耿马傣族佤族自治县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

耿马傣族佤族自治县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

2． 已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ ） A．8

B．﹣8 C．11

D．﹣11

3． 下列说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．命题“∃x0∈R，x

+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”

C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

4． 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）

5． 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ） A．S10 B．S9 6． 复数z=A．第一象限 （ ） A．

B．

C．

D．

C．S8

D．S7

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

=1（a＞b＞0）上的一点，且

=0，

在复平面上对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为

yx2

8． 已知实数x,y满足不等式组xy4，若目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则

3xy5

实数m的取值范围是（ ）

A．m1 B．0m1 C．m1 D．m1

【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.

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9． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ）

A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

10．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到y轴的距离等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 12．在极坐标系中，圆

的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

二、填空题

13．设x，y满足的约束条件

，则z=x+2y的最大值为 ．

14．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

15．已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|（ ） A．2 B．3 C．2 D．5 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

16．在ABC中，有等式：①asinAbsinB；②asinBbsinA；③acosBbcosA；④

abc.其中恒成立的等式序号为_________. sinAsinBsinC17．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

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18．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R， 则2的取值范围是___________．

三、解答题

19．已知直线l1：ρ2﹣2

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：

ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．

（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程； （2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．

20．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？

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21．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

22．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．

（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；

（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．

①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； ②GH⊥PD．

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23．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

，g（x）=

*

，其中n∈N

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；

y=c（Ⅱ）若存在直线l：（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）

24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=

，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．

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耿马傣族佤族自治县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q， 因为a2=2，a3=﹣4， 所以q=

=

=﹣2，

=

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

=2c，

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

所以a1=﹣1， 根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．

3． 【答案】D

22

【解析】解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，因此不正确； B．命题“∃x0∈R，x

+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；

C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确； D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确． 故选：D．

=﹣11．

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4． 【答案】D

22

【解析】解：∵方程x+ky=2，即

表示焦点在y轴上的椭圆

∴故0＜k＜1

故选D．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴

=8（a8+a9）＜0，

=17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0， ∴公差d＞0． ∴Sn中最小的是S8． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6． 【答案】A

【解析】解：∵z=

=

=+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A．

【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复 数是数形结合的典型工具．

7． 【答案】C

【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 显然当弦为CD时就是△BCD的边长，

要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|， 记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，

过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，

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由几何概型概率公式得P（A）=，

即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是． 故选C．

【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．

8． 【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，A(1,3)，要使目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则需直线l过点A时截距最大，即z最大，此时kl1即可.

9． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

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【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

10．【答案】D

2

【解析】解：抛物线y=4x焦点（1，0），准线为 l：x=﹣1， 设AB的中点为E，过 A、E、B分别作准线的垂线， 垂足分别为 C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示： 则由EG为直角梯形的中位线知， EG=

=

=

=5，

∴EH=EG﹣1=4， 故选D．

则AB的中点到y轴的距离等于4．

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．

11．【答案】C

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【解析】

试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位. 考点：图象平移．

12．【答案】B 【解析】

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为

，选B。

二、填空题

13．【答案】 7 ．

【解析】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣由

，得

，

，由图象可知当直线y=﹣

，

经过点B时，直线y=﹣

的截距最大，此时z最大．

即B（3，2），

此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7， 故答案为：7．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

14．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=

=6．

=

，

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故答案为：6．

15．【答案】A 【

解

析

】

16．【答案】②④ 【解析】

试题分析：对于①中，由正弦定理可知asinAbsinB，推出AB或AB2形或直角三角形，所以不正确；对于②中，asinBbsinA，即sinAsinBsinBsinA恒成立，所以是正

确的；对于③中，acosBbcosA，可得sin(BA)0，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知

，所以三角形为等腰三角

abc是正确，故选选②④．1 sinAsinBsinC考点：正弦定理；三角恒等变换． 17．【答案】

．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c①

222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

18．【答案】1,1 【解析】

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考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）∵∴圆C1的直角坐标方程为：由直线l1：

（t为参数），消去参数可得：y=

（ρ∈R）．

，可得

．

⇒

，

，将其代入C1得：

． x，可得

（ρ∈R）． ，

∴直线l1的极坐标方程为：（2）∴

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

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【解析】解：（1）（x∈N*

）…6

（2）盈利额为…

当且仅当

即x=7时，上式取到等号…11

答：使用游艇平均7年的盈利额最大．…12

【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．

21．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. 由余弦定理得：cosAb2c2a232bc2，又A(0,)，故A6. 6分 （Ⅱ） ABC的面积为3，12bcsinA3，bc43①， 8分

又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分

由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

22．【答案】

【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点， 取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线， ∴PK∥GF，

∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG， ∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF， ∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG， ∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB， 又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG． （2）解：连结PE，则PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB， PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD， 分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， ∴P（0，0，

），D（﹣1，4，0），

=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，）， D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣

），

∵

=

=（﹣，，﹣

），

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3分

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∴G（﹣，，），

设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4， 依题意得：

2

∴x＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）

，

又=（x+，y﹣，﹣

，

），

∵GH⊥PD，∴∴﹣x﹣+4y﹣

，即y=

2

，（ii）

把（ii）代入（i），得：3x﹣12x﹣44＞0， 解得x＞2+

或x＜2﹣

，

∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，

∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，

，

令 f′（x）=0，解得

．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

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x f′（x） f（x） + ↗ 0 ﹣ ↘ 上为单调递增，区间

）=

=

所以函数f（x）在区间上为单调递减． ．

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（g′（x）=

，令g′（x）=0，解得x=n．

当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示： x n （0，n） （n，+∞） g′（x） g（x） ﹣ ↘ 0 + ↗ 所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=

，

∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧， ∴即e

≥

n+1

，

≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，

当n=1时，成立， 当n≥2时，设h（n）=

≥lnn，即

，n≥2，

≥0，

则h（n）是减函数，∴继续验证， 当n=2时，3﹣ln2＞0， 当n=3时，2﹣ln3＞0， 当n=4时，

，

当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0， 则n的最大值是4．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．

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24．【答案】

【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点， ∵D为AB的中点， ∴DO∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD．

解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点， 四边形BCC1B1是正方形，且A1D=∴CD⊥AB，CD=∵

，∴

=

222

∴AD+AA1=A1D，∴AA1⊥AB，

，

，AD=1，

，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD， ∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC， ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC， ∵底面△ABC是等边三角形， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（2，0，0），A（1，0，

=（，﹣2，﹣

），D（，0，

），A1（1，2，

），

），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），

设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ， 则sinθ=

=

=

．

．

∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

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