考点38 抛物线典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

考点38 抛物线

【考纲要求】

（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.； （3）了解抛物线的简单应用； （4）理解数形结合的思想． 【命题规律】

抛物线是历年高考命题的重点热点，考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质．

预计2018年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低．也可能以解答题出现在大题，综合考查直线与抛物线的位置关系及与其它知识的交汇． 【典型高考试题变式】 （一）抛物线的定义及应用

2y【例1】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知抛物线C：=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF

QF=与C得一个焦点，若PF=4FQ，则（ ） 75A．2 B．3 C．2 D．2

2y=4x上的点M到焦点的距离为10，【变式1】【变为利用定义求焦点到坐标轴的距离】若抛物线则M到

y轴的距离是_______．

【变式2】【变为求多条线段和】如果

P1，

P2，…，

Pn是抛物线C：y=4x上的点，它们的横坐标依次为

2x1，

x2，…，

xn，F是抛物线C的焦点，若

x1+x2++xn=10，则

PF+P2F+1+PnF=（ ）

A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20

（二）抛物线的方程

2y=2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5,若以MF为【例2】【2013全国新课标Ⅱ卷】设抛物线

直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）

2222yy==42xxyy==8x 8xA．或 B．或2222yy==42xxyy==16x 16xC．或 D．或

【变式1】【变为利用抛物线的性质求方程】过抛物线

y2=2px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及

其准线于点A,B,C，若BC=2BF，且AF=3，则抛物线的方程为（ ）

2222yyyy==4x ==23xxxA． B． C． D．

2y=2px(p0)焦点F的直线与双曲线【变式2】【变为与双曲线交汇条件下求抛物线的方程】过抛物线

y2x−=1AFBFAF=38的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、B两点，若，且，则抛物线方程

2为（ ）

2222yyy===24xxxy=8x A． B． C． D．

（三）抛物线的几何性质

【例3】【2016新课标Ⅰ卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8

【变式1】【变为抛物线通径的应用】已知点离与点P到x轴的距离相等，则

P(x0,y0)在抛物线W：y=4x上，且点P到W的准线的距

2x0的值为( )

13A．2 B．1 C．2 D．2

2y=2px(p0)，过点C(−4,0)作抛物线的两【变式2】【变为利用抛物线的对称性的应用】已知抛物线2y=2px的焦点，CAB的面积为24，则p=＿CAA,,CBBAB条切线，为切点，若直线经过抛物线

＿＿＿＿＿．

A．y=4x B．y=−4x C．y=8x D．y=−8x

（四）直线与抛物线的位置关系

2222x2y=xoy4与直线y=kx+a（a＞0）交与M,NC【例4】【2015新课标Ⅰ卷】在直角坐标系中，曲线：

两点．

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由．

2y=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线C【变式1】【变为非探索性问题即证明定点问题】过抛物线：

于A,B两点，且A,B两点的纵坐标之积为−4． （1）求抛物线C的方程；

（2）已知点D的坐标为(4,0)，若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x 轴交于一定点．

2y=2px(p0)，M为抛物线C上一动点，【变式2】【变为探索点的位置】已知抛物线C的标准方程为

A(a,0)(a0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线

MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18． （1）求抛物线C的标准方程；

t=（2）记

11+AMAN，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，

若没有，请说明理由．

【数学思想】 1．函数思想的渗透

由于抛物线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等． 2．方程思想的渗透

求抛物线的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与双曲线的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与抛物线的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．

3．分类讨论思想的渗透

若题中的涉及到抛物线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答．

4．转化与化归思想

转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义抛物线上的点到焦点的距离与焦点到准线的距离相互转化，往往能使问题得到快速的解决． 【处理集合问题注意点】

1．利用抛物线定义判断动点的轨迹时易忽视定义中定点F不在定直线l上； 2．求抛物线的方程或利用抛物线的性质时，易忽视抛物线的焦点位置；

3．求与抛物线相关的最值问题或取值范围问题时，易忽视抛物线方程中变量的取值范围； 4．应用抛物线的定义时，易忽视参数p的意义；易忽视抛物线方程的标准形式．

5．解答直线与抛物线位置关系综合题时，易忽视直线与抛物线对称轴平行的情况中，造成考虑问题不全面

或不进行严密的推导而导致错误． 【典例试题演练】

y=1．【2017届陕西省渭南市高三下学期第二次教学质量检测（二模）】抛物线（ ）

12x8的焦点到准线的距离为

11A．2 B．2 C．4 D．4

y=2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考】抛物线

12x4的焦

x2y−=13点到双曲线的渐近线的距离为（ ）

213A．2 B．2 C．1 D．3

33．【2017届河北武邑中学高三理上学期调研四】若抛物线y=2x上一点M到它的焦点F的距离为2，O为

2坐标原点，则MFO的面积为（ ） 1122A．2 B．4 C．2 D．4

x2y2−=12y=2px8p4．【2017湖南沙郡中学、衡阳八中等十校联考二】若抛物线的焦点到双曲线2p的渐进线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）

A．y=16x B．y=8x C．y=16x或y=−16x D．y=8x或y=−8x

5．【2017届重庆市第一中学高三文12月月考】已知点

222222A(5,0)2C:y=4x的焦点为F，点P在，抛物线

抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（ ）

A．4 B．3 C．22 D．2

2x6．【2017河南省豫南九校质量考评八】设抛物线=4y的焦点为F，过点F作斜率为k的直线l与抛物线

相交于A,B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若线l的方程为（ ）

A．y=22x+1 B．y=3x+1 C．y=2x+1 D．y=23x+2

MF=4，则直

2y=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛C7．【2017河北省衡水中学押题卷I】焦点为F的抛物线：

MA物线C上，则当

MF取得最大值时，直线MA的方程为（ ）

A．y=x+2或y=−x−2 B．y=x+2 C．y=2x+2或y=−2x+2 D．y=−2x+2

x2y2−2=1(a0,b0)2b8．【2017三湘名校教育联盟大联考三】已知双曲线a上的一点到双曲线的左、右焦

点的距离之差为4，若抛物线y=ax上的两点则m的值为（ ）

2A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且

x1x2=−12，

35A．2 B．2 C．2 D．3

2y=4x抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线9．【2017湖南沙郡中学5月模拟】已知

于A,B两点，则

AF−2BF的最小值为（ ）

533−22A．22−2 B．6 C． D．23−2

2y=6x上的一点到焦点的距离是到y轴10．【昭通市2017届高三复习备考统一检测（第二次）】已知抛物线

距离的2倍，则该点的横坐标为__________．

11．【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知点点，

2y=4x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，12．【2017届天津河西区第二次模拟】已知F是抛物线

A(1,y1),B(9,y2)2y=2px(p0)上的两是抛物线

y2y102BF=5AFy+y2的值为__________． 1F，点是它的焦点，若，则

AF+BF=3

，则线段AB的中点到y轴的最短距离为＿＿＿＿＿＿．

2y=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线与A、B，则13．【2017甘肃高台县一中检测三】设抛物线

|AF|+4|BF|的最小值为___________．

2y=8x交于A,B两点，抛物线的y=2x−214．【江西省抚州市2017届高三4月模拟】已知直线与抛物线

FB的值为__________． 焦点为F，则FA·

2C:x=2py(p0)，过其焦点作15．【甘肃省肃南县第一中学2017届高三下学期期中考试】已知抛物线

斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且（1）求抛物线C的方程；

（2）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点

MN=16.

D(0,4)B两点，，若动圆P与x轴交于A、且

DADB，

DA求

16．【2017山西省太原市届三模】已知动点C到点

DB的最小值.

F(1,0)的距离比到直线x=−2的距离小1，动点C的轨

迹为E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l:y=kx+m(km0)与曲线E相交于A， B两个不同点，且OAOB=5，证明：直线l经过一个定点．

22F：x+y−4x+3=0OE17．【2017云南省毕业生复习统一检测二】已知抛物线的顶点为原点，焦点为圆

的圆心F．经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点，交圆F于B,C两点， A,B在第一象限，C,D在第四象限．

（1）求抛物线E的方程； （2）是否存在直线l，使理由．

2E:y=2px(p0)，直线x=my+3与E交于A，18．【2017届三省高三上学期百校大联考】已知抛物线

2BC是

AB与

CD的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明

B两点，且OAOB=6，其中O为坐标原点．

（1）求抛物线E的方程；

112+−2m22k1k2kkCACBC12（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值．

2C:y=2px(p0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任19．【2017河北省衡水中学二摸】已知抛物线

意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D. （1）若当点A的横坐标为3，且ADF为等腰三角形，求C的方程；

1D(x0,0)x02，记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于（2）对于（1）中求出的抛物线C，若点

点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为

(−x0,0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围.