2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

梦想不会辜负每一个努力的人

绝密★启用前

2013 年一般高等学校招生全国一致考试

数

注意事项：

(新课标Ⅱ卷 )

学 (文科)

准考据

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名 号填写在本试卷和答题卡相应地点。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共 50分）

一、选择题：本大题共 10 小题。每题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1、已知会合 M { x | 3 x （A）{ 2, 【答案】 C

1} ， N { 3, 2, 1,0,1} ，则 M I N

（ ）

1,0,1} （B） {

3, 2, 1,0} （C）{ 2, 1,0} （ D） {

3, 2, 1}

【分析】由于 M { x 3 x 1} ， N { 3, 2, 1,0,1} ,因此 M I N { 2, 1,0} ，选 C.

2、

2 1 i

（ ） （A） 2 2 【答案】 C

（B） 2

（C）

2 （D）1

【分析】

2 1 i

2(1 i )

2(1 i ) 2 1 0,

1 i ，因此

2 1 i

2 ，选 C.

(1 i )(1 i )

x y x y x 3,

（B） 6

3、设 x, y 知足拘束条件

1 0, ，则 z 2x 3 y 的最小值是（

） （A） 7

（C） 5

（D） 3

【答案】 B

1

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【分析】由

2

z=2x-3y 得 3y=2x-z ，即 y

z 3

x。作出可行域如图 , 平移直线 2

yx

z

，由图象可知当直线

y x y

3 2 z

x

经过点 B 时，直线 y

2

x

z

的截距最大， 此时 z 取

3

3

得最小值，由 x y 1 0 x 3

得

3 3 3 4

3

3

得 z 3 2 3 4

，即 B(3, 4) , 代入直线 z=2x-3y

6 ，

选 B.

4、

ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b

2 ， B

， C ，则 ABC 的面积

为（ ）

6

4

（A）2 3 2 【答案】 B

（B）31

（C）2 3

2

（D）31

【分析】 由于 B

, C 6

,因此 A

4 面

b 7 .由正弦定理得

12 sin

角

形

的

积

为

1 2

bc sin A

c ，解得 c 2 2 。因此三

sin 6 4 1 7

因 为 2 2 2 sin .

2 12

sin

7

12

sin(

3

2 2

)

4 3 2 2 ( 3

2 2 1 ) 2

2 1 2 2

2 ( 3 1 ) 2 2 2

，

所

以

1 bc sin A

3 1，选 B.

2 2

2

2

5、设椭圆 C :

x 2 2 a

y 2

b

1 ( a b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ， P 是 C 上的点， PF2 F1F2 ，

PF1F2

3 6 30o，则 C 的离心率为（

）

（ A）

（ B）

1 3

（ C）

1

（ D）

3 3

2

【答案】 D

【分析】由于 PF2

F1F2 , PF1F2 30 , 所 以 PF2 2c tan 30

oo

2 c, PF1

3

34 33

c 。 又 PF1 PF2

6 3 c 2a ，因此

a 3

c

1 3 ，即椭圆的离心率为

3 3

2

3

3

，选 D.

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6、已知 sin 2 （A）

1

2 ，则 cos2 ( 3

1

) （ 4

） （C）

（B）

2

1

（D）

2

6

【答案】 A

3

2

3

1 cos2( )

【 解 析 】 因 为 cos (

4

) 1 cos(2

2

)

1 sin 2

， 所 以

2

cos (

6 N 4 ，那么输出的 S （ 7、履行右边的程序框图，假如输入的

1 1 1 1 1 1

) 4

1 sin2

4

2 1 3

2

2

2

1

，选 A.

2

2

）

（A）1

（C）1

1 1

2

2 3 4

（ B） 1

1 1

3 4 5

（D）1

1

2 3 2 4 3 2

1 1 1

2 3 2 4 3 2 5 4 3 2

【答案】 B

【分析】第一次循环， T

1,S 1,k

2 ；第二次循环， T

1 第三次循环，T

T

1 ,S12 3 4

1 1 2 2 3

1

, S 1 , k 4 ， 第 四 次 循 环 ，

2 3 2 2 3

1

1 1

2

, S 1

1 , k 3 ；

2

1 2 2 3 , k 5 ， 此 时 满 足 条 件 输 出 1

2 3 4

S 1

1 ，选 B.

2 3 4

8、设 a log 3 2 ， b log5 2 ， c log 2 3，则（ （ A） a c b 【答案】 D 【分析】由于

）

（ B） b c

a

（ C） c b a

（ D） c a b

log3 2

1 log 2 3

1 ， log 5 2

1

log 2 5

1 ， 又 log 2 3 1 ， 所 以 c 最 大 。 又

1 log 2 3

log 2 5 ，因此 1 1 ，即 a

log 2 3 log 2 5

b，因此 c a b ，选 D.

9、一个四周体的极点在空间直角坐标系

O xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ， (1,1,0) ， (0,1,1) ，

）

(0,0,0) ，画该四周体三视图中的正视图时， 以 zOx平面为投影面， 则获得正视图能够为 （

3

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(A)

【答案】 A

(B) (C) (D)

【分析】在空间直角坐标系中，先画出四周体

O ABC 的直观图，以 zOx 平面为投影面，则获得

正视图 (坐标系中红色部分 ),因此选 A.

10、设抛物线 C : y2

4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且与 C 交于 A ， B 两点。若 | AF | 3| BF | ， ）

则 l 的方程为（

（ A） y

x 1 或 y x !

（ B） y

3

3

( x 1) 或 y

3

(x 1)

3

( x 1) 或 y

（ C） y

3( x 1) 或 y

3( x 1)

（ D） y

2

2

2

2

(x 1)

【答案】 C

2

【分析】抛物线 y=4x 的焦点坐标为（ 1，0 ），准线方程为 x=-1 ，设 A（x1 ，y1）， B（x2 ，y2）， 则由于 |AF|=3|BF| ，因此 x1 2 1 2

+1=3 （ x +1 ），因此 x =3x +2

由于 |y 1 |=3|y 2 |，x1 =9x 2，因此 x1 =3 ，x2= ，当 x1=3 时， y1 2

1，因此此时 y1 12

12

2 3 ，

3

若 y1

2 3 ，则 A(3, 2 3), B( , 2

13 ) ,此时 kAB

3 , 此时直线方程为 y

3( x

1) 。若

3

3

y1

2 3 ，则 A(3, 2 3), B( ,

12 3

) , 此时 kAB

3 ,此时直线方程为 y

3( x 1) 。因此

3 3

l 的方程是 y

11、已知函数 （ A） x0

3( x 1) 或 y 3( x 1) ，选 C.

f ( x) x3 ax 2 bx （

c ，以下结论中错误的选项是

）

R ， f ( x0 ) 0

（ B）函数 y f (x) 的图象是中心对称图形

f ( x) 在区间 (

（ C）若 x0 是 f (x) 的极小值点，则

, x0 ) 单一递减

4

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（ D）若 x0 是 f (x) 的极值点，则 【答案】 C

f '( x0 ) 0

【 解 析 】 若 c 0 则 有 f (0) 0，因此 A 正 确 。 由 f ( x)

x3

ax2

bx c 得

f ( x) c f ( x) x3

x3 ax 2 bx ， 因 为 函 数 y x3 ax2 bx 的 对 称 中 心 为 （ 0,0 ）， 所 以

ax 2 bx c 的对称中心为 (0, c) ,因此 B 正确。 由三次函数的图象可知， 若 x0 是 f(x)

x0 的左边，因此函数在区间（ - ∞ , x0 ）单一递减是错误的， D 正确。

的极小值点，则极大值点在 选 C.

x12、若存在正数 x 使 2 ( x a) 1 建立，则 a 的取值范围是（

） （D） ( 1,

（A）( ,) 【答案】 D

（B） ( 2,

)

（C） (0,

)

)

【 解 析 】 因 为 2x 0 ， 所 以 由 2x ( x a) 1 得 x a

1 2x 2 x ， 在 坐 标 系 中 ， 作 出 函 数

f ( x) x a, g( x) 2 x 的 图 象 ， 当 x

0 时 ， g (x) 2 x

1 ， 所 以 如 果 存 在 x 0 ， 使

2x ( x a)

1 ，则有 a 1 ，即 a

1 ，因此选 D.

第 Ⅱ卷

本卷包含必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第 求作答。

22 题 ~第 24 题为选考题，考生依据要

5 分。 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 中随意拿出两个不一样的数，其和

（ ）从 1,2,3,4,5 为 13 【答案】

的概率是

1

5

。

_______

5

2

10 种，若拿出的两数之和等于 【分析】从 5 个正整中随意拿出两个不一样的数，有 C5

5，则有

(1,4),(2,3) ，共有 2 个，因此拿出的两数之和等于

5 的概率为

2

1 uuur uuur

（ 14）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 为 CD 的中点，则 AE BD _______。

【答案】 2

10 5 。

5

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【分析】在正方形中， AE

uuur uuur

AD

1 uuur 2

DC

DC

uuur uuur , BD

2

BA

uuur uuur uuur

AD

AD DC ,因此

uuur uuur AE BD

uuur 1 uuur uuur uuur uuur 2 1 uuur 2 ( AD

DC) (AD

DC ) AD

2

1 2

2

2

2

。

2

（ 15）已知正四棱锥 O

ABCD 的体积为

3 2 2

2

，底面边长为 3 ，则以 O 为球心， OA 为半径的

球的表面积为 ________。 【答案】

24

【分析】设正四棱锥的高为

h ，则 ( 3) 2 h 3

1

3 2 ，解得高 h 3 2 。则底面正方形的对角 2 2

线长为 2

36，因此OA

(3 2)2 ( 6)2

2

6 ,因此球的表面积为 4 ( 6) 2

24 .

) 的

2

（ 16）函数 y cos(2 x )(

) 的图象向右平移

个单位后， 与函数 y sin(2 x

2

3

图象重合，则 【答案】

5

6

_________。

) ，即 y sin(2 x) 2 3 3

) ， y sin(2x )向左平移 个 单 位 得 到 函 数 y cos(2x 向左平移 个单位，得

2 3 2

y sin[2( x ) ] sin(2x ) sin(2 x ) cos( 2x )

2 3 3 3 2 3 5 cos(2x ) ，即 5 。

6 6

【分析】函数 y

cos(2x ) ，向右平移 个单位，获得 y sin(2x

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分）

已知等差数列 { an} 的公差不为零， a1 （ Ⅰ）求 { an} 的通项公式；

25 ，且 a1, a11, a13 成等比数列。

（ Ⅱ）求 a1 a4 + a7

a

；

3n 2

（ 18）如图，直三棱柱 ABC 点，。

A1B1C1 中， D ， E 分别是 AB ， BB1 的中 A1

C1

（ Ⅰ）证明： BC1 / / 平面 A1CD1 ；

B 1

A

6

E

C

D B

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（ Ⅱ）设 AA1 AC CB 2 ， AB 2 2 ，求三棱锥 C A1DE 的体积。

（ 19）（本小题满分 12 分）

经销商经销某种农产品， 在一个销售季度内， 每售出 1 t 该产品获收益 500元，未售出的产品，每

1 t 损失 300元。依据历史资料，获得销售季度内市场需求量的频次散布直方图，如右图所示。

经销商为下一个销售季度购进了 销售季度内的市场需求量，

130 t 该农产品。以 X （单位： t ， 100 X 150 ）表示下一个

T （单位：元）表示下一个销售季度

内经销该农产品的收益。

（ Ⅰ）将 T 表示为 X 的函数； （ Ⅱ）依据直方图预计收益

T 许多于 57000元的概率； （20） (本小题满分 12 分 )

在平面直角坐标系

xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ，在 y 轴上截得线段长为

2 3 。

（ Ⅰ）求圆心 P 的轨迹方程；

（ Ⅱ）若 P 点到直线 y

x 的距离为

2

2

，求圆

P 的方程。

（ 21）（本小题满分 12 分）

已知函数 f ( x)

x2e x 。 （ Ⅰ）求 f (x) 的极小值和极大值；

（ Ⅱ）当曲线 y

f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围。

请考生在第 22、 23、 24 题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一部分，做答时请写清

题号。

（ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1 几何证明选讲 如图， CD 为

ABC 外接圆的切线， AB 的延伸线交直线 CD 于点

D ，E、F 分别为弦 AB与弦 AC 上的点，且 BC AE DC AF ， 7

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B、 E、F 、C四点共圆。

（ Ⅰ）证明： CA 是 ABC 外接圆的直径；

（ Ⅱ）若 DB BE EA ，求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与

ABC 外接圆面积的比值。

（ 23）（本小题满分 10 分）选修 4——4；坐标系与参数方程

x 2cost ,

已知动点 P、Q 都在曲线 C:

）上，对 应参数分别为 t =

y 2sin t （ t 为参数

（ 0

2 ）， M 为 PQ的中点。

（ Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程；

（ Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离

d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹能否过坐标原点。（ 24）（本小题满分 10 分）选修 4——5；不等式选讲

a、b、c

a b c 1

设

均为正数，且

，证明：

2 （ Ⅰ） ab 1

ab2 c2 1

bc ac

；（ Ⅱ）

3

b c

a

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与 t =2

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