江苏省新马高级中学2013届高三第一次市统测数学模拟试卷二

新马高级中学2013届第一次市统测数学模拟试卷二

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1．设全集U{1,2,3,4,5},集合A{1,3,5},集合B{3,4},则(CUA)B{4} 2.设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|1，则a与b夹角为

33．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ

3＝－

54．某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是______ y=2x,x1;

5．从1，2，…，9这九个数中，随机取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是______

492

6.设数列{an}是等差数列,且a28,a155,Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是② ①

S9S10

1 ② S9S10 ③S11S10 ④ S11S10

7．曲线y143xx在点1,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________. 393x2y30,8．已知变量x,y满足约束条件x3y30, 若目标函数zaxy仅在点(3,0)处取到

y10.最大值，则实数a的取值范围为(,)

21

9已知直线l平面，直线m平面．给出下列命题：①//lm；②l//m；

③l//m；④lm//．其中正确的命题的序号是 ．①，③ 10．若点P在直线l1:xy30上，过点P的直线l2与曲线C:(x5)2y216只有一个公共点M，则PM的最小值为__________.4

11．不等式x2x1a，对x[1,5]恒成立的实数a的取值范围是a9

12．矩形ABCD中，ABx轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数yasinaxaR,a0的

一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为 1 .

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F,F分别为椭圆

12xa22yb22的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、

1(ab0)下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，若

2cosF1BF27，则直线CD的斜率为 ．12 2525

14．设函数fx的定义域为R，若存在常数M0，使fxMx对一切实数x均成立，则称fx为“倍约束函数”。现给出下列函数：

①fx2x； ②fxx1； ③fxsinx2；

4④fx是定义在实数集R的奇函数，且对一切x1,x2均有fx1fx22x1x2。 其中是“倍约束函数”的是___ 1，4 _____。（写出所有正确命题的序号） 三、解答题(本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15（本题满分14分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA（1）求tan2223，

BC2sin2A2的值；

（2）若a2，S△ABC2，求b的值．

223解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，sinA所以cosA＝

13，

. „„„„„„„„„„2分

sin2B＋Ctan2B＋C2＋sin2A2＝则

＝2＋sin2A22B＋Ccos2

1－cos（B＋C）11＋cosA17＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33„„„„„„„„„„7分

（2）因为SABC＝2，又SABC＝将a＝2，cosA＝

1312bcsinA＝12bc223，则bc＝3. „9分

，c＝

3b代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中

得b4－6b2＋9＝0解得b＝3 „„„„„„„„„„14分

16．（本小题满分14分）

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是AA1，D1C，AD的中点. 求证：（1）MN//平面ABCD；

A．设是过MN的任一平面，求证：平面B1BG.

D1A1MNDB1C1CBA

17．（本小题满分14分）

某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3km1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产

品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2011年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意可知，当m0时，x1，∴13k即k2， ∴x32m1816xx，每件产品的销售价格为1.5元.

∴2009年的利润yx[1.5816xx](816xm) 2m1)m[16m1(m1)]29(m0)（8分）

48xm48(3（2）∵m0时，

16m1(m1)2168.

16m1m1，即m3时，ymax21.（12分）

∴y82921，当且仅当

答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.（14分）

18（本题满分16分）已知椭圆的两个焦点F1(3,0),F2(3,0)，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形． （1）求椭圆的方程；

（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使PEQE恒为定值，求m的值.

解：（1）由题意知 c=3又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形

x22∴b=1 从而a2 ∴椭圆的方程为

4y=1 „„„„„„4分

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1

x22y12222 消y得 4k1x8kx4k40„„„„6分 4ykx1设

Px1,y1,Qx2,y2，则由韦达定理得 x1x228k4k221

x1x24k44k12 „„„„8分

则PEmx1,y1QEmx2,y2

∴PEQEmx1mx2y1y2=mmx1x2x1x2y1y2

2

=mmx1x2x1x2k222x11x21

22224k248k4m8m1km4=mm= k1222224k14k14k14k14k18k24k422 „„13 分

要使上式为定值须

1784m8m1m41782241，

得 m

故m时，PEQE为定值„„„„„„„„„16分

19．（本题满分16分） 已知数列{an}是首项为a1设bn23log1414,公比q14的等比数列，

an(nN*)，数列{cn}满足cnanbn。

解：（1）由题意知，an()(nN*) bn3log41n14an2,b13log14a121

bn1bn3log14an13log14an3logan114an3log14q3

∴数列{bn}是首项b11,公差d3的等差数列„„„„„„„„„4分

（2）由（1）知，an(),bn3n2(nN*)cn(3n2)(),(nN*)„„6

441n1n分

Sn1112131n11n4()7()(3n5))(3n2)(), 44444于是分

11213141n1n1Sn1()4()7()(3n5))(3n2)()„8444444

两式相减得

12131n1n13[()()()](3n2)()

44444411n1212n81n1(3n2)().Sn()(nN*)„„„„„„.10分 24334Sn11144431（3）cn1cn(3n1)()n1(3n2)()n9(1n)()n1,(nN*)

∴当n=1时，c2c114

当n2时,cn1cn,即c1c2c3c4cn„„„„„„„„12分 ∴当n=1时，cn取最大值是

14m214 又cn14m2m1对一切正整数n恒成立

m114 即m4m50得m1或m5„„„„16分

2

20．（本题满分16分）

x3x2bxc(x1)2已知函数f(x)的图象过点(1,2)，且在x处取得极值．

3alnx(x1)(1) 求实数b,c的值；

(2) 求f(x)在[1,e] （e为自然对数的底数）上的最大值.

解：（1）当x1时，f'(x)3x22xb， „„„„„„„„„„„„„„2分 f122bc2由题意得：2，即， „„„„„„„„„„„„„4分 443b0f'0933解得：bc0。 „„„„„„„„„„„„„6分 x3x2(x1)（2）由（1）知：f(x)

(x1)alnx①当1x1时，f'(x)x(3x2)，

22解f'(x)0得0x；解f'(x)0得1x0或x1

33220)和(,1)上单减，在(0，)上单增， ∴f(x)在(1，332f'(x)x(3x2)0x由得：x0或，„„„„„„„„„„„„„„„8分

3

∵ f(1)2，f()32427，f(0)0，f(1)0，

∴f(x)在[1,1)上的最大值为2. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 ②当1xe时，f(x)alnx，

当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在[1,e]单调递增；

∴f(x)在[1,e]上的最大值为a。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 ∴当a2时，f(x)在[1,e]上的最大值为a； „„„„„„„„„„„„„„14分 当a2时，

f(x)在[1,e]上的最大值为2. „„„„„„„„„„„„„„16分