正弦定理和余弦定理导学案及习题

一、学习目标：

1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题.

二、教学重点与难点

重点： 正弦定理的探索和简单应用。难点： 探索过程的组织和引导。三、教法与建议

学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】

1、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90°弧度制sinαcosαtanα

2、设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．（1)．角与角关系：_________，

（2）．边与边关系：a + b > c，_________，_________;

a－b < c，_________，_________．

3、解直角三角形（△ABC中，∠C＝90°，每小题6分，共24分）：1．已知：c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b．2．已知：a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c.3．已知：a＝6，b＝2，求 ∠A、∠B、c.

【构建新知】

【活动1】想一想：

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在RtABC中，设

BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,

A

则 b c

从而在直角三角形ABC中， C a B

(图1.1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？正弦定理：在一个三角形中，

_________________________________,即___________.思考：下列有关正弦定理的叙述正确的是：正弦定理只适用于锐三角形；正弦定理不适用于直角三角形；

在某一确定三角形中，各边与它对应的角的正弦的比是定值；在中，

【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由两边一角求出一角，能否由两角一边求出一边？

【例1】在中，已知a＝10，A＝45°，C＝75°，则b= .【例2】（1）在中,已知,求B.

【课中检测】

1、在中,,，则的外接圆半径为（　　　）

（A） （B）3 （C） （D）6

2、在中，已知下列条件，解三角形（边长精确到1cm）：(1)；(2) 。

3、在中，已知，且，求和．

4、在中,,，求。

【课后检测】1. 在中，，则

2.. 在中,已知，则的外接圆的半径是。3. 在中，，则AC=

4. 在中，根据下列条件解三角形：（1）（2）

5、在中，，求。

1.1.1 正弦定理（第二课时）

一、学习目标：

1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题.

二、教学重点与难点

重点： 正弦定理的探索和简单应用。难点： 探索过程的组织和引导。三、教法与建议

学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】

1. 在中，，求最短边的长度。2. 在中，，解三角形。【构建新知】

【活动1】利用等比、连比性质，正弦定理还有哪些变形？【例1】在中，一定成立的是（　　　）

（A）（B）（C）（D）

【例2】在中，角对应的边分别为.若，求角。【例3】在中，角对应的边分别为.若，则A． B. C. D. 不确定【课中检测】

1、在中，若a＞b，则 ，反之成立吗？2、在中，，则a:b:c等于

3、在锐角中，角对应的边分别为.若，求角。4、在锐角中，角对应的边分别为.且满足，求角

【课后检测】

1、根据下列条件，解:(1)已知；(2) 已知.

2、在锐角中，角对应的边分别为.若，求角。3、的内角所对应的边分别是，已知，求的大小。4、在中，若，则求角B。

5、的内角所对应的边分别是，已知，求的大小。

1.1.2 余弦定理（第一课时）

一、学习目标：

以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。

二、教学重点与难点

重点：余弦定理的推导过程及运用；难点： 余弦定理的灵活运用。三、教法与建议

学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序【课前诊断】

1、不查表求的值。2、在中,,，求。

【引导探究，获得新知】

【活动1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？

如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, C

边c。 b a

A c B

(图1.1-4)

余弦定理：即:

【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

【活动3】让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

【活动4】讨论余弦定理有哪些作用？例1．在中，一定成立的是（　　　）（A） （B）（C） （D）例2．在中，已知，则的值为　　　　　　　　．例3.在中，已知，求角

【课中检测】1.在中，已知，求

2、在 中，已知解三角形．

3、在中，如果，那么等于（　　　）

（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

4、在中，已知下列条件，解三角形（角度精确到0.1度，边长精确到0.1厘米）(1)(2)

【课后检测】

1. 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，求另一边长。2、在中，已知，求3、在中，已知，求

4、的内角所对应的边分别是，若，则。5、在中，已知，求

6．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的各角的余弦值

1.1.2 余弦定理（第二课时）

一、学习目标：

以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。

二、教学重点与难点

重点：余弦定理的推导过程及运用；难点： 余弦定理的灵活运用。三、教法与建议

学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序【课前诊断】

1、在中，已知，解三角形

2、已知△ABC的三边长，则△ABC的各角【引导探究，获得新知】

【活动1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？

如图1.1-3，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, C

BC的面积。 b a

A c B

(图1.1-3)

例1、在中,已知,，求的面积。例2、已知锐角

的面积为，，，则角大小为

（A）

（B） （C） （D）中，角、、

的对边分别为、、，若，则

的形状一定是 （ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 形

【课中检测】

D．等腰直角三角例3、在1、在中，，求的面积。

2、的内角所对应的边分别是，已知，求的面积。

3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是(　　)A. B．2C. D．24、在中，角所对的边为，已知（1）求的值；（2）若的面积为，求

的值

5、△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D三角形

6、已知：在⊿ABC中，

，则此三角形为

A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

【课后检测】1、在

．锐角中，根据下列条件，求三角形的面积：（1）已知 (2) 已知2、已知锐角的面积为，，，则角

大小为

3、在锐角中，内角所对应的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积。4、在中，角、、

的对边分别为、、，若，则

的形状一定是 （ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形5、在中，角、、

的对边分别为、、，若，则

的形状为 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

1.2 正余弦定理实际应用

一、学习目标：

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.

二、教学重点与难点

重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

三、教法与建议

学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】

1、中，则等于（ ）

A B C D 2、在中，B=，C=

，c=1，则最短边长为（ ）A．

B． C． D．

3、在中，，则（　　）

A. B.或 C. D.4、在中，角所对的边分别是，且

，则

（A） （B） （C） （D）

5、在△中，角所对的边分别为，已知，，．（I） 求的值；（II）求的值．

【构建新知】

【活动1】阅读课本相关内容，认识实际测量中的有关名词和术语：

铅锤平面：坡角：坡比：视角：

仰角和俯角：方向角：方位角：【课中检测】

例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

例2 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

例3 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问

题请你解决：如图6-33，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

例4 如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？【课后检测】

1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)

A.　　　　　　　　 B．2C．2或 D．3

2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km，则A，B两船的距离为(　　)

A．2km B．3kmC.km D.km

3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．a km B.a kmC.a km D．2a km

4．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________．

5.如图，一艘船上午800在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午830到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.