江苏省新马中学2013届高三10月第七周周自主练习数学理

淮安市新马中学2013届高三年级第七周周自主练

习

数学试卷Ⅰ（理科）2012/10/20

1．已知集合M0,1,2，N{x|xa,aM}，则集合MN= ▲ .0 2．若a2a(3a1)i25i，其中i是虚数单位，则实数a的值为 ▲ ．2．

3．函数y(12)1x的值域是___▲___．（0，＋∞）

4．已知平面向量a=(-1,1),b=(x-3,1)，且a⊥b，则x 5、已知函数y＝sin（x）（＞0，0＜2）的部分图象 如

图所示，则的值＿

6．．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C

与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为 ▲ ．2 7设表示等比数列{aS10n}（nN*）的前n项和，已知

S3，则S15S ▲ .7 558. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若acosBbcosA35c，则tanAtanB=____▲____.4 A

9． 若椭圆x2y2aa2b21(ab0)上横坐标为3的点到左焦

点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e的取值范围是 .

B E D

C 10如图，在△ABC中，BAC120o,ABAC2，D为BC边上的点，且

ADBC0，CE2EB，则ADAE____▲____.1

11．已知正数x，y满足2x+y-2 =0，则

x2yxy的最小值为 ．92

12．在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，定义：

d(P，Q)=x1-x2+y1-y2． 已知点B(1，0)，点M为直线x-2y+2=0上的动点，

则使d(B，M)取最小值时点M的坐标是 ▲ ．1，3

2|x|13．设xR，f(x)()，若不等式f(x)f(2x)k对于任意的xR恒成立，则

12实数k的取值范围是 ▲ . k2

14．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，，2使得OC=OAOB，则23的取值范围是 ▲ ． 2，

15.（本小题满分14分）设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足 (2a+c)BC ·BA+cCA·CB=0. （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b23，试求AB·CB的最小值.

15解：（Ⅰ）因为(2ac)BCBAcCACB0，所以(2ac)accosBcabcosC0 即(2ac)cosBbcosC0，则(2sinAsinC)cosBsinBcosC0 ……4分 所以2sinAcosBsin(CB)0，即cosB（Ⅱ）因为bac2accos22221，所以B………………8分

32222，所以12acac3ac，即ac4 3当且仅当ac时取等号，此时ac最大值为4…………12分

21ac2，BCB所以ABCB=accos即A的最小值为2………………………3214分

x2y21表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方16．已知m为实常数．命题p:方程

2mm6x2y21表示双曲线. 程

m1m1（1）若命题p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题q为假命题，求m的取值范围；

(3) 若命题p或q为真命题，且命题p且q为假命题，求m的取值范围．

m6016. 解：（1）据题意2m0，解之得0＜m＜2；

(m6)2m故命题p为真命题时m的取值范围为(0,2);…………4分

（2）若命题q为真命题，则(m1)(m1)0，解得1m1，故命题q为假命题时m的取值范围(,1][1,)；…………9分

（3）由题意，命题p与q一真一假，从而

0m2,当p真q假时有解得1m2；

m1或m1.当p假q真时有m0或m2,解得1m0；

1m1.故m的取值范围是(1,0][1,2)．…………14分

17. （本小题满分14分）

现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm3）

CD(1) 求出x 与 y 的关系式；

(2) 求该铁皮盒体积V的最大值；

17．⑴由题意得x24xy4800，

2AB4800x，0x60． …………6分 4x21224800x ⑵铁皮盒体积V(x)xyxx31200x，………………10分

4x43V/(x)x21200，令V/(x)0，得x40， ……………………………12分

4即y因为x(0,40)，V/(x)0，V(x)是增函数；

x(40,60)，V(x)0，V(x)是减函数，

1所以V(x)x31200x，在x40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm3．

4答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3． ……………………14分

18．已知⊙O:xy1和定点A(2,1),由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ||PA|. （1）求实数a,b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。

Q为切点，18．解：（1）连OP，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2|OP|2|OQ|2 又由已知|PQ||PA|,故|PQ||PA|

即：(ab)1(a2)(b1)

化简得实数a、b间满足的等量关系为：

2ab30 …………………4分 （2）由2ab30，得b=－2a+3 。

222222222|PQ|a2b21a2(2a3)215a212a8

645(a)2.

55故当a622时,|PQ|min5，即线段PQ长的最小值为5………………8分 555（3）设⊙P的半径为R，

OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，

|R1||OP|R1,即R|OP|1|且R|OP|1.

69a2b2a2(2a3)25(a)2.

5563335,此时b2a3,Rmin51. 故当a时,|PQ|min5555而|OP|得半径取最小值⊙P的方程为

633(x)2(y)2(51)2 ……………14分

555

2

19．已知函数f(x)=x|x-3|，x∈［0，m］其中m∈R，且m>0. （1）若m<1，求证：函数f(x)是增函数。 （2）如果函数f(x)的值域是［0，2］，试求m的取值范围。 （3）若m1,试求函数f(x)的值域。 19.(本题15分)

（3）当1m2时，f(x)在[0,m]的值域为[0,2] 12分 当m>2时，f(x)在[0,m]的值域为[0,m33m] 16分 20. （本小题满分16分）

已知数列{an}中,a11,点(n,2an1an)(nN*)在直线yx上, 2 （Ⅰ）计算a2,a3,a4的值;

（Ⅱ）令bnan1an1,求证:数列{bn}是等比数列；

（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数，使得数列

{

SnTn}为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. n13, 2a2a11, a2.……… 2分 24解：（Ⅰ）由题意，2an1ann, a1 同理a31135,a4, …………………………………… 3分 816 （Ⅱ）因为2an1ann,

所以bn1an2an11

an1n1nan11an11,……… 5分

22b1bnan1an1an1(2an1n)1nan112bn1, n1………… 7分

bn2又b1a2a11分

（Ⅲ）由（2）得，

133，所以数列bn是以为首项，为公比的等比数列…… 9

24431(1n)31123(1)n13. bn()n13()n1,Tn4142222121n11n 又an1n1bnn13(),所以ann23(),

2211(1n)n(n1)n23n322 所以Sn2n33n.………… 13分

122212 由题意，记cnSnTn.要使数列{cn}为等差数列,只要cn1cn为常数. nn23n3131(3n)[3()n1]1nSTn222n3(33)22.cnnnn22n

cn1n1n432(3),

22n111 则cncn1

111n1n1132).…………………… 15分 (3)(222nn1STn1为常数,即数列{n}为等差数列.…… 16分 2n故当2时,cncn1选修

B．选修4—2：矩阵与变换

a 0 把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：x＋y＝1．

设a＞0，b＞0，若矩阵A＝430 b

（1）求a，b的值；

（2）求矩阵A的逆矩阵A1．

－

22

B．选修4—2：矩阵与变换

解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，

经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）

x′＝ax，a 0 x＝ax＝x′，所以则． ………………2分 

0 bybyy′y′＝by．

x2y2

因为点P′（x′，y′）在椭圆E：＋＝1上，

43

a2x2b2y2

所以＋＝1，这个方程即为圆C方程． ………………6分

43

a2＝4，所以2，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝3． ………………8分

b＝3．

2 0

（2）由（1）得A＝，所以A－1＝0 3

C.选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C1：

1

02

0



． ………………10分 33

x8cos,x4cost, （t为参数）， C2：（为参数）。

y3sin,y3sint,（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

x32t, （t为参数）距离的最小值。 C3:y2t解

x2y21. （1）C1:(x4)(y3)1,C2:64922C1为圆心是（4,3)，半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（2）当t2时，P(4,4).Q(8cos,3sin),故M(24cos,23sin). 2C3为直线x2y70,M到C3的距离d5|4cos3sin13|. 5从而当cos4385,sin时，d取得最小值. 55522．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取

到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． （1）写出甲总得分ξ的分布列； （2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．

22． 解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记为甲总得分．

54123， 327，P(7)C35125551252C332 P(6)P(8)8362，P(9)2．………………………4分 312555125523 P（x＝） 6 7 8 9 27125 54125 36125 8125 ………………………………………7分

（2）甲总得分ξ的期望

3654368E（ξ）＝6277＝．………………10分  8912512512512552an23．已知数列{an}满足：a11，an1 (nN*)．

2an1（1）求a2，a3的值；

（2）证明：不等式0anan1对于任意nN*都成立．

（1）解：由题意，得a22， a34． ……………………………………………2分

35（2）证明：①当n1时，由（1），知0a1a2，不等式成立．………………4分

②设当nk(kN*)时，0akak1成立，……………………6分

则当nk1时，由归纳假设，知ak10． 而

ak2ak12aa12akak112ak12ak2(ak1ak)k1k0，

ak11ak1(ak11)(ak1)(ak11)(ak1)

所以0ak1ak2，

即当nk1时，不等式成立．

由①②，得不等式0anan1对于任意nN*成立．………………10分