高中数学专题学习：等差数列与等比数列

知识梳理

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 数列的定义 项 数列的有关概念 项数 数列 数列的通项 通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列的前n项和 知识点一：等差数列通项公式及前n项和公式

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d为公差. ⑵前n项和公式Snn(a1an)1或Snna1n(n1)d. 22⑶第二通项公式 anam(nm)d

方法归纳：

等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列； ⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列.

1

⑶通项法：anknb(n,k为常数)an是等差数列.

【例1】（A类）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33，S624，则a9 . 【解题思路】本小题为前n项和公式的运用.

【答案】15

3【解析】S33a12d32,解得a11，a9a18S66a165d2d15.

2d24【课堂练习】

1.（A类）在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an 【解题思路】本小题主要考查两个公式的运用，

【解析】解法一：∵aa31a14d102510，12，则 a111d31a1d3

∴ana1(n1)d3n5 a20a119d55 解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55 ana12(n12)d3n5 小结：第二通项公式 anam(nm)d

2.（A类）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )

A．13 B．35 C．49 D． 63 【解题思路】直接利用公式求解

【答案】 C 【解析】Sa7)77(a127(a2a6)27(311)249.故选C. 或由a2a1d3aa11, a716213.6a15d11d2 所以S7(a1a7)727(113)249.故选C. 【例2】（B类）（2010北京文）已知an为等差数列，且a36，a60.

（Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）若等比数列

{bn}满足b18，b2a1a2a3，求

{bn}的前n项和公式

【解题思路】考查通项公式与前n项和公式的应用.

2

【解析】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差d. 因为a36,a60 所以a12d6 解得a110,d2

a5d01 所以an10(n1)22n12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2a1a2a324,b18

所以8q24 即q=3

b1(1qn)所以{bn}的前n项和公式为Sn4(13n)1q

【课堂练习】

3.（A类）已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

【解题思路】利用等差数列的通项公式ana1(n1)d求出a1及d，代入Sn可求项数n； 【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a13d9a118,d3

a18d6Sn18n3n(n1)63n16,n272

知识点二：等比数列通项公式及前n项和公式

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0)，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：ana1qn1，a1为首项，q为公比 . ⑵前n项和公式：①当q1时，Snna1

a1(1qn)a1anq②当q1时，Sn. 1q1q⑶第二通项公式：anamqnm

方法归纳：

3

等比数列的判定方法

①anan1q(n2,q为常数,且0)

2an1an1(n2，anan1an10) ②an③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比数列的充要条件是数列{logxan}（x1）成等差数列. 【例3】（A类）已知an为等比数列，a32，a2a4【解析】方法一 设等比数列{an}的公比为q，则q则比， a2=

a32220=，a4=a3q=2q， ∴+2q=. qqq31320，求an的通项公式. 3解得q1=，q2=3.

①当q=时，a1=18，∴an=18×()n-1=

29291313183n1=2×33-n；

②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3. 综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3. 方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=则a2，a4为方程x2-20， 320x+4=0的两根， 32a26a2解得3或2.

a46a43①当a2=时,q=3,an=2×3n-3; ②当a2=6时，q=,an=2×33-n. 综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.

【课堂练习】

4.（B类）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则

A.11 B.5 C.8 D.11

3【解析】通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q0，解得q=-2，代入所求式可知答

2313S5S2

案选D.

【例4】（C类）（2010辽宁文）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则

4

公比q( )

A.3 B.4 C.5

D.6

【解题思路】做题技巧的应用，Sn与Sn1之间的关系应用 【解析】选B. 两式相减得， 3a3a4a3，a44a3,qa4a4. 3知识点三：等差与等比数列的性质应用

等差数列 等比数列 定义 {an}为APan1and(常数） {an}为GPan1aq(常数） n中项公b式 A=a2 推广：2a2n=anmanm G2ab.推广：ananmanm 性1 质若m+n=p+q则 amanapaq 若m+n=p+q，则amanapaq. 2 若{kn}成A.P（其中knN）则{akn}若{kn}成等比数列 （其中knN），也为A.P. 则{akn}成等比数列. 3 sn,s2nsn,s3ns2n 成等差数列. sn,s2nsn,s3ns2n成等比数列. 4 dana1aman(mn) 1n1mnqnana ， qnman1a m(mn) 5 若等差数列an的前n项和Sn，则数列an是等比数列，则数列、panSn（p0是常数）都是等比数列； n是等差数列； 在等比数列an中，等距离取出若干当项数为2n(nN)，则项也构成一个等比数列，即Sa偶S奇nd,S偶ann,ank,an2k,an3k,为等比数列，S1； 奇an公比为qk. 当项数为2n1(nN)，则 SS偶n1奇S偶an,S. 奇n

5

方法归纳：

1.等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列. 2.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等比中项a，A，b成等比数列G2ab. 注意：i. bac，是a、b、c成等比的双非条件，即baca、b、c等比数列.

ii. bac（ac＞0）为a、b、c成等比数列的充分不必要条件. iii. bac为a、b、c成等比数列的必要不充分条件. iv. bac且ac0为a、b、c成等比数列的充要条件.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，只有当ac＞0时，才有等比中项. 【例5】（B类）等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？ 【解题思路】等差数列增减性的判定. 【解析】：由条件S9=S12可得 9a1+

98112d=12a1+

122d，即d=-110a1.

由a1＜0知d＞0,即数列{an}为递增数列.

a1方法一 由na1(n1)d0， 得1（n1）0an1a1nd010,解得10≤n11≤11.

10n0∴当n为10或11时，Sn取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小.

方法二 ∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.

又∵a1＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小. 方法三 ∵S9=S12，

∴Sn的图像所在抛物线的对称轴为x=

9122=10.5,

又n∈N+，a1＜0,∴{an}的前10项或前11项和最小. 方法四 由Sn=na1+n(n1)d2d=

2n2+ad12n，

结合d=-110a1得

Sn=120a1·n2+2120aa2121441·n=-120n2+80a1 （a1＜0）， 由二次函数的性质可知n=212=10.5时，Sn最小.又n∈N+，故n=10或11时Sn取得最小值.

【课堂练习】

6

5.（C类）已知Sn为等差数列an的前n项和，Sn12nn2. ⑴求a1a2a3；

⑵求a1a2a3a10； ⑶求a1a2a3an.

【解题思路】利用Sn求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】Sn12nn2，

当n1时，a1S112111，

当n2时，a22nSnSn1(12nn)12(n1)(n1)132n，

当n1时，132111a1， an132n. 由an132n0，得n132，当1n6时，an0；当n7时，an0. ⑴a21a2a3a1a2a3S3123327；

⑵a1a2a3a10a1a2a3a6(a7a8a9a10)

2S2)(12101026S102(1266)52；

⑶当1n6时，a21a2a3ana1a2a3an12nn， 当n7时，a1a2a3ana1a2a3a6(a7a8an)

2S2(12662)(12nn2)n26Sn12n72.

6.（B类）在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．【解题思路】带字母公式的推导应用 【解析】

解 ∵S1m+n＝(m＋n)a1＋2(m＋n)(m＋n－1)d＝(m＋n)[a＋1 12(m＋n－1)d]且Sm＝Sn，m≠n

∴ma11＋2m(m－1)d＝na11＋2n(n－1)d

整理得(m－n)ad1＋2(m－n)(m＋n－1)=0

7

1(m＋n－1)d]=0 21由m≠n，知a1＋(m＋n－1)d＝02即(m－n)[a1＋∴Sm+n＝0.

【例6】（C类）等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的nN ，点(n,Sn)，均在函数

ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上. 求r的值；

【解题思路】本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型

【解析】因为对任意的nN,点(n,Sn)，均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上.所以

得Snbnr,

当n1时,a1S1br,

nn1nn1n1当n2时,anSnSn1br(br)bb(b1)b,

又因为{an}为等比数列, 所以r1, 公比为b, 所以an(b1)bn1 【课堂练习】

7.（B类）已知等比数列{an}的前n项和Sn2na【解题思路】等比数列前n项和公式特点的运用 【解析】

，

2则an的前n项和Tn

由SnAqnA的特点可知，a1an2n1,a42nn1 1n,Tn(41)3【例7】（C类）（2010广东理）已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2a32a1， 且a4与2a7的等差中项为

5，则S5= 4A．35 B.33 C.31 D.29

8.（C类）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项;

（Ⅱ）求数列{2n}的前n项和Sn.

a 8

巩固练习

基础训练（A类）

1.（2010全国卷2理）如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7( )

A.14 B.21 C.28 D.35 2.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于( ) A．1 B

53 C.- 2 D 3 3.已知{an}为等差数列，，则

等于( )

A. -1

B. 1

C. 3

D.7

4.（2010辽宁理）（6）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4=1, S37,则S5（A.

152 B. 3133174 C. 4 D. 2 5.已知等比数列{aa2n}的公比为正数，且a3·9=2a5，a2=1，则a1= （ ） A.

12 B. 22 C. 2 D.2

6.（2010安徽文）设数列{an}的前n项和Snn2，则a8的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 49 D.

） 9

7.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝（ ） A.－2 B.－

11 C. D.2 228.设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= ．

9.设等比数列{an}的公比q

10.（2010福建理）在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式

1S，前n项和为Sn，则4 ． 2a4an ．

提高训练（B类）

1.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

2.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

23.等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138,则m( )

A.38 B.20 C.10 D.9

4.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）

n27nn25nn23nA． B． C． 4433242D．nn

5.已知等比数列an中a21，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A.,1 B.,0C.3, D.,11,

3,

6.（2010江苏卷）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5= .

7.若数列{an}满足：a11,an12an(nN)，则a5 ；前的和S8 .（用

数字作答）

10

8.设等比数列{an}的前n项和为sn.若a11,s64s3，则a4= . 9.设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则

S9 . S510.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4 .

综合迁移（C类）

1. 已知{an}为等比数列，且a3a636,a4a718.

（1）若an1，求n；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8. 2

2.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,且S3S550,a1,a4,a13成等比数列．求数列an的通项公式；

3.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，

且a13，3a2，a34构成等差数列． (1)求数列{an}的等差数列．

，2，，(2)令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和Tn．

4.等比数列{an}中，已知a12,a416 （I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

11

5.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求{an}前n项和sn.

6.（2010山东理）已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=

1(nN*)，求数列bn的前n项和Tn． 2an1 12