．2

D．

6 22．已知正数x，y满足20x21yxy，则A．2

B．3

xy的最小值为（ ） 2120C．4

D．5

3．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为p1、

p2p1p2，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）

A．甲

B．乙

C．甲、乙一样

D．无法确定

4．若a,bR，且ab0，则下列不等式中恒成立的是（ ） A．a2b22ab

B．ab2ab

C．

112 ababD．

ba2 ab5．已知A(1,0),B(1,0)，点M是曲线x1y2上异于B的任意一点，令

MAB,MBA，则下列式子中最大的是（ ）

A．|tantan|

B．|tantan|

C．|tantan|

D．

tan tan6．已知不等式ax22y2xy，若对于任意x[1,2],y[2,3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）. A．a3

B．a1

C．a1 8D．1a1 87．当x4时，不等式xA．m8

4m恒成立，则m的取值范围是（ ） x4C．m8

D．m8

2B．m8

8．若不等式|xa|b2xxA．-1

B．0

0对任意实数x恒成立，则ab（ ）

C．1

D．2

9．两个正实数a，b满足3a，实数m的取值范围是（ ） A．4,3

1312，b成等差数列，则不等式m4m恒成立时2abC．6,2

D．3,4

B．2,6 10．若关于x的不等式x2pxq0的解集为{x|2x3}，则关于x的不等式

x2pxq0的解集是（ ） 2x2x8A．2,3 C．2,2B．,23,4

4ab ab4,

D．,22,34,

B．ab11．已知0a1，b1，则下列不等式中成立的是（ ） A．ab2ab abC．2a22b22ab D．ab2a22b2 x23y12．已知x0，y0，x2y3，则的最小值为（ ）

xyA．322

B．221

C．21

D．21

参考答案

二、填空题

13．已知正实数a，b满足ab2ab1，则8a8b1的取值范围为_________． ab4xyy2x216xya,ab14．定义ab，若x,y0，则的最小值22b,abx16y____________.

2x115．已知函数f(x)x1，如果对任意t∈R，f（3t2+2t）+f（k2﹣2t2）＜0恒成立，

22则满足条件的k的取值范围是_____．

16．已知函数f(x)xaxb，对任意的x[0,4]，都有f(x)2，则

2ab=________.

17．有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积

2为______m(围墙厚度不计)．

18．已知x,y为正实数，且x4y19．若关于x的方程________

20．已知函数f(x)x33x，若对任意的实数x，不等式f(xt)f(x)t(t0)恒成立，则实数t的取值范围__________．

11m，则m的最小值为___________. xy的两根都大于2，则m的取值范围是

三、解答题

y，，zw，如果xwyz，那么称x，w的“下位序对”． y是z，21．对于四个正数x，37，11，试求2，7的“下位序对”； （1）对于2，，bcd均为正数，且a，b是c，d的“下位序对”，试判断（2）设a，，，的大小关系.

caac，，之间dbbd

22．设函数f(x)x2(m1)xm(mR). （1）求不等式fx0的解集；

（2）若当x[0,4]时，不等式fx40恒成立，求m的取值范围.

23．已知命题p：方程x2mx40无实数根：命题q：不等式xm3x10在

2xR上恒成立.

（1）如果命题p是假命题，请求出实数m的取值范围；

（2）如果命题pq为真命题，且命题pq为假命题，请求出实数m的取值范围.

224．已知函数fxx2ax，xR，aR.

1当a1时，求满足fx0的x的取值范围； 2解关于x的不等式fx3a2；

3若对于任意的x2,，fx1均成立，求a的取值范围．

25．已知关于x的不等式ax25xc0的解集为x1x.

14（1）求a，c的值；

（2）解关于x的不等式axacbxbc0.

2

26．设x0，y0，xyx4ya，其中a为参数. （1）当a0时，求xy的最小值； （2）当a5时，求xy的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A

解析：A 【分析】

4x2首先条件变形为y0，代入xy后利用基本不等式求最小值.

4x【详解】

4x2x0,y0，x4xy40y0，解得：0x2

4x24x23x13x1xyx23，

4x4x4x当

3x123，即x时等号成立， 4x3即xy的最小值是3. 故选：A 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

2．C

解析：C 【分析】

2021xyxy20211，再，运用基本不等式可得选项． 由已知得yx21202120yx【详解】

由20x21yxy得

20211， yxxyxy202120x21y20x21y222224， 21202120yx21y20x21y20x20x21y20211，即x42,y40.时，等号成立. 当且仅当且yx21y20x故选：C. 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3．B

解析：B 【分析】

分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】

对于甲方案，设每年购买的数量为x，则两年的购买的总金额为p1xp2x， 平均价格为

p1xp2xp1p2； 2x2yy， p1p2对于乙方案，设每年购买的总金额为y，则总数量为

2y平均价格为yp1yp22p1p2p1p2.

22pp22p1p2p1p24p1p2p1p2因为10，所以，2p1p22p1p22p1p2p1p22p1p2. 2p1p2因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】

方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商

4．D

解析：D 【分析】

利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】

对于A，a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立，故A错误；

对于B、C，虽然ab0，只能说明a,b同号，若a,b都小于0时，则不等式不成立，故B，C错误；

对于D，ab0，,确； 故选：D.

baba0，2，当且仅当ab时，等号成立，故D正

abab【点睛】

易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

5．C

解析：C 【分析】

化简曲线为xy1(x1)，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】

设直线MA，MB的斜率分别为k1,k2，M(x1,y1)，则k1tan,k2tan， 对A，|tantan||对B，C，

22y1y1|1； x11x11tan0,tan0，|tantan||tantan|，

|tantan||tan对D，

1|2， tank1小于双曲线渐近线的斜率，tantan21， tan|tantan|最大，

故选：C. 【点睛】

通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.

6．B

解析：B 【分析】 将a分离出来得ayyy2()2，然后根据x[1，2]，y[2，3]求出的范围，令xxxy，则at2t2在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t2t2的最大值，即可x求出a的范围． 【详解】 t解：由题意可知：不等式ax2yxy对于x[1,2],y[2,3]恒成立， 即：ayy2()2，对于x[1,2],y[2,3]恒成立， xx22y2y即：a2()，对于x[1,2],y[2,3]恒成立，

xmaxxyy，结合图形可知的取值范围是(1,3)，则1t3， xxat2t2在[1，3]上恒成立，

令t11y2t2t2(t)2，1t3，

48当t1时，ymax1，

a1.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键，还需要注意换元时新元的范围，属于中档题.

7．A

解析：A 【分析】 由题可得x【详解】

解：∵x4，∴x40， ∴x44x44，且x40，利用基本不等式解答即可． x4x4444x442(x4)48 x4x4x44，即x6时取等号， x44m恒成立， x4当且仅当x4∵当x4时，不等式x∴只需mx48． x4min∴m的取值范围为：(,8]． 故选A． 【点睛】

本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出x题．

44x44，属于一般x4x48．D

解析：D 【分析】

可采用分类讨论法，分别讨论2xx2与xab的正负，确定a,b之间的关系即可求解. 【详解】

当2xx20时，即x0,2时，|xa|b0恒成立，

2,时，|xa|b0恒成立

所以baxba恒成立，所以ab2且ab； 当2xx20时，即x,0综上，ab2 故选：D 【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题

所以xab或xab恒成立，所以ab2且ab，

9．C

解析：C 【分析】

由题意利用等差数列的定义和性质求得13ab，再利用基本不等式求得题意，m24m12，由此求得m的范围． 【详解】 解：

两个正实数a，b满足3a，

112，根据ab1，b成等差数列， 213ab，123ab，ab1112． ，12ab不等式即

1a33abm24m恒成立，即m24m恒成立， bab1m24m恒成立． abm24m12，求得6m2，

故选：C． 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．

10．D

解析：D 【分析】

根据关于x的不等式xpxq0的解集为{x|2x3}，利用韦达定理得到

2x2pxqx25x6p5,q6，则不等式20转化为 20，再利用穿根法求解.

x2x8x2x8【详解】

因为关于x的不等式xpxq0的解集为{x|2x3}， 所以由韦达定理得：p5,q6，

2x2pxqx25x6所以20，即为20，

x2x8x2x8x2x30即为，即为x2x3x4x20

x4x2用穿根法得不等式的解集为：,2故选：D 【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.

2,34,，

11．D

解析：D 【分析】

本题先根据完全平方公式与基本不等式得到aba22abb24ab，所以排除选项A；再根据基本不等式化简得到2ab211ab2abab，所以排除选项B；接着根据基本

22不等式得到2ab22ab2ab，所以排除选项C；最后根据基本不等式得

到选项D正确. 【详解】

解：对于选项A：因为0a1，b1，

所以aba22abb24ab，故选项A错误； 对于选项B：2ab211ab2abab，故选项B错误；

22ab2ab，故选项C错误；

222对于选项C：2ab对于选项D：2a22b2a22abb2ab， 所以ab2a22b2，故选项D正确. 故选：D. 【点评】

本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.

12．B

解析：B 【分析】

把要求的式子变形为【详解】

已知x0，y0，x2y3，

x23yx2(x2y)yx2xy2y2x2yx2y121221， 则

xyxyxyyxyx22当且仅当x2y 时，即当x323，且yx2y1，再利用基本不等式求得它的最小值． yx632，等号成立， 2x23y故的最小值为122，

xy故选：B． 【点睛】

本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【分析】先根据正实数ab满足找到ab的关系及ab的范围然后把通换元法转化为函数求值域【详解】由得∴且∵∴∴∴则令则在上递减（因为）∴令则∴=在上单增∴故答案为：(69)【点睛】利用基本不等式求最值时 解析：6,9

【分析】

先根据正实数a，b满足ab2ab1找到a，b的关系及a，b的范围，然后把

8a8b【详解】

1通换元法转化为函数求值域． ab12a，且(a1)(b2)3． a1由ab2ab1得ab2ab1，∴b∵a0,b0，∴12a0，∴a则aba11∴0a．

22332a13， a1a13 2令ua1,u1,则abu3333在1,上递减，（因为3），

22u1． ∴ab，121t1， 令tab，则，2∴8a8b∴8a8b1111上单增， =8t在，abt216,9． ab故答案为：(6,9)． 【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．

14．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就

9解析：

4【分析】

换元判定单调性，利用基本不等式求解 【详解】

y4xyy22令t，则 在0,为增函数， 4tt2xxx216xy11在在0,为减函数， 2216y16tt从而111924tt， 216t2t41时取等号. 29故答案为：

4【点睛】

当且仅当t易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

15．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用

解析：k<-1或k>1.

【分析】

利用定义，先求出函数fx为单调减函数与奇函数，然后化简

f3t22tfk22t20得到t22tk2，然后利用不等式得恒成立条件求出答案

【详解】

12xx2x12x12对于函数fx，定义域为R，且fx1xfx，所x1x12222222x以，fx为奇函数，且对fx求导可得f'x0，则fx在xR时为减函数，

f3t22tfk22t20，可得f3t22tfk22t2，利用fx为奇函数

化简得f3t2tf2tk222，利用fx在xR时为减函数，得

23t22t2t2k2，化简得t22tk2恒成立，令gtt2t，则有

gtmaxk2，

而gtmaxg11，所以1k2，得到k1或k1 答案：k1或k1 【点睛】

本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题

16．；【分析】的最大值为由题意可得且且运用绝对值的解法和不等式的性质结合两边夹法则可得然后求出【详解】解：函数可得的最大值为而对任意的都有可得且且由可得可得则即有①由可得解得②由①②可得则即有又可得则故

解析：2； 【分析】

af(x)的最大值为maxf0,f4,f()，由题意可得|b|2，且|164ab|2，且

2|a24b|8，运用绝对值的解法和不等式的性质，结合两边夹法则可得a4，b2，然后求出ab．

【详解】

解：函数f(x)|x2axb|，x[0，4]， a可得f(x)的最大值为maxf0,f4,f()，

2aa2而f(0)|b|， f4|164ab|，f()|b|，

24对任意的x[0，4]，都有f(x)2，

可得|b|2，且|164ab|2，且|a24b|8，

8a24b88a24b8由可得，

184ab147216a4b56可得80a216a48，则16(a8)216， 即有12a4，① 由84b8可得16a216，解得4a4，② 28a4b8由①②可得a4， 则|164b|8，即有2b6， 又2b2，可得b2， 则ab2， 故答案为：2． 【点睛】

本题考查含绝对值的函数的最值求法，以及函数恒成立问题解法，注意运用对称轴与区间的关系，以及绝对值的解法和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

17．8100【分析】设小矩形的高为把面积用表示出来再根据二次函数的性质求得最大值【详解】解：设每个小矩形的高为am则长为记面积为则当时所围矩形面积的最大值为故答案为8100【点睛】本题考查函数的应用解题

解析：8100 【分析】

设小矩形的高为acm，把面积用a表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【详解】

解：设每个小矩形的高为am，则长为b213604am，记面积为Sm2 3则S3aba3604a4a360a(0a90)

当a45时，Smax8100m2 所围矩形面积的最大值为8100m2

故答案为8100． 【点睛】

本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题．

18．3【分析】利用已知条件结合1代换构造进而应用基本不等式求最值即可求的最小值；【详解】知：当且仅当等号成立∴即有故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值根据已知条件构造基本不等式形式求最值然

解析：3 【分析】

利用已知条件，结合“1”代换构造最值，即可求m的最小值； 【详解】

x4y1154yx()，进而应用基本不等式求mxymmxmyx4y11m0知：xyx54yx9x4y1154ym2当且仅当2yx等号成mmxmymmxymmxmy立，

∴m29，即有m3， 故答案为：3 【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值，根据已知条件构造基本不等式形式求最值，然后求参数范围；

19．；【详解】令由条件可得：解得：

解析：(5,4]； 【详解】

令f(x)x(m2)x5m，

2f(2)042(m2)5m0bm222由条件可得： 2a222(m2)4(5m)0b4ac0解得：(5,4]

20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：4,

【分析】

代入函数解析式可得不等式等价于3x23txt240任意的实数x恒成立，利用判别式

小于0即可求解. 【详解】

f(x)x33x，不等式f(xt)f(x)t(t0)恒成立，

即xt3xtx33xt恒成立， 整理得3tx233t2xt34t0恒成立，

40任意的实数x恒成立，

0，解得t4（舍去）或t4，

43t24可知t0，则3x23txt23t2实数t的取值范围是4,.

故答案为：4,. 【点睛】

本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.

三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无