高等数学下册试卷及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(xy)(a0)的定义域为D= 。 2、二重积分

22ln(xy)dxdy的符号为 。 22|x||y|13、由曲线ylnx及直线xye1，y1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为22x(t)y(t) (x),则弧长元素ds 。

5、设曲面∑为xy9介于z0及z3间的部分的外侧，则

（x2y21)ds 。

dyyytan的通解为 。 dxxx4y0的通解为 。

6、微分方程7、方程y(4)8、级数

1的和为 。 n1n(n1)二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

22（C） zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y当(x)(y)0时，是无穷小；

（D）limzfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y(x)(y)22x00。

y0xy2u2u2、设uyf()xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2y2等于（ ）

yxxy（A）xy； （B）x； (C)y； (D)0 。 3、设：xyz1,z0,则三重积分I0222zdV等于（ ）

（A）4

20d2dr3sincosdr；

01

（B）

20ddr2sindr；

001（C）（D）

22020ddr3sincosdr；

01202ddr3sincosdr。

00221224、球面xyz4a与柱面xy2ax所围成的立体体积V=（ ）

 （A）420ddd2acos04a2r2dr；

 （B）4202acos0r4a2r2dr；

 （C）8202acos0r4a2r2dr；

 （D）

2d22acos0r4a2r2dr。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则

PdxQdy(L)

（A）

(DPQQP)dxdy； （B）()dxdy； yxyxDPQQP)dxdy； （D）()dxdy。 xyxyD （C）

(D6、下列说法中错误的是（ ）

（A） 方程xy2yxy0是三阶微分方程； （B） 方程y2dydyxysinx是一阶微分方程； dxdx23222（C） 方程(x2xy)dx(y3xy)dy0是全微分方程； （D） 方程

dy12yx是伯努利方程。 dx2x7、已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy60平行，而y(x) 满足微分方程y2y5y0，则曲线的方程为y（ ）

x （A）esin2x； （B）e(sin2xcos2x)； x （C）e(cos2xsin2x)； （D）esin2x。

xx8、设limnun0 , 则

nun1n（ ）

（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设f,g均为连续可微函数。uf(x,xy),vg(xxy)，

求

uu,。 xy2、（8分）设u(x,t)2xtxtf(z)dz，求

uu,。 xt四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算I2、计算I20（7分） dxeydy。

x22222xy2z,z1及z2所围成的空间，其中是由(xy)dV闭区域（8分）。 五、（13分）计算ILxdyydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过

x2y2原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)，且f(0)存在，求f(x)。

1f(x)f(y)(x2)2n1七、（8分）求级数(1)的收敛区间。

2n1n1n

高等数学（下册）考试试卷（二）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设2sin(x2y3z)x2y3z，则

zz 。 xy2、lim39xy 。

x0xyy03、设I20dx2xxf(x,y)dy，交换积分次序后，I 。

1t34、设f(u)为可微函数，且f(0)0,则limt022x2y2t2f(x2y2)d 。

5、设L为取正向的圆周xy4，则曲线积分

Ly(yex1)dx(2yexx)dy 。

2226、设A(xyz)i(yxz)j(zxy)k，则divA 。 7、通解为yc1ec2e8、设f(x)x2x的微分方程是 。

，则它的Fourier展开式中的an 。

1,1,x00x二、选择题（每小题2分，共计16分）。

xy2,241、设函数f(x,y)xy0,x2y20x2y20 ,则在点（0，0）处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

2u2u2u0 及 2 20， xyxy则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D：(x2)(y1)1，若I12223，(xy)dI(xy)d 2DD

则有（ ）

（A）I1I2； （B） I1I2； （C）I1I2； （D）不能比较。 4、设是由曲面zxy,yx,x1及z0 所围成的空间区域，则

=（ ） （A）

xy2z3dxdydz

1111； （B）； （C） ； （D）。 36136236335、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为2x(t) (t)，

y(t)2其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且(t)(t)0， 则曲线积分

Lf(x,y)ds（ ）

(A) (C)

f((t),(t))dt； (B)

f((t),(t))2(t)2(t)dt ；

f((t),(t))2(t)2(t)dt； (D)f((t),(t))dt。

2226、设是取外侧的单位球面xyz1， 则曲面积分

xdydzydzdxzdxdy =（ ）

(A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D)4。

7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1y2也是它的解的方程是（ ） (A) yp(x)yq(x)0； (B) yp(x)yq(x)y0； (C) yp(x)yq(x)yf(x)； (D) yp(x)yq(x)0。

8、设级数

an1n为一交错级数，则（ ）

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an0(n0)，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数uln(x的方向的方向导数。

2、（7分）求函数f(x,y)xy(4xy)在由直线xy6,y0,x0所围成的闭区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分）

2y2z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

1、（7分）计算Idv，其中是由x0,y0,z0及xyz1 3(1xyz)所围成的立体域。

2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t)其中(x,y,z)|0zh,xyt五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求I[z22f(x2y2)]dv，

22，求dF。

dtL(exsinymy)dx(excosym)dy，其中L是从A（a，0）经

yaxx2到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算I的外侧。

六、（15分）设函数(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分

222222xyz(0za) ，其中是xdydzydzdxzdxdyL[3(x)2(x)xe2x]ydx(x)dy与路径无关，求函数(x)。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设uyzxzetdt， 则

2u 。 z2、函数f(x,y)xysin(x2y)在点（0，0）处沿l(1,2)的方向导数

fl(0,0)= 。

22 3、设为曲面z1xy,z0所围成的立体，如果将三重积分

If(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则I= 。

 4、设f(x,y)为连续函数，则Ilimt01t2f(x,y)d ，其中

DD:x2y2t2。

5、

L(x2y2)ds ，其中L:x2y2a2。

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果

函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程y6y9yx6x9的特解可设为y 。

2*(1)n1 8、若级数发散，则p 。 pnn1二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(xa,b)f(ax,b)=（ ）

x0x1fx(a,b)。 （A）fx(a,b)；（B）0；（C）2fx(a,b)；（D）2 1、设fx(a,b)存在，则lim 2、设zxy2，结论正确的是（ ）

2z2z2z2z0； （B）0； （A）

xyyxxyyx2z2z2z2z0； （D）0。 （C）

xyyxxyyx3、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f(x,y)

在D上连续，则 （A）0；（B）2

22f(x,y)d（ ）

DD1D222（C）4f(x,y)d； (D)2f(x,y)d。 f(x,y)d；

D14、设：xyzR，则

(x2y2)dxdydz=（ ）

816R5； （D）R5。 1515 （A）R； （B）R； （C）

83355、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处的线密度为(x,y)，则曲线

弧Ｌ的重心的x坐标x为（ ） （Ａ）x=

1x(x,y)dx； LML1（C）x=x(x,y)ds； （D）x= xds, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。

LMLx(x,y)ds； （B）x=

221M６、设为柱面xy1和x0,y0,z1在第一卦限所围成部分的外侧，则

曲面积分

22yzdxdyxzdydzxydxdz＝（ ）  （A）0； （B）5； （C）； （D）。 4244７、方程y2yf(x)的特解可设为（ ）

x （A）A，若f(x)1； （B）Ae，若f(x)e；

432（C）AxBxCxDxE，若f(x)x2x；

2x（D）x(Asin5xBcos5x)，若f(x)sin5x。

８、设f(x) （A）

1,1x00x，则它的Fourier展开式中的an等于（ ）

24。 [1(1)n]； （B）0； （C）1； （D）

nnnt为由方程 F(x,y,t)0 确定的x,y的函数，其中f,F具dx。

三、（１２分）设yf(x,t),有一阶连续偏导数，求

2dy2四、（８分）在椭圆x4y4上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短。 五、（８分）求圆柱面xy2y被锥面z22 x2y2和平面z0割下部分的面积Ａ。

六、（１２分）计算I的外侧。 七、（10分）设

222xyz1 的x0,y0部分 ，其中为球面 xyzdxdydf(cosx)1sin2x，求f(x)。

d(cosx)23八、（10分）将函数f(x)ln(1xxx)展开成x的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（四）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、由方程xyzx2y2z22所确定的隐函数zz(x,y)在点（1，0，-1）处

的全微分dz 。

2、椭球面x2y3z6在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D是由曲线yx,yx2所围成，则二重积分I2222222 (1x)dxdy 。D4、设是由xy4,z0,z4所围成的立体域，则三重积分

I(x2y2)dv= 。

5、设是曲面zx2y2介于z0,z1之间的部分，则曲面积分

I(x2y2)ds 。

6、

x2y2z2a2xyz02xds 。

7、已知曲线yy(x)上点M(0,4)处的切线垂直于直线x2y50，且y(x)满足微分方程y2yy0，则此曲线的方程是 。 8、设f(x)是周期T=2的函数，则f(x)的Fourier系数为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、函数zarcsinyxy的定义域是（ ） x（A）(x,y)|xy,x0； （B）(x,y)|xy,x0； （C）(x,y)|xy0,x0(x,y)|xy0,x0； （D）(x,y)|x0,y0(x,y)|x0,y0 。

2、已知曲面z4xy在点P处的切平面平行于平面2x2yz10，则点P的坐标是（ ） （A）（1，-1，2）； （B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）； （D）（-1，-1，2）。

23、若积分域D是由曲线yx及y2x所围成，则

222f(x,y)d=（ ）

Dx22x2 （A）

11dx2x2x2f(x,y)dy； （B）

11dxf(x,y)dy ；

2x2x2（C）

210dy2y2yf(x,y)dx； （D）222dyf(x,y)dx。

1214、设1:xyzR,z0; 2:xyzR,x0,y0,z0， 则有（ ） （A） （C）

22xdv4xdv；

122 （B）

ydv4ydv；

1212xyzdv4xyzdv； （D）zdv4zdv。

15、设为由曲面zx2y2及平面z1所围成的立体的表面，则曲面积分

(x2y2)ds=（ ）

122； （B）； （C）； （D）0 。 2222222 （A）

６、设是球面xyza表面外侧，则曲面积分

333xdydzydzdxzdxdy＝（ ）  （A）

1212412a3； （B）a5； （C）a5； （D）a5。 5555xlnx，则

xylnx７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率k此曲线方程为（ ）

xxxln(lnx)； （B）yxlnx； eex（C）yexxln(lnx)； （D）yln(lnx)。

e（A）y８、幂级数

(n1)xn1n的收敛区间为（ ）

（A）（-1，1）； （B）(,)； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。

三、（１０分）已知函数uyf()xg()，其中f,g具有二阶连续导数，求

xyyx2u2u x2y的值。

xyx 四、（１０分）证明：曲面xyzc(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的

3

体积为一定值。

五、（１４分）求抛物面z4xy的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面

22(x1)2y21内部的部分的体积为最小。

六、（１０分）计算IL(exsinyy)dx(excosyx)dy，其中Ｌ为y4x2由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。 七、（８分）求解微分方程y2y2=0 。 1yxn 八、（８分）求幂级数的和函数S(x)。

nn1

高等数学（下册）考试试卷（五）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设zf(x,y)是由方程zyxxezyx0所确定的二元函数，则

dz 。

x2y2z23x0２、曲线在点（１，１，１）处的切线方程是 。

2x3y5z40３、设是由xyz1，则三重积分

222edv＝ 。

z４、设f(x)为连续函数，a,m是常数且a0，将二次积分

化为定积分为 。 ５、曲线积分

a0dyem(ax)f(x)dx

0yL(AB)PdxQdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为 。

６、设为za2x2y2，则(x2y2z2)ds 。

2x７、方程y3ye的通解为 。

８、设级数

an1n收敛，

bn1n发散，则级数

(an1nbn)必是 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

x2y,22１、设f(x,y)xy0,(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)，在点（０，０）处，

下列结论（ ）成立。

（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）fx(0,0)fy(0,0)0； （Ｄ）可微。

2f２、设函数zf(x,y)有且f(x,0)1，fy(x,0)x，则f(x,y)=（ ） 2，2y1xyy；1xyy；1xyy；1xyy。（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

３、设Ｄ：1xy4，f在D上连续，则

于（ ） （Ａ）222222222Df(x2y2)d在极坐标系中等

21rf(r)dr； （Ｂ）2rf(r2)dr；

12（Ｃ）2[20 r2f(r)drr2f(r)dr]； （Ｄ）2[rf(r2)drrf(r2)dr]。

000121

４、设是由x0,y0,z0及x2yz1所围成，则三重积分

xf(x,y,z)dv()

（Ａ） （Ｂ）

10dx1y20dz01x2y0xf(x,y,z)dy；

1010dxdy011x2yxf(x,y,z)dz；

xf(x,y,z)dz；

（Ｃ）

dx1x20dy101x2y0（Ｄ）

10dxdyxf(x,y,z)dz。

01５、设是由x0,y0,z0,x1y1,z1所围立体表面的外侧，则曲面积分

xdydzydzdxzdxdy()

（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）

（Ａ）

42225； (xyz)dva3x2y2z2a2（Ｂ）

x2y2z2a2x2y2z2ds4a4;

（Ｃ）

22(x2y2z2)dxdy4a4；

xyz2a2外侧（Ｄ） 以上三结论均错误。

７、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)1。并设曲线积分

(,)44(0,0)Lyg(x)tanxdxg(x)dy

与积分路径无关，则

yg(x)tanxdxg(x)dy()

（Ａ）

2222； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）。 2288(1)n1８、级数的和等于（ ） n12n1（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。

三、求解下列问题（共计１５分）

１、（８分）设uxy,求

zuuu,。 xyz２、（７分）设uf(,)，f具有连续偏导数，求du。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）计算I２、（７分）计算Ixyyzaf(x)bf(y)222D:xyRd，其中。 f(x)f(y)D(xyz1)dv，其中:x2y2z2R2。

五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0上，

L2xy(x4y2)dxx2(x4y2)dy与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。

1x展开为x的幂级数。

(1x)3六、（８分）将函数f(x)七、（７分）求解方程y6y9y0。

高等数学（下册）考试试卷（一）参

一、1、当0a1时，0xy1；当a1时，xy1；

2、负号； 3、

2222ddyD01e1yeydx;3； 4、2(t)2(t)dt； 25、180； 6、sinyCx； x2x7、yC1cos2xC2sin2xC3eC4e2x； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、

uuxg(xxy)； f1yf2；yxuuf(xt)f(xt)；f(xt)f(xt)； xt222y21y2y2y24四、1、dxedydyedxyedy(1e)；

0x00022、2、I柱面坐标20d20drr3dz1220ddr12r3dz22r2214； 3yx,Q五、令P2xy2x2y2Py2x2Q则，(x,y)(0,0)； 222y(xy)xPQ,在D内连续。所以由GreenyxPQ,在D内除O（0，yx于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，公式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，

*0）外都连续，此时作曲线l为xy(01)，逆时针方向，并假设D为

222L及l所围成区域，则 IllLLlGreen公式(lD*QP)dxdy2xyx2y22

六、由所给条件易得： f(0)2f(0)f(0)0 21f(0)

f(x)f(x)f(x)1f(x)f(x)f(xx)f(x)又f(x)lim =lim

x0x0xx1f2(x)f(x)f(0)2 lim f(0)[1f(x)]

x01f(x)f(x)x即

f(x)f(0) 21f(x) arctanf(x)f(0)xc即 f(x)tan[f(0)xc] 又 f(0)0 即ck,kZ f(x)tan(f(0)x)

t2n1 七、令x2t，考虑级数(1)

2n1n1nt2n33t2 lim2n2nnt12n1当t21即t1时，亦即1x3时所给级数绝对收敛；

当t1即x3或x1时，原级数发散；

n1(1)n1当t1即x1时，级数

1收敛； 2n1当t1即x3时，级数

(1)nn11收敛； 2n1级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参

一、1、1； 2、-1/6； 3、

20dyyy/2f(x,y)dxdy242y/2f(x,y)dx ； 4、

2f(0)； 35、8； 6、2(xyz)； 7、yy2y0； 8、0； 二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数uln(xy2z2)在点A（1，0，1）处可微，且

uxuyuzA1xyz1xyz1xyz222222(1,0,1)1/2；

Ayyzzyz22(1,0,1)0；

A22(1,0,1)1/2

而lAB(2,2,1),所以l(,

2321,),故在A点沿lAB方向导数为： 33uzAulAuxAcos+

uyAcos+cos

122110()1/2. 23323fx2xy(4xy)xy(1)02、由得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)4， 2fx(4x2y)0y 又f(0,y)0,f(x,0)0

而当xy6,x0,y0时，f(x,y)2x12x 令(2x12x)0得x10,x24

于是相应y16,y22且f(0,6)0,f(4,2).

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)4，最小值为f(4,2).

3232(0x6)

0x1四、1、的联立不等式组为:0yx1

0z1xy所以I10dx1x0dy1xy0dz 3(1xyz)1x1111]dy dx[020(1xy)241113x15)dxln2 (20x142162、在柱面坐标系中

F(t)20tht1ddr[z2f(r2)]rdz2[hf(r2)rh3r]dr

0003

所以

dF112[hf(t2)th3t]2ht[f(t2)h2] dt33五、1、连接OA，由Green公式得：

ILOAxOALOAOA

Green公式x2y2ax,y0(ecosyexcosym)dxdy0

1ma2 8za2、作辅助曲面1:2 ，上侧，则由Gauss公式得： 22xya I+1=

11

12adxdy

=

x2y2z2,0za2(xyz)dxdydzx2y2a2 =2a0dzax2y2z24zdxdya  20z3dza4a4

2x12六、由题意得：3(x)2(x)xe(x)

即(x)3(x)2(x)xe22x特征方程r3r20，特征根r11,对应齐次方程的通解为：yc1ec2ex2xr22

*2x又因为2是特征根。故其特解可设为：yx(AxB)e代入方程并整理得：A即 y*

1,2B1

1x(x2)e2x 2x2x故所求函数为：(x)c1ec2e1x(x2)e2x 2高等数学（下册）考试试卷（三）参

一、1、yey2z2xex2z2； 2、5； 3、

11dx1x21x2dy1x2y20f(x,y,z)dz；

4、f(0,0);5、2a3； 6、(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy， xyzGauss公式； 7、Ax2BxC 8、P0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt，FxdxFydyFtdt0

dyfxFtftFx由上两式消去dt，即得： dxFtftFy四、设(x,y)为椭圆x4y4上任一点，则该点到直线2x3y60的距离为

22d62x3y13 ；令L(62x3y)(x4y4)，于是由：

222Lx4(62x3y)2x0 Ly6(62x3y)8y0 22Lx4y4083838383得条件驻点：M1(,),M2(,),M3(,),M4(,)

35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin62x3y13M113即为所求。 1322zxy五、曲线在yoz面上的

22xy2yz22y投影为x0(0yz)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

0y2Dyz:， y 0z2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A2Dyz1(x2x)()2d x yz 2Dyzdydz2yy22dy122y0dz2yy28

六、将分为上半部分1:z1x2y2和下半部分2:z1x2y2， 1,2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2y21,x0,y0, 于是：

xyzdxdy1Dxy1x2y2dxdy

极坐标

02d2sincos12d011； 15xyzdxdy2Dxy22xy(1xy)(dxdy)1， 15 I1=

22 15七、因为

df(cosx)1sin2x，即f(cosx)1sin2x

d(cosx)2 所以f(x)2x f(x)2x213xc 32八、f(x)ln[(1x)(1x)]ln(1x)ln(1x)

(1)n1nu,u(1,1] 又ln(1u)nn1(1)n1n(1)n12nxx,x(1,1] f(x)nnn1n1(1)n1nx(1xn), nn1x(1,1]

高等数学（下册）考试试卷（四）参

一、1、dx2dy；2、x2y3z6； 3、

x2153； ； 4、32； 5、22036、a； 7、y2(2x)e23；

8、a0 bk11f(x)21dx；ak2f(x)coskxdxk1,2,n,

f(x)sinkxdxk1,2,n,

二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C

三、uxyyyf()g()g() xyxxx2u1xyyyyy2y 2f()2g()2g()3g()

yyxxxxxxxy2y1xf()3g()  yyxxyy2uxx1y1y 2f()g()g()2g()

xxxyyxxxxy xxyyf()g() 22yyxx2u2u0 故x2yxyx33四、设M(x0,y0,z0)是曲面Fxyzc0上的任意点，则x0y0z0c，

在该点处的法向量为：

n(Fx,Fy,Fz)M111c3c3c3(y0z0,z0x0,x0y0)(,,)c3(,,)

x0y0z0x0y0z0111(xx0)+(yy0)+(zz0)=0

y0x0z0于是曲面在M点处的切平面方程为：

即

xyz++=1 3x03y03z0因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

V1993x03y03z0x0y0z0c3 62222这是一个定值，故命题得证。

22五、由于介于抛物面z4xy，柱面(x1)y1及平面z0之间的立体体积

22为定值，所以只要介于切平面，柱面(x1)y1及平面z0之间的立体体积V为最大即可。

设与z4xy切于点P(x0,y0,z0)，则的法向量为n(2x0,2y0,1)，且

22z04x0y0，切平面方程为：2x0(xx0)2y0(yy0)(zz0)0

22

22 即z2x0x2y0y4x0y0

 于是V(x1)2y21zd极坐标（2xcos2y202022sin4x0y0)d

22 (2x04x0y0)

Vx(22x0)00 则由，得驻点（1，0）

V2y0y0 且V(1,0)5,z05.

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：z2x3 六、联接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，则

ILBABALBABAGreen公式(excosy1excosy1)dxdy0D 21224 2dzdz22z0 ，于是原方程可化为：zdy1ydy2七、令yz(y)，则yzdydz21y0，其通解为zc1e 即c1(y1)2 dy1y dydyc1dx c1(y1)2 即

(y1)2dx1

c1xc2故原方程通解为：y1八、易求得该幂级数的收敛区间为(1,1).

xnxn1x(1,1)，令S(x)，则S(x)()xn1

nn1xn1n1n1注意到S(0)0，S(x)x0S(x)dxdxln(1x) 01xx高等数学（下册）考试试卷（五）参

adx(1xezyx)dyx1y1z1m(ax)一、1、；2、；3、；4、 2ef(x)(ax)dx；zyx01xe1691 5、对任意闭曲线l，PdxQdy0或

lPQ或u(x,y),使得duPdxQdy； yx 6、2a； 7、yce43x1e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A 三、1、

zzzuuuxyyz1zlnx；yzxy1；yzxylnxlny yxz2、u1f1xyux12f1f2yzyuy2f2 zz du1x1yuuudxdydzf1dx(2f1f2)dy2f2dz。

yzxyzyz四、1、因为积分域D关于yx对称，所以

IDaf(x)bf(y)af(y)bf(x)dd

f(x)f(y)f(y)f(x)D1af(x)bf(y)af(y)bf(x)[dd] 2Df(x)f(y)f(y)f(x)D故I = 2、I112(ab)d(ab)R； 2D2222(xyz)dV2x(yz1)dV2yzdV +2ydV2zdVdV

 因为关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变

量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：

I4322223zdVR (xyz)dVdV3 6R0dz43432zdxdyRR(1R2)。 33x2y2R2z22242五、令P2xy(xy),Qx(xy)

4

则

P2x(x4y2)4xy2(x4y2)1，yQ2x(x4y2)4x5(x4y2)1 x 由已知条件得

QP42，即有(xy)(1)0，所以1 xy 所求的一个原函数为 ： u(x,y)(x,y)2xyx2(1,0)x4y2dxx4y2dy 2 x10dxyx0x4y2dyarctanyx2 六、易知

1x2((1x)31x)(1x)32(1x)31(1x)2

又

11xxn(1x1)

n0 11n(1x)2(1x)nx1 n1 1(1x)3(1(1x)2)n(n1)xn2n2(n1)nxn1 n11x n1(1x)3(n1)nxn1， 其中

n1nxn1n2xn1 n1七、方程的特征方程为：r26r90，其特征根为r1r23，故方程的通解为：y(c1c2x)e3x

(1x1)