三年级上册奥数(教案)第13讲：植树问题(一)

（ 三年级 ） 备课教员：××× 第十三讲 植树问题（一） 一、教学目标： 1. 通过探究发现一条线段上要种的植树问题棵数与间隔数 之间的几种关系，经历将数学问题抽象成数学模型的过 程。 2. 会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学 生的应用意识和解决问题的实践能力。 3. 感悟构建数学模型是解决实际问题的重要方法之一，在解 决实际问题中感受数学的价值。 二、教学重点： 理解和掌握在线段上的植树问题的几种情况。 三、教学难点： 理解并正确选择运用在线段上的植树问题的几种情况。 四、教学准备： PPT 五、教学过程： 第一课时（50分钟） 一、导入（5分) （谈话引入，渗透解题方法。） 师板书：一刀两断 师：这个成语需要替换一个字，就能够成为数学语言。 (把“断”换成“段”)， 你理解这个词的意思吗?谁能用画的方式表示“一刀两段”？ (指名生板演画) 师：刚才我们用画的方式体会了“一刀两段”的意思，(板书：画)那两刀几段? 生：3段。 师：那么三刀几段?四刀几段? 生：三刀4段，四刀5段。 师：你怎么回答的这么快呢？ 生：我找到了规律。 (板书：找) 师：什么规律呢？ 生：段数都比刀数多1。 师：既然你找到了规律，那么如果是50刀能剪几段?如果要得到1000段，需要 几刀? 生：50刀能切51段。要得到1000段，需要999刀。 师：老师看到你没有画图，你怎么这么快就知道了答案? 生：根据规律推理出来的。(板书：推) 师：一个简单的草图，经过我们“画-找-推”，就得到了一个规律，并且让我 们解决了更复杂的问题，这就是以小见大。才上课几分钟我们就学到了一 种常用的解题方法，那么当我们碰到比较复杂的问题时，就可以从简单的 画图开始，找到规律，解决问题。今天我们就来学习一个需要“画——找 ——推”的知识，那就是植树问题。 【板书课题：】植树问题（一） 二、探索发现授课（40分） （一）例题1：（13分） 在一条长40米的马路的一边，从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 师：题目的信息有哪些？

生：马路长40米，从头到尾每隔5米种一棵树。 师：什么是从头到尾？

生：就是两头都栽树也就是两端都种。 师：是的，那么隔多少米种一棵树呢？ 生：5米。

师：一共需要多少棵树？怎么计算？ 生: 40÷5=8（棵）。 师：是这样的吗？还有其他不同意见吗？我们可以用5米为一段来画一画。（注 意需要两头都种上树哦）

生：……。（尝试依据要求画线段图）

师：现在你们想明白了吗？哪个同学说明一下？

学生根据自己的理解纷纷发表自己的意见。（认识数量关系长度、间隔长、 间隔数）

师板书：两端都栽 总长度 间隔长 间隔数 棵数

40米 5米 8段 9棵

师：从这里我们可以来找一找规律了吗？ 生：有点困难，只有一个。

师：那么我们再自己画一画其他的段数吧。 生：……。（自由发挥，有理即可）。

师：两端都栽，1段时要栽几棵树？2段、3段、4段……20段呢？ 生1：1段时要栽2棵树。2段时要栽3棵树。

生2：3段时要栽4棵树。4段时要栽5棵树……20段时要栽21棵树。 师：你画了21段图了吗？ 生：没有。

师：那你怎么就知道答案了呢？

生：可以找到规律了。当两端都种时：棵数=间隔数+1。

师：是的，当一条路上的一边两端都种时：棵数=间隔数+1。所以本题的算式为： 40÷5=8（段），8+1=9（棵）

师：（小结）像这种在一定的线路上，先根据总路程和间隔长算出间隔数再算 出棵数进行植树的问题，就是植树问题。棵数和间隔数有关。

板书：

40÷5=8（段） 8+1=9（棵）

答：一共可以种9棵树。

练习1：（6分）

学校门前有一条笔直的小路长36米，在小路的一旁每隔4米种一棵杨树，

头尾一共种多少棵树? 分析： 每隔4米种一棵树，那么两棵树之间的距离是4米，我们以4米为一段，看全长36米可以分成多少段。从头到尾都植树，植树的棵数比段数多1。即所分的段数：36÷4=9(段)；植树的棵数：9+1=10(棵)。 板书： 36÷4=9(段) 9+1=10(棵) 答：头尾一共种10棵树。 （二）例题2：（13分） 在一条长80米的公路的一旁，每隔4米栽一棵杨树，一端栽树，要栽多少棵杨树？ 师: 它是植树问题吗？你能说一说吗？ 生：是关于植树的问题。 师：是的，这也是一道植树问题，那么大家先自己尝试着算算吧。 生: ……。 师：谁能来说一说你的答案呢？ 生1: 80÷4=20（段），20+1=21（棵）。 生2：80÷4=20（棵）。 师：哪位同学是对的呢？我们要不要来验证一下呢？ 生：要。 师：我们该怎么来验证呢？ 生: 画线段图。 师：对，那我们先用短一些的长度画一画，再来找规律吧！ 生：……。 …………（自由发挥） 师：看一看，一段是几棵树，两段是几棵树？ 生: 一段是1棵，两段是2棵。 师：4段是几棵树，8段是几棵树？ 生: 4段是4棵，8段是8棵。 师：是的，那么大家自己能不能找一找规律呢？ 生: 当一端栽树时，棵数和段数是一样的。 师：对了，当植树问题的要求是“一端栽树时”，棵数和段数是一样的。 师：那么，本题的答案到底是几棵呢？ 生: 20棵。 师：对。那么老师想问一问大家如果在一条笔直路上的一边一共有200段时， 两端都栽树，要栽多少棵树？只一端栽树呢？你是怎么想的呢？ 生1：两端都栽树是200+1=201棵。因为两端都栽树，棵数=间隔数+1。 生2：只一端栽树是200棵。因为一端栽树，棵数=间隔数。 师：是的，我们只要依据前面简单的推理，就能解决看似复杂的问题了。大家 学会了吗？ 生：学会了。 板书： 棵数=间隔数 80÷4=20（棵） 答：要栽20棵杨树。 练习2：（8分） 在全长70米的小路一边植树，每隔7米栽一棵（一端栽树）。一共需要多少棵树苗？ 分析： 每隔7米种一棵树，那么两棵树之间的距离是7米，我们以7米为一段，分析全长70米可以分成几段。一端植树，植树的棵数等于段数。即所分的段数：70÷7=10(段)；植树的棵数：棵数=段数=10（棵）。 板书： 70÷7=10（棵） 答：一共需要10棵树苗。 三、小结：（5分） 同学们，这节课学习了植树问题，在解答实际问题时，特别要注意审题，分析、判断是在什么情况下植树，是两端都栽还是只栽一端，根据各自的规律，确定解题方法。 两端都栽：棵数=段数+1 一端栽树：棵数=段数 第二课时（50分） 一、复习导入（3分） 师：上节课我们主要学习了植树问题，植树问题的解答主要与哪几方面有关呢？ 生：间隔数（段数）和是一端植树还是两端植树。 师：是的，植树问题的解答我们要明确植树的间隔数以及种树的规定。那么间 隔数从哪里来呢？ 生：总长度除以每段间隔长度就可以了。 师：是的，那么说一说你已经掌握了哪几个植树规律呢？ 生1：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即： 棵数=间隔数+1。 生2：如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即： 棵数=间隔数。 师：是的，在路上植树的时候我们已经学习了两端都栽和只有一端栽两种情况。 可是，在路上植树只会出现这两种情况吗？ 生：……。 师：我们可以画条线段来思考思考。 生：还可以是两头都不种树。 师：是的，其实植树问题还有其他两种情况需要我们学习，两头都不种树就是 其中的一种。那么我们就接着再探究一下吧。 （出示课题：植树问题（一）） （出示PPT) 二、探索发现授课（42分） （一）例题3：（13分） 在一条长米的公路的一旁，每隔8米栽一棵树，两端都不栽，共植树多少棵？ 师: 它是植树问题吗？ 生：是关于植树的问题。 师：是的，这也是一种植树问题。那么大家先来说说这里的总长度和间隔是多 少呢？ 生: 总长度是米，间隔是8米。 师：一共可以分成多少段呢？ 生: ÷8=8（段） 师：那么棵数是多少呢？你是怎么想的？题目中哪句话需要我们注意的呢？ 生：题目要求，两端都不栽。 师：是的“两端都不栽”。那么当“两端都不栽”时，棵数与间隔数之间是什 么关系呢？我们还是再来画一画，找一找吧！ 师：那我们可以先用短一些的长度一起来画一画，再来找规律！ 生：……。 (8 米) (24米)…………（自由发挥） (米) 师：看一看，一段是几棵树，两段是几棵树？ 生: 一段是0棵，两段是1棵。 师：3段是几棵树，8段是几棵树？ 生: 3段是2棵，8段是7棵。 师：对了，当植树问题的要求是“两端都不栽树时”棵数和段数是什么关系呢？ 生: 两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1。 师：对。如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即： 棵数=间隔数-1。所以本题的算式该怎么写呢？ 生：÷8=8(段)，8-1=7（棵）。 板书： ÷8=8(段) 8-1=7（棵） 答：两端都不栽，共植树7棵。 练习3：（7分） 某校两栋教学楼相距100米，现在要在两楼之间每隔5米种一棵树，需要种多少棵树？ 分析： 每隔5米种一棵树，那么两棵树之间的距离是5米，我们以5米为一段，看全长100米可以分成多少段。要在两楼之间栽树，也就是两端都不植树，植树的棵数等于段数-1。即所分的段数：100÷5=20(段)；植树的棵数：棵数=段数-1=20-1=19（棵）。 板书： 100÷5=20(段) 20-1=19（棵） 答；需要种19棵树。 （二）例题4：（13分） 在一条道路的一边种树，首尾都种，每隔5米种一棵树，共种21棵，这条小道有多长？ 师: 它还是植树问题吗？ 生：是关于植树的问题。 师：是的，这也是一道植树问题。那么大家先来说说这里告诉了我们哪些植树 问题的信息呢？ 生: 两端都种，间隔长是5米，棵数21棵。 师：问题是什么？ 生: 这条小道有多长？ 师：也就是植树问题中的什么？ 生：总长度。 师：对，是总长度。那么要求总长度和哪些信息有关呢？ 生：段数和间隔长。 师：我们在前面的例题中已经知道“总长度÷间隔长=段数”的关系式，所以要 求总长度，算式该怎么变形呢？ 生：段数×间隔长=总长度。 师：间隔长在题目里已经告诉了我们是5米，那么段数呢？ 生: 20段。

师：你是怎么想的？

生: 因为两端都种，所以棵数比要分的段数多1，反之，段数比棵数就要少1。 师：太棒了。同学们，我们学过了的知识，很多都是可以逆向思考的哦，大家 以后也要积极去运用逆向思维去解决问题好吗？ 生: 好。

师，那么大家一起来把题目写完整吧。 板书：

21-1=20(段) 5×20=100(米)

答：这条小道有100米长。

练习4：（7分）

甲、乙两地相距200米，路的一边两端都种，共种了6棵树，每两棵之间的距离是多少米？ 分析：

因为两端都种，所以棵数比间隔数多1，反之间隔数比棵数少1，棵数是6棵，间隔数=6-1=5（段）。一共200米，分为5段，所以每段为200÷5=40（米）。

板书：

6-1=5（段）

200÷5=40（米）

答：每两棵之间的距离是40米。

（三）例题5（选讲）：

一条道路长48米，在道路两边植树，准备从头到尾每隔6米植树1棵，共要植树多少棵?

师: 它还是植树问题吗？ 生：是的。

师：这也是一道植树问题。那么大家先来说说这里告诉了我们那些植树问题的 信息呢？

生: 总长是48米，两端都种，间隔是6米一棵。 师：没有了吗？

生: 在道路两边植树。 师：这是什么意思呢？ 生：道路两边都要植树。

师：对，道路两边都要植树，也就是说树要种一样的几排呢？ 生：两排。

师：好的，理解清楚题意，现在我们可以先算出一边了。 生：48÷6=8（段），8+1=9（棵）。

师：对了，道路的一边是9棵，那两边呢？ 生: 9×2=18（棵）。

师：同学们，这一题和之前的题目相比，又多了什么条件呢？ 生: 道路两边都要植树。

师，是的，我们以后遇到植树问题时，还要注意是不是两边都要植树。 板书： 48÷6=8（段） 8+1=9（棵） 9×2=18（棵） 答：共要植树18棵。 练习5： 工程队准备在全长300米的大桥两旁植树，为了不影响视线，大桥两端不植树，每隔6米种一棵树，需要种多少棵树？ 分析： 每隔6米种一棵树，那么两棵树之间的距离是6米，我们以6米为一段，看全长300米可以分成多少段。两端都不植树，植树的棵数等于段数-1。即所分的段数：300÷6=50(段)；植树的棵数：棵数=段数-1=50-1=49（棵），最后，大桥两旁都植树，所以49×2=98（棵）。 板书： 300÷6=50(段) 50-1=49（棵） 49×2=98（棵） 答：需要种98棵树。 三、总结：（5分） 通过这节课的学习，你有什么收获？ 这节课我们学习了植树问题，在解答实际问题时，特别要注意审题，分析、判断是在什么情况下植树，具体情况具体分析，根据各自的规律，确定解题方法。另外有些公式是可以变形的，很多都是可以逆向思维，大家以后也要积极去运用逆向思维去解决问题哦！ (棵数-1)×间隔长=总长度 四、随堂练习： 1. 一条小路长35米，在小路的一边从头到尾每隔5米种一棵树，一共要栽多 少棵树？ 35÷5=7（段） 7+1=8（棵） 答：一共要栽8棵树。 2. 在一条长24米的水渠一边植树，每隔3米植一棵树，一端栽树，共植树多 少棵？ 24÷3=8（棵） 答：共植树8棵。 3. 在一条长50米的走廊一旁摆盆栽，每隔5米摆一盆，两端都不摆，共需要 摆多少盆盆栽？ 50÷5=10（段） 10-1=9（盆） 答：共需要摆9盆盆栽。 4. 一条小道长81米，两端都栽树，在小道上的一边共栽了10棵树，每两棵树 之间的距离是多少米？ 10-1=9(段) 81÷9=9（米） 答：每两棵树之间的距离是9米。 5. 在一条60米的水渠两旁每隔6米种一棵水杉（一端栽树），共要种多少棵? 60÷6=10（棵） 10×2=20（棵） 答：共要种20棵。 家庭作业 主管评价 整体效果 主管评分 课后反思 （不少于60字） 设计不足之处 设计优秀之处