自控第三章

第三章：1、一阶系统对典型输入信号的输出响应。（单位）阶跃函数（Step function）1(t),t0;（单位）斜坡函数（Ramp

tdh(t)Mp超调量允许误差1h()0.9h()function）速度 t,t0;（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线

td0.5h()0.1h()00.02或0.0512;脉冲函数（Impulse function） t,t0（单位）

2(t),t0;正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作

trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线t用具有周期性变化时。

2、动态性能指标： 1.延迟时间td：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。 2.上升时间tr:（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，

所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系

统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。

%h(tp)h()h()100%3.峰值时间tp（Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。

4.调节时间ts: （Settling Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或

2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。

5.最大超调量Mp:（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值h()之差的百分比，即%

ts同时反映响应速度和 31 tr或tp评价系统的响应速度；

尼程度的综合性指标。%评价系统的阻尼程度。

3、一阶系统的时域分析

c(t)1c(t)=1-e阻

0.6321单位阶跃响应 单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)，则系统

S1111输出由式为 C(s)(s)R(s) TS1SSTS1对上式取拉氏反变换，得

tT98.2%86.5%99.3%95%63.2%的

0T2T3T4T5Ttc(t)1e t0 （3-4）

注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。 响应曲线在t0时的斜率为

图3-4指数响应曲线11，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。如图3-4TT所示。

由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。 动态性能指标：

td0.69Ttr2.20Tts3T(5%误差带）tp和％不存在

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4、二阶系统时间响应及其动态性能指标计算。

自控第三章

典型传递函数

210.60.2 01tdn二阶系统的单位阶跃响应

两个正实部的特征根 不稳定系统 闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统 为两个相等的根,临界阻尼系统 两个不相等的根，过阻尼系统 虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，无阻尼系统

欠阻尼情况 二阶系统一般取0.4~0.8,0.7 。其它的动态性能指标，有的可用和n精确表示，如tr,tp,Mp,有的很难用和n准确表示，如td,ts,可采用近似算法。当01时，特征根 s1.2=wnjwn1,

2arctan12,wdwn12

10.7

⑴ 时，亦可用td⑵tr（上升时间）

ntr d一定，即一定，ntr ,响应速度越快



⑶tp(峰值时间)

tp d一定时，n（闭环极点力负实轴的距离越远）tp

⑷ %orMp的计算，超调量

超调量在峰值时间发生，故h(tp)即为最大输出

%⑸调节时间tS2wn(s)22s2wnswnh(tp)h()h()12100%e100%

的计算

选取误差带

0011012 / 132 / 13

自控第三章

0.05tS3.5n4.5tS3.5n4.5

0.02tSntStSn

3当较小 0.4

n4(0.05)

tS

系统的单位阶跃响应为 C(t)=1-

n(0.02)112ewntsin(wdt)

动态性能指标计算公式为 上升时间 trwdwn12

峰值时间 tpwdwn121Td 2其中Td是有阻尼振荡周期，且Td=

12,fd是有阻尼振荡频率。 fdwd12超调量

pe100%

调整时间 ts34(0.05)或ts(0.02) wnwnts1.5121.5振荡次数 N= （=0.05） Tdlnp212ts2或 N= （=0.02） Tdlnp5、系统稳定性分析

特征根必须全部分布在S平面的左半部，即具有负实部。已知系统的特征方程时，可采用Routh稳定判据或Hurwitz稳定判据判定系统的稳定性。特征多项式各项系数均大于零(或同符号)是系统稳定的必要条件。

Routh判据：由特征方程各项系数列出Routh表，如果表中第一列各项严格为正，则系统稳定；第一列出现负数，则系统不稳定，且第一列各项数值符号改变的次数就是正实部特征根的数目。

Hurwitz判据：由特征方程各项系数构成的各阶Hurwitz行列式全部为正，则系统稳定。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：

① 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。

3 / 133 / 13

自控第三章

② 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。

在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。

·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。 ·劳斯表中出现全零行

则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。

6、稳态误差的计算

令系统开环传递函数为G(s)H(s)K(is1)s(Tjs1)j1i1nm,nm

0型系统0:为系统中含有的积分环节数1型系统2型系统2时，型以上的系统，实际上很难使之稳定，所以这种类型的系统在控制工程中一般不会碰到。(复合系统)

KplimH(s)R(s)s0(366)

KvlimSH(s)G(s)limKs0s0S1KKalimS2G(s)H(s)limv2s0s0S(368)

(370)

误差系数 类型 0型 Ⅰ型 Ⅱ型 静态位置误差系数 速度 K ∞ ∞ 加速度 0 0 K Kp Kv0 K ∞ Ka ess

输入 r(t)R0 r(t)v0tr(t) 1a0t22 4 / 134 / 13

自控第三章 类型 0型 R01K 0 ∞ ∞ Ⅰ型 v0K 0 ∞ Ⅱ型 0 a0K 第三章 时域分析法 三、自测题

1．线性定常系统的响应曲线仅取决于输入信号的______________和系统的特性，与输入信号施加的时间无关。 2．一阶系统1/（TS+1）的单位阶跃响应为 。

3．二阶系统两个重要参数是 ，系统的输出响应特性完全由这两个参数来描述。

4．二阶系统的主要指标有超调量MP%、调节时间ts和稳态输出C(∞)，其中MP%和ts是系统的 指标，C(∞)是系统的 指标。

5．在单位斜坡输入信号的作用下，0型系统的稳态误差ess=__________。 6．时域动态指标主要有上升时间、峰值时间、最大超调量和__________。 7．线性系统稳定性是系统__________特性，与系统的__________无关。 8．时域性能指标中所定义的最大超调量Mp的数学表达式是__________。 9．系统输出响应的稳态值与___________之间的偏差称为稳态误差ess。 10．二阶系统的阻尼比ξ在______范围时，响应曲线为非周期过程。 11．在单位斜坡输入信号作用下，Ⅱ型系统的稳态误差ess=______。 12．响应曲线达到过调量的________所需的时间，称为峰值时间tp。 13．在单位斜坡输入信号作用下，I型系统的稳态误差ess=__________。

14．二阶闭环控制系统稳定的充分必要条件是该系统的特征多项式的系数_____________。 15．引入附加零点，可以改善系统的_____________性能。

16．如果增加系统开环传递函数中积分环节的个数，则闭环系统的稳态精度将提高，相对稳定性将________________。 17．为了便于求解和研究控制系统的输出响应，输入信号一般采用__________输入信号。 18．当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号。（ ） 19．暂态响应是指当时间t趋于无穷大时，系统的输出状态。（ ） 20．在欠阻尼0＜ζ＜1情况下工作时，若ζ过小，则超调量大。（ ） 21．远离虚轴的极点对系统的影响很小。（ ）

22．当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。（ ） 23．稳态响应是指系统从刚加入输入信号后，到系统输出量达到稳定值前（ ） 24．闭环系统稳定的充要条件是系统所有特征根必须位于S平面的左半平（ ） 25．若要求系统快速性好，则闭环极点应靠近虚轴。（ ）

1．控制系统的上升时间tr、调整时间ts等反映出系统的( ) A.相对稳定性 B.绝对稳定 C.快速性 D.平稳性 2．时域分析中最常用的典型输入信号是（ ） A.脉冲函数 B.斜坡函数 C.阶跃函数 D.正弦函数

3．一阶系统G(s)=K/(TS+1)的放大系数K愈小，则系统的输出响应的稳态值（ ） A.不变 B.不定 C.愈小 D.愈大

4．一阶系统G(s)= K/(TS+1)的时间常数T越大，则系统的输出响应达到稳态值的时间( ) A．越长 B．越短 C．不变 D．不定

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自控第三章

5．二阶系统当0<ζ<1时，如果增加ζ，则输出响应的最大超调量将Mp（ ） A.增加 B.减小 C.不变 D.不定

6．当二阶系统特征方程的根为具有负实部的复数根时，系统的阻尼比为（ ） A．ζ<0 B．ζ＝0 C．0<ζ<1 D．ζ≥1

7．已知单位反馈控制系统在阶跃函数作用下，稳态误差ess为常数，则此系统为（ ） A．0型系统 B．I型系统 C．Ⅱ型系统 D．Ⅲ型系统

8．若一系统的特征方程式为(s+1)2(s－2)2+3＝0，则此系统是（ ） A．稳定的 B．临界稳定的 C．不稳定的 D．条件稳定的

9．一般讲，如果开环系统增加积分环节，则其闭环系统的相对稳定性将( )

A.变好 B.变坏 C.不变 D.不定 10．控制系统的稳态误差ess反映了系统的（ ）

A．稳态控制精度 B．相对稳定性 C．快速性 D．平稳性

10(s，1) 11．已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)s(s1)(s5)该系统闭环系统是（ ）

A．稳定的 B．条件稳定的 C．临界稳定的 D．不稳定的

12．下列判别系统稳定性的方法中，哪一个是在频域里判别系统稳定性的判据（ ） A.劳斯判据 B.赫尔维茨判据 C.奈奎斯特判据 D.根轨迹法

13．已知系统的特征方程为(s+1)(s+2)(s+3)=s+4，则此系统的稳定性为（ ） A．稳定 B．临界稳定 C．不稳定 D．无法判断 14．令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的( ) A．代数方程 B．特征方程 C．差分方程 D．状态方程

4K15．设一单位反馈控制系统的开环传递函数为G0(s)= ，要求KV=20，则K=( )

A．10 B．20 C．30 D．40 s(s2)

k(s10)，当k增大时，闭环系统（ ） 16．设G(s)H(s)= (s2)(s5)

A．由稳定到不稳定 B．由不稳定到稳定C．始终稳定 D．始终不稳定 17．过阻尼系统的动态性能指标是调整时间ts和( )

A．峰值时间tp B．最大超调量Mp C．上升时间tr D．衰减比Mp／Mp′

1018．设控制系统的开环传递函数为G(s)= ，该系统为( )

s(s1)(s2)A．0型系统 B．1型系统 C．2型系统 D．3型系统

[例1]已知系统的结构如下图所示，单位阶跃响应的超调量σ%=16.3%，峰值时间tp=1s。试求：

(1)开环传递函数G(s)；(2)闭环传递函数Φ(s)；

R(s)k10s(s+1)τsC(s) (3)根据已知性能指标Mp%、 tp确定参数K及τ； (4)计算等速输入（恒速值R=1.5）时系统的稳态误差。

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自控第三章

[例2]已知控制系统的结构如下图所示。

（1）当b=0时，试确定单位阶跃输入时系统的阻尼系数、自然频率、最大超调量，以及由单位斜波输入所引起的稳态误差。

（2）确定系统的阻尼比等于0.8时的速度反馈常数b的值，并确定在单位输入时的最大超调量和单位斜波输入所引起的稳态误差。

（3）怎样使第（2）问的ζ=0.8保持不变而使其稳态误差等于第（1）问的稳态误差值？

R(s)E(s)16C(s)s(s+4)bs （3）怎样使第（2）问的ζ=0.8保持不变而使其稳态误差等于第（1）问的稳态误差值？

用比例加微分串联校正可以达到目的，如上图所示。

1（本题共20分）单位反馈控制系统的开环传递函数为

G0(s)K 2(s2)(s4)(s6s25)确定使系统闭环输出响应为持续振荡时的K值及响应的振荡频率。 系统的闭环特征方程为

s412s369s2198s200K)

劳斯判据

s4s3s2s1s011252.512(200K)19852.5200K69198200K200K

使系统闭环输出响应为持续振荡时198K=666.25 由辅助方程

12(200K)0

52.552.5s2866.250

4.06rad/s

2已知一个控制系统的方框图如图3所示，要求该系统的单位阶跃响应c(t)具有超调量

R(s)+ - K + - 10 s(s1)7 / 137 / 13 C(s) s 自控第三章

%16.3%和峰值时间tp1s，试确定前置放大器的增益K及内反馈系数的值。

图3

12(1) e0.163,tpn121

可得

0.5

n3.63rad/s（2）闭环传递函数

2nC(s) 2R(s)s22nsn10C(s)10Ks(s1)G0(s)K2

10sR(s)s(110)s1s(s1)G(s)G0(s)C(s)10KK2 R(s)1G0(s)s(110)s10K,

210Kn(3.63)2K1.32

1102n2*0.5*3.630.263

3单位反馈系统的闭环传递函数为

G(s)(1s1)(1s1)(ms1)

(T1s1)(T2s1)(Tns1)求系统在单位斜坡函数作用下的稳态误差

e(s)1G(s)1P(s)Q(s)P(s)R(s)，R(s)1/s2 ，E(s)e(s)R(s)Q(s)Q(s)nnQ(s)P(s)Q(s)P(s)esslimsE(s)esslimlimTii

sQ(s)Q(s)sQ(s)s0s0s0i1i14某控制系统如图3-5所示。其中控制器采用增益为Kp的比例控制器，即

Gc(s)=Kp

试确定使系统稳定的Kp值范围。

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自控第三章

R(s)Gc(s)1s(0.1s+1)(0.2s+1) 图3-5C(s)

解：系统的闭环传递函数为

GB(s)=

Gc(s)C(S) R(S)s(0.1s1)(0.2s1)Gc(s)系统的闭环特征方程为

D(s)s(0.1s1)(0.2s1)Kp2s30s100s100Kp列劳斯列阵

32

s3s2ss0230301002100Kp30100Kp100100Kp

若要使系统稳定，其充要条件是劳斯列表的第一列均为正数，得稳定条件为

100Kp>0

30*1002*100Kp30求得Kp取值范围：00

5设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)Ksss(1)(1)36，若要求闭环特征方程根的实

部均小于－1，试问K应在什么范围取值？ 解 系统的闭环传递函数GB(s)：

GB(s)K

sss(1)(1)K36系统的闭环特征方程为

D(s)s(s3ss1)(1)K 3629s18s18K01） 要求Re(Si)<-1 求K取值范围，令 s=Z-1代入特征方程

(Z-1)39(Z-1)218(Z-1)18K0

Z36Z23Z18K100

显然，若新的特征方程的实部小于0，则特征方程的实部小于-1。 劳斯列阵：

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自控第三章

Z3Z2ZZ0162818K618K105 9318K10

要求Re(Si)<-1 根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有

18K10>0 K2818K0 K14 69所以要求Re(Si)<-1，5K14

996（本题共10分）（本题共10分）控制系统的方块图如图2所示。求在输入信号为r(t)1(t)时系统的稳态响应和稳态误差。

+ R(s)－ K(s2)s(s3)1s1Y(s)

图2

解： G(s)K(s2)(s1)s(s3)(s1)K(s2)

(s)s32s2(K3)ssK0

系统为不稳定系统，无稳态响应和稳态误差

7（本题共20分）一、（本题共20分）如图1所示的机械系统，y(t)为质量m物体的位

移。当系统受到F10N的恒力作用时，y(t)的变化如图所示。确定系统的m(物体质量)，

（阻尼系数）和k（弹簧倔强系数）的数值。图1

k F y(m)

0.08 0.06 0.04

y(t) μ

3

10 / 1310 / 13

6

t(s)

0.02

m 自控第三章

以F为输入，位移y(t)为输出的微分方程为

my(t)y(t)ky(t)F(t)

系统的传递函数为

...G(s)Y(s)1 F(s)ms2skY(s)1110F(s)

ms2skms2skss0y()limsY(s)0.06

10/k=0.06，k=166.7N/m。

由系统响应曲线可知

etp/12.100%=33.3%，0.33

由响应曲线可知，峰值时间为

n12=3，n1.109rad/s

由系统的特征方程

2s22nsns2msk0 m得mk2n2m99.2N/(m/s) 135.5kg，2n8. (本题20分) 系统结构图如下

（1） 求出此系统的闭环传递函数；

（2） 当Kp1、Ti0时，计算闭环系统单位阶跃响应的超调量、峰值时间；

2（3） 当Kp0、Ti1时，系统输入为rt0.5t求系统的稳态误差。

解：

（1）

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自控第三章

（2）特征方程 s22s40 n2 0.5

％＝16.5% tp1.81sec

（3）开环传递函数为

9 (本题10分) 设系统处于静止状态，当输入单位阶跃函数时其输出响应为

y(t)1e2tet t>0

试求该系统的传递函数。

解 由题意可知：系统的初始条件为零，r(t)=1(t)于是R(s)= L[1（t）]=1/s。对上述响应表达式的两边取拉氏变换，则有

111s24s2Y(s)

ss2s1s(s2)(s1)令Y（s）=G(s)R(s)=G(s)/s,由上式便可求得系统的传递函数为

Y(s)s24s2G(s)

R(s)(s2)(s1)10 (本题20分) 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)Ksss(1)(1)36，若要求闭环特

征方程根的实部均小于－1，试问K应在什么范围取值？ 解 系统的闭环传递函数GB(s)：

GB(s)K

sss(1)(1)K36系统的闭环特征方程为

D(s)s(s3ss1)(1)K 369s218s18K01） 要求Re(Si)<-1 求K取值范围，令 s=Z-1代入特征方程

(Z-1)39(Z-1)218(Z-1)18K0

Z36Z23Z18K100

显然，若新的特征方程的实部小于0，则特征方程的实部小于-1。 劳斯列阵：

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自控第三章

Z3Z2ZZ0162818K618K105 9318K10

要求Re(Si)<-1 根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有

18K10>0 K2818K0 K14 69所以要求Re(Si)<-1，5K14

99

11、（本题共15分）系统的动态结构图如下图所示，要求输入r(t)单位阶跃时,超调量

P20%，峰值时间tP1s。

1.试确定K和Kt的值。

2.在所确定的K和Kt的值下，当输入r(t)单位阶跃时，系统的稳态误差是多少？

解: 1.系统闭环传递函数为：

2nK(s)2(s)22s(1KKt)sK ，与标准二阶传递函数s2nsn相比

2Kn可得到，2n1KKt

又因为

12p%etp20%0.45582n11n3.5312

2n10.1782K12.4694nK所以：，

e0

2.系统为I型系统，在单位阶跃下ssKt

13 / 1313 / 13