解
大一高等数学期末考试试卷 (一)一、选择题(共12分)
x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx，,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1fhf(3)(3),,,2. (3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h
1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2
,223. (3分)定积分的值为( ). 1cos,xdx,,,2
(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).xx,fx()fx()0(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题(共12分)23x1((3分)平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy为.
124(sin)xxxdx，,2. (3分) . ,,1 12xlimsin3. (3分) = . x,0x 324. (3分)的极大值为. yxx,,23 三、计算题(共42分)
xxln(15)，lim.1. (6分)求2x,0sin3x xe,y,,2. (6分)设求y. 2x，1 2xxdxln(1).，3. (6分)求不定积分,
x,3,1,x,,fxdx(1),,4. (6分)求其中()fx,1cos，x,,0x,1,1.ex，,,1
yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求edttdt，,cos0yfx,()dy.,,0026. (6分)设求fxdxxC()sin,,，fxdx(23).，,,
n3,,7. (6分)求极限lim1.，,,,,nn2,, 四、解答题(共28分)
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,1. (7分)设且求fxx(ln)1,,，f(0)1,,fx().
,,,,2. (7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋 xxyxxcos,,,,,,22,, 转体的体积.
323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,，,32419 4. (7分)求函数在上的最小值和最大值. [5,1],yxx,，,1 五、证明题(6分)
,,设在区间上连续,证明fx()[,]ab
bbba,1,, fxdxfafbxaxbfxdx()[()()]()()().,，，,,,,aa22 (二)
一、填空题(每小题3分，共18分)
2x,1x,1，，fx,，，1(设函数，则是的第类间断点. fx2x,3x， 则. y,y,ln1，x x2 x，1,,( 3 . ,lim,,x,, x,,
11,,y,4(曲线在点处的切线方程为. ,2,,x2,, 32,,,1,45(函数在上的最大值，最小值. y,2x,3x xarctandx,6(. ,21，x
222,，，2(函数，二、单项选择题(每小题4分，共20分) 1(数列有界是它收敛的( ) . ,,xn必要但非充分条件;充分但非必要条件;，，，，A B
充分必要条件;无关条件.，，，，C D 2(下列各式正确的是( ) .1,x,xxdx,，C; ;ln，，edx,e，C，，A B ,,x
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111，，dx,ln1,2x，Cdx,lnlnx，C; .，，，，C D ,,xlnx1,2x2,,,3(设在上，且，则曲线在
上.，，，，，，，，,,,,fxa,bfx,0fx,0y,fxa,b
沿轴正向上升且为凹的;沿轴正向下降且为凹的;，，，，A xB x，，沿轴正向上升且为凸的;，，沿轴正向下降且为凸的. C xD x
x,04(设，，，则，，在处的导数( ). fx,xlnxfx 1,1，，，，等于;等于; A B 0，，，，等于;不存在. C D
，，limfx,25(已知，以下结论正确的是( ).，x,1
x,1x,1，，，，，，函数在处有定义且;函数在处的某去心邻域内有定义;Af1,2B
x,1x,1，，，，函数在处的左侧某邻域内有定义;函数在处的右侧某邻域内有定义. C D三、计算(每小题6分，共36分)
12limsinx1(求极限:. x,0x 2,，，2.已知，求. yy,ln1，x sinx，，3.求函数x,0的导数. y,x 2xdx4. . ,21，x xcosxdx5. . ,
11yx,，，y,fx6.方程确定函数，求y. y,x 3
22x四、(10分)已知为的一个原函数，求.，，，，xfxdxefx, ,x五、(6分)求曲线的拐点及凹凸区间. y,xe
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x,，，六、(10分)设，，，求. fxdx,xe，1，C，，fx, (三)
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分). 112xlim(cosx)e,x0(1) =_____________.
y,xlnxx,y，1,0y,x,1(2)曲线上与直线平行的切线方程为 _________.12(lnx)x,x,f(x),f(x),f(1),0f(e),xe2(3)已知，且,则 ___________ .2x11y,x,.y,393x，1(4)曲线的斜渐近线方程为
_________7522y222,y,(x，1)，C(x，1).yx,,，(1)3x，1(5)微分方程的通解为_________
二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分). (1)下列积分结果正确的是( D ) 1111dx,0dx,,2,,2,,11xx(A) (B)
，,1，,1,，,dx,，,dx,4,11xx(C) (D) f(x)[a,b]f'(x)(2)函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则( D ). x,x12(A)都是极值点. y
，，，，x,f(x),x,f(x),1122y,f(x)(B)都是拐点. ，，xx,f(x)122(C)是极值点.，是拐点.
，，x,f(x)xax1121(D)是拐点，是极值点. xObx2图1-1 xxx,2yCCx,，，eee12(3)函数满足的一个微分方程是( D ). xx,,,,,,yyyx,,,23e.yyy,,,23e.(A) (B) xx,,,,,,yyyx，,,23e.yyy，,,23e.(C) (D)
fxfxh,,，，，，00limxh,f(x)00h(4)设在处可导，则为( A ). ,,fx,fx，，，，00(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在.
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(5)下列等式中正确的结果是( A ). 4
,(())().fxdxfx,dfxfx()().,,,(A) (B) ,dfxdxfx[()]().,fxdxfx()().,,,(C) (D)
三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分). x1lim(,)x,1xx,1ln1(求极限.
xlnx,x，1x1limlim(,)x,1x,1(x,1)lnxxx,1ln解= 1分 lnxlimx,1x,1，lnxx = 2分 xlnxlimx,1x,1，xlnx = 1分 1lnx1，lim,x,11lnx12，，= 2分
2x,lnsint,dydy,2y,cost，tsinty,xdxdx2.方程确定为的函数，求与.,dyy(t),,tsint,,dxx(t)解(3分)
2,dy(tsint),,sinttant，tsint.2,x(t)dx (6分) arctanxdx,xx(1)，3. 4.计算不定积分.
arctanarctanxx解:分dxdx,,,,,,,,,,,,22,,(1)，xxx(1)， =2arctanarctan2xdx,,,,,,,分, 2()分=arctan2xC，,,,,,,,,, 3xdx,01，1，x4.计算定积分.
33,，xx(11x)3,dxdx,,(1,1，x)dx,,00,,x，，11x0解(3分) 332523(1),,，，x,330 (6分) 1，x,t(或令) (四)
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一(填空题(每小题4分，5题共20分): 5
112xxlim()ex,,2e,x1( . 0
14xx,2005xxeedx1，,,，，，，,,1e2(.
xy，dy2t,,edtx,x,0,yyx,()1e,13(设函数由方程确定，则. dx
x12xtftdtfx()(),2,，，，，fxfx,f(0),11e4.设可导，且，，则.二(选择题(每小题4分，4题共16分):
xf(x),lnx,，k(0,，,)k,0e1(设常数，则函数在内零点的个数为( B ).(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
,,y，4y,3cos2x2(微分方程的特解形式为( C ) ,,yAx,cos2yAxx,cos2(A); (B); *,yAxxBxx,，cos2sin2y,Asin2x(C); (D) 3(下列结论不一定成立的是( A )
db，，，，fxdx,fxdx,,,,,,c,d,a,bca(A) (A)若,则必有; bfxdx,0，，,,,a,bf(x),0a(B) (B)若在上可积,则;
，，fxaT(C) (C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有 a，TT，，，，fxdx,fxdx,,0a;
xtftdt，，,，，fx0(D) (D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.1x1，e，，fx,1 xf(x)x,02，3e4.设,则是的( C ).
(A)连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)无穷间断点.三(计算题(每小题6分，5题共30分):
223,xxedx,1(计算定积分. 0
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112222,x,t,t23,设x,t则xedx,tedt,,tde,,,00022解: -------22，， 21,t,t,,te,edt,,,002，，-------2 2113,2,t,2,,e,e,,e0222 --------2 sinxxdx5,cosx2(计算不定积分. 6
xsinx111xdx，，dxxd(),,,5444,,,,,cosx4cosx4cosxcosx，，解: --------3x12,,(tanx，1)dtanx4,4cosx4
x113,,tanx,tanx，C44cosx124 -----------3
x,a(t,sint),,,,t,y,a(1,cost),2,3(求摆线在处的切线的方程. ,(a(,1),a)2解:切点为-------2 asintdy,,k,,a(1,cost)dxt,t,22,1 -------2
,,y,a,x,a(,1)y,x，(2,)a22切线方程为即. -------2
x2F(x),cos(x,t)dt22,,F(x),2xcosx,(2x,1)cos(x,x)04.设，则. nnnnn(，1)(，(2)x,limxnn,,nn5(设，求.
ni1xln,ln(1，),nnn,1i解: ---------2
n1i1limlnx,limln(1，),ln(1，x)dx,n,0,,,,nnnn,1i --------------2111xln(1，x),xdx,2ln2,10,01，x = ------------2
42ln2,1e,limxn,,ne故=
标准答案2)(，一、1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 23二、1 2 3 0; 4 0. yx,，1;; 3
xx,55三、1解原式6分,,lim2x,033x
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3)？
xex2lnlnln(1),？yx,,,，2解2分212x， xex12,？,,y[] 4分22xx，，121 122,，，ln(1)(1)xdx3解原式3分,2 7
12x222 2分,，，,，,[(1)ln(1)(1)]xxxdx,221， 1222 1分,，，,，[(1)ln(1)]xxxC 2
4解令则2分xt,,1, 32 1分fxdxftdt()(),,,,01
12tt 1分,，，(1)dtedt,,,111cos，t t2 1分,，，0[]et1 2 1分,,，ee1
y,5两边求导得2分eyx,，,cos0, cosx, 1分？y,,ye cosx 1分, sin1x,
cosx 2分？,dydxx sin1x,
1fxdxfxdx(23)(23)(22)，,，，6解2分,,2 12,，，sin(23)xC 4分2
23n,3323,,2lim1，7解原式= =e 6分,,n,,n2,,
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tt,四、1解令ln,xt,则3分xefte,,，,()1, ttftedt()(1),，teC，，.= 2分, ？fC(0)1,0,,？, 2分 x 1分？,，fxxe(). 8
,222解3分Vxdx,,cosx,,,2 ,22 ,2cos,xdx 2分,0 2, 2分,. 2
2,,,3解1分yxxyx,,，,,3624,66, ,,x,1.令得1分y,0,
,,,,,,,,x11,,，,x当时,当时, 2分y,0;y,0, 为拐点, 1分？(1,3)
该点处的切线为2分yx,，,321(1). 1211,,x,y,,,1,4解2分 2121,,xx
3,x,.令得1分y,0, 4
35,,yyy(5)56,2.55,,(1)1,,,,，,,,, 2分,,44,,
35,,y,.y(5)56,,,,，最小值为最大值为2分？,,44,,五、证明 bb,,,()()()()()()xaxbfxxaxbdfx,,,,, 1分,,aa
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bb,,,,,,,，[()()()]()[2()xaxbfxfxxabdx 1分,aa b,,,，[2()()xabdfx 1分,a
bb,,,，，[2()]()2()xabfxfxdx 1分,,,aa b,,,，，()[()()]2(),bafafbfxdx 1分,a 移项即得所证. 1分 9
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