一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设集合M={（x，y）|
}，N={x|x2-3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A. ∅
2. 设复数z=1+2i，则
B. {2}
=（ ）
C. {1} D. {1，2}
A. +i B. -i C. --i D. -+i
3. 若，为平面向量，则“=”是“||=||”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观
图是△OAB，其中OB=AB=4，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 16 D. 8
5. 下列命题中正确的是（ ）
①89化为二进制数为1011001（2）；
②相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越大，相关性越弱； ③相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高．
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）
A. 若 m⊥α，n⊂β，且 m⊥n，则 α⊥β
B. 若 m⊂α，n⊂β，且 m∥β，n∥α，则 α∥β C. 若 m⊥α，n⊥β，且 α⊥β，则 m⊥n D. 若 m∥α，n∥β，且 α∥β，则 m∥n 7. 已知抛物线的焦点坐标为（0，），则该抛物线的标准方程为（ ）
A. y2=2x B. y2=x C. x2=2y D. x2=-2y
8. 已知f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）两个相邻极值点的横坐标差的绝
对值等于，当x=时，函数f（x）取得最小值，则φ的值为（ ）
A. - B. C. D. -
0）N （3，0）9. 已知点M（-3，，，动点A满足|AM|-|AN|=4，则|AM|的最小值是（ ）
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 10. 若a=log，b=（）-0.2，c=（）-0.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. c＜a＜b D. c＜b＜a
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11. 设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f
（x）=x2．又函数g（x）=|sin（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在区间[-1，3]上零点的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 在△ABC中，∠ACB=60°，∠ACB的平分线CD交边AB于D，若CD=1，则4BC+AC的最小值是（ ）
A. 3 B. 6 C. 6 D. 9 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率k=______．
14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则异面直线BE与AC所成的角
为______． 15. 已知α∈（0，），β∈（-，0），且cos（+α）=，cos（-）=，则cos（α+）的值为______．
16. 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在
我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形它出现要比杨辉迟393年．那么，第19行第18个数是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 公差不为0的等差数列{an}，a2为a1，a4的等比中项，
且S3=6．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. 哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生
（男女各30名），将其成绩分成六组[40，50），[50，60），…，[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求成绩在[70，80）的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；
（Ⅱ）从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；
（Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？
男 女 合计 K2=
优秀 4 非优秀 合计 30 30 60
0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0） 0.025 第2页，共14页
k0 5.024 6.635 7.879 10.828
19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角
形，AC=BC=1，AA1=2，点D是AA1的中点． （Ⅰ）证明：DC1⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点B1到平面C1DB的距离．
20. 椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（
且满足+
=．
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，），左焦点为F，PF与y轴交于点Q，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设圆O：x2+y2=1，直线l：y=kx+m与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，当λ=⋅
且λ∈[，1）时，求弦长|AB|的范围．
21. 已知函数f（x）=x-lnx-ax2+2ax-a．
（Ⅰ）当a=时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若对定义域上的任意的x∈[1，+∞），有f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：++++……+
22. 在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为
，其中t为参数，α为
＜1+ln
，（n∈N*）．
直线C1的倾斜角．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=5，曲线C1与曲线C2相交于A，B两点． （Ⅰ）当α=时，求C1的普通方程；
（Ⅱ）当α变化时，求|AB|的最小值．
23. 设函数f（x）=|x-1|+|x+1|，设f（x）＜4的解集为S．
（Ⅰ）求S；
（Ⅱ）证明：当a，b∈S时，2|a+b|＜ab+4．
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-------- 答案及其解析 --------
1.答案：A
解析：解：集合M的元素是（x，y），而集合N的元素是x，元素不同， ∴M∩N=∅． 故选：A．
可以看出，集合M的元素是（x，y），集合N的元素是x，元素不同，从而集合M，N没有公共元素，从而得出M∩N=∅．
考查描述法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义． 2.答案：C
解析：解：∵z=1+2i，∴故选：C． 由已知求得，代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． =
．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：A
解析：解：若=，则||=||成立． 若||=||，则
或=．
所以“=”是“||=||”充分不必要条件．
故选：A．
结合向量相等和向量长度之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量相等的概念是解决本题的关键，比较基础． 4.答案：A
解析：解：依题意，因为在斜二测画法中，原图面积与直观图面积比值为2所以S原=2
，
=8，
，即=2
，
又由直观图可知，三角形OAB为等腰直角三角形，所以S直=
=2=16， 所以S原=2故选：A．
根据原图面积与直观图面积比值为2，求出直观图面积即可得到原图面积． 本题考查了斜二测画法中原图与直观图面积的关系及其应用，考查了斜二测画直观图以及三角形面积公式．属于基础题． 5.答案：B
26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=（1011001）（2）所以①正确； 解析：解：①89=1×
②相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， |r|越接近于1，相关性越强，∴②错误；
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R2越接近1，③用相关指数R2来刻画回归效果时，说明模型的拟合效果越好，故③错误；
④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，④正确． 故选：B．
①利用进位制转化求解判断即可，②③④直接利用定义可直接判断；
本题考查进位制，相关指数，残差，方差的概念和计算．属于基础题型，应牢记． 6.答案：C
解析：解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A中，若 m⊥α，n⊂β，且 m⊥n，则 α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若 m⊂α，n⊂β，且 m∥β，n∥α，则 α与β相交或平行，故B错误； 在C中，若 m⊥α，n⊥β，且 α⊥β，
则由线面垂直和面面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；
在D中，若 m∥α，n∥β，且 α∥β，则 m与n相交、平行或异面，故D错误． 故选：C．
在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直和面面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m与n相交、平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 7.答案：C
解析：解：由题意可设抛物线方程为x2=2py（p＞0）， 则
，得p=1．
∴抛物线的标准方程为x2=2y． 故选：C．
由已知设抛物线方程为x2=2py（p＞0），再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求． 本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题． 8.答案：A
解析：解：两个相邻极值点横坐标距离是一半的周期，即周期为π，ω==2， ∴f（x）=cos（2x+φ），当2x+φ=π+2kπ时，代入x=得φ=-+2kπ，k∈Z， 又|φ|＜，∴φ=-．
故选：A．
由余弦函数图象的特点判断周期，求得ω，由余弦函数的性质求得φ． 本题考查余弦函数的性质，是基础题 9.答案：B
0）N（ 3，解析：解：根据题意，点M（-3，，
0），
动点A满足|AM|-|AN|=4，
N为焦点的双曲线则点A的轨迹是以M、
的右支，
其中c=3，a=2，如图：
当A点位于x轴上，即其坐标为（2，0）
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时，
|AM|的最小值是a+c=5， 故选：B．
根据题意，分析可得点A的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，结合双曲线的性质分析可得答案．
本题考查双曲线的定义以及双曲线的简单几何性质，涉及轨迹方程，属于基础题． 10.答案：A
解析：解：∵a=log=log3，∴0＜a＜1； 则由①表示：
；由②表示：
；
由图象可得；
∴b＞c＞a． 故选：A．
根据指数函数的图象和性质，比较和0，1的关系继而得到答案． 本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题． 11.答案：A
解析：解：∵f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x）， ∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函数是偶函数，且函数是周期为2的周期数列， 设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]， 则f（x）=f（-x）=（-x）2=x2， 即f（x）=x2．x∈[-1，1]，
由h（x）=g（x）-f（x）=0，则f（x）=g（x）， ∵g（x）=|sin（πx）|，
∴在坐标系中作出函数f（x），g（x）的图象如图： 由图象可知，两个图象的交点个数为6个，
故函数h（x）=g（x）-f（x）在区间[-1，3]上零点的个数为6个， 故选：A
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根据条件判断函数f（x）的周期性，令h（x）=0，得g（x）=f（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象判断两个函数的交点个数即可得到结论． 本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键． 12.答案：A
解析：解：如图所示， △ABC中，∠ACB=60°，∠ACB的平分线CD交边AB于D， 且CD=1，设AC=b，BC=a， 由S△ABC=S△ADC+S△DBC， =bsin30°+asin30°即absin60°， 化为+=
，
则4BC+AC=4a+b=（4a+b）（+）=（5++） ≥（5+2
）=3
，当且仅当b=2a=
，
时，取得等号，
则4BC+AC的最小值为3
故选：A．
设AC=b，BC=a，由S△ABC=S△ADC+S△DBC，运用三角形的面积公式，可得+=，则
4BC+AC=4a+b=（4a+b）（+），展开后运用基本不等式可得所求最小值． 本题考查三角形的面积公式的运用，以及基本不等式的运用，注意乘“1”法的运用，考查化简运算能力，属于中档题． 13.答案：2
解析：解：y=xlnx的导数是y′=lnx+1，
则曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为：k=y′|x=e=lne+1=2． 故答案为：2．
由导数的运算法则求出函数的导数，再由导数的几何意义，令x=e，即可得到切线的斜率．
本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查求导数的运算能力，属于基础题．
14.答案：90°
解析：解：连接BD，AC，BE， 因为AC⊥BD，AC⊥DD1， 所以AC⊥面BDE， 又BE⊂面BDE， 即AC⊥BE，
即异面直线BE与AC所成的角为90°， 故答案为：90°．
由线面垂直的判定可得：AC⊥面BDE，又BE⊂面BDE，即AC⊥BE，得解．
本题考查了线面垂直的判定，属中档题．
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15.答案：
解析：解：∵α∈（0，），β∈（-，0），且cos（+α）=＞0，cos（-）=＞0， 故+α还是锐角，-也是锐角， ∴sin（+α）=
=，sin（-）=
=，
则cos（α+）=cos[（+α）-（-）]=cos（+α）•cos（-）+sin（+α）sin（-） =
+
=
， ．
故答案为：
由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin（+α）和sin（-）的值，再利用两角和差的三角公式求得cos（α+）=cos[（+α）-（-）]的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题． 16.答案：171
解析：解：第0行1个数字，第1行2个数字，则第19行共20个数字， 故第18个数字为右边开始第3个，
从第2行开始斜行1，3，6，10，…，即为
，
，
，
，…，
， ．
则第19行第18个数是
根据每行的数字个数可得第18个数字为右边开始第3个，再根据所有的斜行规律，即可求出答案．
本题考查归纳推理和杨辉三角知识，属于一般基础题．
17.答案：解：（Ⅰ）差不为0的等差数列{an}，a2为a1，a4的等比中项，且S3=6． 则：
，
解得，
整理得an=n． （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以整理得
．
，
，
解析：（Ⅰ）首先利用已知条件建立方程组求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
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（Ⅱ）直接利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18.答案：解：（Ⅰ）根据频率和为1，计算[70，80）的频率为： 1-0.1+0.15+0.15+0.25+0.05=0.3，
所以[70，80）对应的频率直方图高度0.03，如图所示；
由频率分布直方图知众数为75； 由0.1+0.15+0.15=0.4，0.4+0.3=0.7， 所以中位数在[70，80）内，计算中位数为70+
=
；
0.1=6人，在[90，100]内有60×0.05=3人； （Ⅱ）成绩在[40，50）内有60×从这9人中选2人，基本事件为（种），
故所求的概率为P==； （Ⅲ）由题意填写列联表如下；
=36（种），其中在同一分数段的基本事件为+
=18
男 女 合计 计算K2=
优秀 4 14 18 ≈7.937＞6.635，
非优秀 26 16 42 合计 30 30 60 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．
解析：（Ⅰ）根据频率和为1求出[70，80）内的频率，得出直方图的高度，求出众数和中位数；
（Ⅱ）求出成绩在[40，50）和[90，100]内的人数，计算基本事件数，求出所求的概率； （Ⅲ）由题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19.答案：解：（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴CC1⊥BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，
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∴AC⊥BC，
∵CC1∩AC=C，∴BC⊥平面A1ACC1， ∴C1D⊥BC，
∵∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠C1DC=90°，∴C1D⊥DC， ∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：∵DA1∥平面BB1C1，∴D，A1到平面BB1C1距离相等， ∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，∴A1C1⊥平面BB1C1， 设点B1到平面C1DB的距离为d， ∵∴
=
，
，，解得d=， ．
，
∴点B1到平面C1DB的距离
解析：（Ⅰ）推导出CC1⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面A1ACC1，进而C1D⊥BC，再推导出C1D⊥DC，由此能证明DC1⊥平面BCD．
（Ⅱ）由DA1∥平面BB1C1，得D，A1到平面BB1C1距离相等，设点B1到平面C1DB的距离为d，由
，能求出点B1到平面C1DB的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：（Ⅰ）设F（-c，0），Q点坐标为（0，yQ）， ∴=（-∵+∴（-∴-，yQ-），=（c，yQ）， =，
，yQ-）+（c，yQ）=（0，0）， +c=0，c=
，
因此，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程：（Ⅱ）由题意可知
；
=1，整理得m2=1+k2，
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
△=（8km）2-4×（1+4k2）（4m2-4）＞0，化简可得m2＜1+4k2， ∴x1+x2=-，x1•x2=
，
，
∴y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=∴λ=•
=x1•x2+y1•y2=
═
，
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∴k2=∴|AB|=
=-+， |x1-x2|=4
•
=4
∵λ∈[，1）， ∴|AB|∈（0，2]
解析：（Ⅰ）根据+
=可得c的值，再根据点在椭圆上，即可求出a2=4，b2=1，
可得椭圆方程，
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系可得k，m的关系，再根据韦达定理，向量的数量积，弦长公式，可得弦长|AB|的范围． 本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的关系，求根公式和解不等式相关知识，属于中档题，
21.答案：解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=2x-lnx-x2-，x＞0，
∴f′（x）=2-（x+）， ∵x+≥2∴
=2，当且仅当x=1时取等号，
，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减， （Ⅱ）∵
，
当a≤0时，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）=1， 当
时，令f′（x）=0，解得x=，
当1≤x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0， ∴f（x）在=1， 当∴
时，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上单调递减，则f（x）≤f（1）=1， ，
成立，
对任意x＞1都成立， ，
，
，
，
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上单调递增，在上单调递减，则时，f（x）≥f（1）
（Ⅲ）证明：当n=1时，当n≥2时，由（Ⅱ）知，取所以当i≥2时所以
，i∈N*则
所以所以所以
所以++++……+
， ＜1+ln
，
＜2+ln（2n+1），
，（n∈N*）．
解析：（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系即可判断，
（Ⅱ）先求导，再分类讨论，利用导数和函数的最值的关系即可求出， （Ⅲ）由（Ⅱ）可得
，再利用放缩法可得时，累加求和即可证明．
本题考查了函数的单调性、最值问题，不等式的证明，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
22.答案：解：（Ⅰ）当α=时，直线C1的参数方程为
换为
，（t为参数）转
（t为参数），转换为直角坐标方程为x-y+4=0．
（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=5，转换为直角坐标方程为x2+y2=25． 把
（t为参数），代入圆的方程得到：（-3+tcosα）2+（1+tsinα）2=25，
整理得t2+（2sinα-6cosα）t-15=0， 则：t1+t2=6cosα-2sinα，t1t2=-15 所以
=
，整理得：
．
解析：（Ⅰ）直接利用转换关系式求出直角坐标方程．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.答案：解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|+|x+1|=
∵f（x）＜4，∴
或-1≤x≤1或
，
．
∴1＜x＜2或-1≤x≤1或-2＜x＜-1，∴-2＜x＜2， ∴f（x）＜4的解集S=（-2，2）；
（Ⅱ）证明：∵a，b∈S，∴a2-4＜0，b2-4＜0， ∴（a2-4）（b2-4）＞0，
∴a2b2-4（a2+b2）+16=（ab+4）2-4（a+b）2＞0， ∴2|a+b|＜ab+4．
解析：（Ⅰ）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）＜4，分别解不等式可得S； （Ⅱ）根据条件可得（a2-4）（b2-4）＞0，进一步得到（ab+4）2-4（a+b）2＞0，从而
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证明结论．
本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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