第01章 质点运动学问题2：加速度的自然坐标分解★★

（一般性运动方程的轨道上的

定义1：rr(t)（二阶连续可微），关于自然坐标ss(t)有

曲率半径的计算）

tt0dsdr(t)tss0t0dr(t)s0v(t)dt;ts 于是，可以作“自变量替代st”。

定义2： rr(t)（二阶连续可微），关于自然坐标ss(t)系下的曲线轨道上的任意一

dr点的切向单位矢量et和“指向轨道凹向的”法向单位矢量en分别定义为etds;et1 det以及endet;en1。容易证明

eten0eten

rr(t)（二阶连续可微）定理：，依赖于“任意给定的二阶连续可微”运动方程rr(t)d2r(t)的加速度a(t)在自然坐标系下表达为

dt2dvv2a(t)eten dtdvv2;at,an dt这里，自然坐标ss(t)系下的曲线轨道上的任意一点的依赖于“自变量t和运动方程

rr(t)（二阶连续可微）的”所谓曲率半径表达为

ds detv2a2(dv2)dt 3drdr(t)dr(t)dtdtdt 22drdrdr(t)dr(t)2222dr(t)dr(t)dtdtdtdt]2[dt2dt2dr(t)dr(t)dtdt１

其中

22dr(t)dr(t)dr(t)dr(t)2a2;v dtdtdt2dt2dr(t)dr(t)vdtdtdr(t)d2r(t)2dvdtdt dtdr(t)dr(t)dtdt证明：

dr(t)dsdr(t)dd[]d(vedv(t)dv(t)dsdv(t)dtvdtdsvt)a(t)vvdtdsdtdsdsdsdsdedededvdsdvdvv2t22tt vetvetvetendsdsdsdtdsdsdetdtdetdvv2etendt;dsdet证明完毕。

detdr注释0：加速度只依赖于所谓“密切平面上”的et和en——而不依赖于

dsdet微分几何学所谓从法向单位矢量ebeten。

注释1：这里，一方面关于自然坐标ss(t)系下的曲线轨道上的任意一点的“曲率半径”确定地简单地表达为式（%1）。

(t) （%1）

注释2：另一方面，由于

dsdetdv2v22aaa()()

dt22t2n从而有

v4

dva2()2dt2所以得到依赖于运动方程rr(t)的“曲率半径”计算公式如式（%2）。

２

v2a2(dv2)dt （%2）

注释3：注意到

22drdra222dtdtdrdr;v2

dtdtdrdr另外，由v得到 dtdtdrd2r2dv11drd2rdtdt 22dt2drdrdtdtdrdrdtdtdtdt于是由式（%2）得到依赖于“任意给定的二阶连续可微”运动方程rr(t)的可具体计算的“曲率半径”计算公式，如式（%3a）。

drdrdtdt （%3a） 2drdr2d2rd2r2[dtdt]22dtdtdrdrdtdt式（%3a）简单地等价地表达为式（%3b）。

drdt3222drdrdrd2r22(2)dtdtdtdt （%3b）

d2rdr兹按照“标量积的定义”，令为矢量和矢量2的夹角(0)，则有

dtdt22222drd2rdrd2r2drd2rdrd2rdrdr2(2)2(2cos)2(2sin)2 dtdtdtdtdtdtdtdtdtdt ３

3drdt从而，式（%3b）简单地等价地表达为。兹按照“矢量积的定义及2drdrsindtdt2drd2rdrd2rsin；其性质”，有于是，式（%3b）简单地等价地表达为式（%3c）。 dtdt2dtdt2drdt3 （%3c） 2drdrdtdt2

例1：基于“三维空间曲线轨道方程”xxyy(x);zz(x)的曲率半径。

这里，轨道方程等价地表达为矢量形式rxiy(x)jz(x)k。兹由式（%3b）

;作变量替代（tx“进行所谓斜斜的约分”），可以证明(??????)“三维空间立体曲线轨道方程”可具体计算的曲

率半径，如式（&1a）。

dy2dz)()2]3/2dxdx （&1a）

2222dydzdydzdzdy(2)2(2)2(22)2dxdxdxdxdxdx[1(Esp.(特别地)，有：

基于任意确定性“二维空间平面曲线轨道方程”xx的曲率半径，如式（&1b）。

;yy(x);z0可具体计算

[1(dy23/2)]dx （&1b） 2dydx2

例2：重力场中抛物体轨道上的曲率半径问题。

４

重力场中的抛物线轨道运动方程，表达为r(t)r0v0t12gt；兹按照式（%3c）23v0gt得到抛物体轨道上的曲率半径表达为。 ，简单地等价地表达为式（%2）

(v0gt)g3v0gt （&2）

v0g

５