第12章 二端口网络 ......................................................................................................................................... 353
学习要点 ....................................................................................................................................................... 353 ........................................................................................................................ 353 12.1 二端网络与多端网络 12.2
二端口网络的方程和参数 ................................................................................................................ 354 12.2.1 二端口网络的 Y 参数及其方程 ............................................................................................... 354 12.2.2 二端口网络的 Z 参数及其方程 ............................................................................................... 356 12.2.3 二端口网络的 T 参数及其方程 ............................................................................................... 358 12.2.4 二端口网络的 H 参数矩阵及其方程 ....................................................................................... 359 12.2.5 二端口网络参数之间的关系 ................................................................................................... 360
12.3
具有端接的二端口网络 .................................................................................................................... 361 12.3.1 输入阻抗 ................................................................................................................................... 361 12.3.2 特性阻抗 ................................................................................................................................... 362 12.4 12.5
二端口网络的等效电路 .................................................................................................................... 364 二端口网络的联接 ............................................................................................................................ 366 12.5.1 两个二端口的级联 .................................................................................................................... 366 12.5.2 两个二端口的并联 .................................................................................................................... 367 12.5.3 二端口的串联 ............................................................................................................................ 367 12.6
回转器和负阻抗变换器 .................................................................................................................... 368 12.6.1 回转器 ....................................................................................................................................... 368 12.6.2 负阻抗变换器 ........................................................................................................................... 369 习题十二 ................................................................................................................................................... 370 352
第 12 章
二端口网络
学习要点
(1) 一端口、二端口、多端口元件的概念。
(2) 二端口的方程及参数：掌握各参数方程形式，参数的含义及求法。 (3) 二端口转移函数及求法。 (4) 特性阻抗的定义及求法。
(5) 二端口等效电路的概念及等效电路的结构及参数。 (6) 二端口级联、串联及并联的条件与等效参数的求法。 (7) 回转器、负阻抗变换器的定义及特性。
随着集成电路的发展，电子电路器件的内部越来越复杂，器件的外部则相对简单。从实际应用的角度
考虑，掌握器件的外部特性更为重要，为此本章分析的着眼点将放在网络整体的外部特性上。二端口网络是一种基本的多端网络，是更复杂的多端网络的分析基础。二端口网络是本章分析的主要对象，具体内容
有二端口网络的参数及特性、参数方程、二端口网络的联接等。最后讨论两种特殊的二端口网络 —— 回转器和负阻抗变换器。
12.1 二端网络与多端网络
一个电网络，如果引出的联接端子数大于二，则称该网络为多端网络，如三相供电网络等。前几章遇到的仅两个端子的网络称二端网络或一端口网络，简称一端口。在一端口中两端子的电流大小是相等的，
方向为一端入，另一端出。在多端网络中，若由端子 有时间恒满足 i k (t ) i k (t) ，则两端子 k k 而在图 12-1 （b）中，则 1 1 必定是一个端口。
k 流入电流 ik (t ) ，由端子 k 流出电流 i k (t) ，且对所
构成一个端口。对多端网络的任意两个端子，不一定都是 12-1（ a）中， 1 1 不一定是一个端口，
一个端口，这与网络本身结构有关，另外还与外部联接有关。如图
对于一个四端网络，若四个端子形成两个端口，则该四端网络称之为二端口网络，简称二端口。二端 口的图形如图 12-2 所示，其中两个电流 i1 、 i 2 称为端口电流，两个电压 向规定如图 12-2 所示。图 12-3 为二端口网络示例。
必须注意，并非所有四端网络都是二端口网络。 当二端口网络不含独立电源，仅由线性电阻 线性无源二端口。当仅由线性电阻
u1 、 u2 称为端口电压，其参考方
R 、电容 C 、自感 L 、互感 M 和线性受控源构成时称为
R 、自感 L 、互感 M 、电容 C 构成时，本书以后简称为线性 RLMC 二
端口。在用运算法讨论时，还规定电感电流、电容电压初始值为零。
1
i 1
i 2
1
1
2 +
1'
1'
+
i 1
P
P
P
-
1'
i2
(a) (b)
- 2 '
图 12-1
端口与外部
图 12-2
二端口网络示例
353
1 2 1 2 2
1
1' 2' 1'
( a )
( b ) 图 12-3
二端口网络示例
2' 1' 2 '
( c )
(a)—变压器； (b) —受控源； (c) — 三极管
12.2 二端口网络的方程和参数
二端口网络是一种最常见的网络，在工程中关心的是其外部特性，表征其外部特性的是其参数方程。 二端口共含两个电流，两个电压。其中的两个量可通过参数方程由另外两个量表示。方程中的系数称为二 端口的参数。 四个量进行不同组合共有六种组合形式，
即有六种参数及方程， 但常用的有四种， 即 Y 、 Z 、
A 和 H 参数方程。
在本节分析讨论时均采用相量形式， 结构与相量形式是相同的。
+
二端口的相量形式如图 12-4 所示。 若在运算形式下讨论， 其公式
I1
I 2
1
2 +
.
U 1 1
无 源 线 形
2 U 2
2
-
1
-
图 12-4 相量形式的二端口网络
12.2.1 二端口网络的 Y 参数及其方程
对图 12-4 所示的二端口，以下方程为其
Y 参数方程： .
. .
1
I 1 .
YU
11
YU
12
.
2
.
I 2 YU
21
1
YU
22
. 2
(12-1)
式中， Y11 、 Y12 、 Y21 、 Y22 为二端口的 Y 参数。因这些参数均具有导纳性质， 因此 Y 参数也称为导纳参数。
.
YY
11 21
.
若令
I I I . 1
Y
12
Y
.
Y
U
. 1 U .
.
1
2 22
U
.
2
则式（ 12-1）可写成如下矩阵形式
I1
.
Y
I 2
Y11 21 YUY1222 U 2
I =YU
354
(12-2)
下面用回路法分析式（
12-1 ）的正确性。设第一、第二回路分别在两个端口，回路电流与端口电流相
..
同，其它回路在网络内部。注意内部是无源的。根据替代原理，将
U 1 、 U 2 看成两个电压源，则可列写回
.
.
路方程如下
.
.
Z11 I1
.
Z12 I2
.
Z 1L I L U 1
.
.
Z21 I1
.
Z 22 I 2
.
Z 2 L I L U 2
.
.
ZL1 I1
根据克莱姆法则求得
.
Z L2 I 2 .
.
Z LL IL
.
U L
.
I1
.
11
U1
.
21
U 2 Y11U1 Y21U2
.
.
.
I2
可见当
12
U1
22
U2 Y21U1 Y22U2
0 时， Y 参数方程一定存在，且参数
Y11、 Y12 、 Y21 、 Y22 仅取决于网络内部元件及其连接
形式。这是因为各参数取决于回路方程，回路方程又取决于基尔霍夫方程和元件伏安关系。前者取决于元件连接形式与元件参数。
. .
Y 参数可由如下方程计算或实验测量求得。 则式（ 12-1）成为
''在 1 1 端口外加电压 U 1 ， 2 2 端口短路 （即 U 2
0 ），
.
1
IYU
11
. .
.
.
.
1
.
0
U 2
I 2
Y21U1 .
.
U 2
0
或
Y
1 1
I 1
Y
I 2
21
.
U
. 2
0
1 U U
.
(12-3a)
2
1 U
0
.
.
式中竖线下角的 U 2
0 表示公式成立的条件。
. 由公式可见， Y11 、 Y21 分别表示端口 2 2' 短路时，端口 1 1' 的输入导纳和转移导纳。
同理，在端口 2
2' 外加电压 U 2 ，对端口短路 1 1' （ U 1 0）则由式（ 12-1）可得
Y
.
.
.
12
I 1 .
1
0
Y
I 2
.
. 22
1
(12-3b)
U 2 U
U 2 U 0
所以， Y12 、 Y22 分别表示端口 1 1' 短路时，端口 2 2' 的转移导纳和输入导纳。 式（ 12-3）不仅表现了 Y 参数的物理含义，同时提供了计算和测量
网络结构时，可采用以上短路方法按公式计算 所以也把它们称为短路参数。
例 12-1
Y 参数的方法。当给定二端口的
Y 参数。由于四个 Y 参数可在短路条件下计算和测量出来，
gU 1
gU 1
I 2
求图 12-5（ a）所示二端口的 Y 参数。
gU 1
I 2
I 1
I1
I 2
I1
+
Yb
+
+
b
+
Y
Yb
+
U 1
Ya
Yc
U 2
U 1
-
-
-
Ya
Yc
U 1
-
Ya
U 2
Yc
-
(a)
(b)
(c)
图 12-5 例 12-1 题图
355
解 （1） 2
2 ' 短路时电路如图 12-5（ b）所示，这时有
.
.
.
.
所以有
I 1 .
Ya U 1 Yb U 1 g U 1
.
1 U2 .
.
.
I 2 g U 1 Yb U 1
Y
I1
11
.
U
.
Ya Yb
g
0
Y21 I 2 .
.
Yb g
0
U 1 U 2
.
'（2） 1 1 短路时，电路如图
12-5（ c）所示。注意： U 1
0 时受控电流源等于零，即开路，所以
可得
Y12
Yb
Y22
Yb
Yc
讨论
（ 1） 当 g=0 时，即无受控源时， Y11 （ 2） 当 g=0 且 Ya Yc 时，则有 Y11 一个端口若 Y21
Ya Y22 ，Y Yb ， Y22 Yb Yc ， Y21 Y21
21 YYb 。
21
Y21 ，则称该二端口网络是互易的，即具有互易特性。线性
RLMC 二端口一定是互
易的，含受控源的线性二端口一般情况下是非互易的。
若一个二端口除满足 Y21 Y21 外还满足 Y11 Y22 ，则该二端口称为对称二端口。 必是对称的二端口，但满足对称条件的二端口，结构上不一定都是对称的。
结构上对称的二端口
12.2.2 二端口网络的 Z 参数及其方程
对图 12-4 所示的二端口网络，根据式（
12-1）不难变换出如下形式
.
.
.
U 1 .
Z11 I1 Z12I2
U 2 .
.
ZI
.
21 1 ZI
.
. （ 12-4） 222
式（ 12-4）称为 Z 参数方程。 Z11 、 Z12 、 Z 21 、 Z 22 称为二端口的 Z 参数。 Z 参数与 Y 参数的关系见本节 最后表 12-1 。
将式（ 12-4）改写为矩阵形式
U1Z11 Z12
Z
U 2 令
21
Z
I 1
.
22
I 2
Z
ZZ11
21 .
Z12 Z
22 .
则有
矩阵 Z 称为 Z 参数矩阵，或开路阻抗矩阵。 U Z I
（ 12-5） 比较式（ 12-2）与式（ 12-5）， Y 与 Z 存在如下互逆关系。
Z =Y-1或Y= Z-1
这种互逆关系存在的条件是， Y 和 Z 是可逆的；当不可逆时，两种参数不一定都存在。对后面将要介绍的其它参数也是这种情况，即某些电路并非存在所有的参数形式。
356
.
当 2 2'端口开路（ I 2
0 ）时，由式（ 12-4 ）可得
Z.
11
U 1 .
Z
0
.
21
.
U 2 .
（ 12-6a）
I 1
.
I 2 I 1
I 2 0
Z11 、 Z21分别是 2 2' 端口开路时， 1 1' 端口的输入阻抗和转移阻抗。
.
当 1 1' 端口开路时（ I 1
0 ），由式（ 12-4）可得
Z
.
12
.
U1
.
Z
.
22
U 2 .
（ 12-6b ）
0
I 2 I 1 0
I
.
2 I1
Z12 、 Z22 分别是 1 1' 端口开路时， 2 2' 端口的输入阻抗和转移阻抗。
式（ 12-6）表明了 Z 参数的物理意义，同时也是一种计算方法。由于 测量出来，所以又称为开路参数。具有互易性的二端口网络，
Z 参数可以在开路情况下计算和
Z12 = Z 21 成立，线性 RLMC 二端口一定满足
Z12 = Z 21 ；对称的二端口网络，还满足 Z11 = Z22 。
例 12-2 1 I1 +
求图 12-6 所示 T 型电路的 Z 参数。 Z1
Z3
I 2
2
+
1
I1
I 2
2
+
+
U 1
Z 2
.
U 2
U 1
Z
U 2
-
1
-
2
-
1
.
-
2
例 12-3 题图
图 12-6 例 12-2 题图
图 12-7
'
解 （1）当 2 2 开路时， I 2 0 ，这时有
.
.
.
U 1 ( Z1 Z2)I1
.
U 2
.
Z2 I1
所以
Z
U1
11 .
0
Z1 Z2
I
1 I2
.
.
ZU 2 21 .
Z2
I1 I.2 0
（ 3） 当 1
1' 开路时， I1 0 ，则有
Z
12
.
.
.
.
U1 Z2 I2
.
U 2 ( Z 2
Z3)I2
所以
U1 .
.
Z2
0 I 2 I1
Z
22
.
.
U 2
.
Z2 Z3
I 1 0
I 2
357
例 12-3
求图 12-7 二端口网络的 Z 参数矩阵。
解 由图 12-7 可列写如下方程：
.
..
.
.
U 1 (I 1
.
.
I 2)Z Z I 1 Z I 2
.
.
U 2 U 1
所以
Z
Z I 1 Z I 2
Z Z Z Z
显然， Z 的逆不存在， Y 参数也就不存在。
12.2.3 二端口网络的 T 参数及其方程
Y 和 Z 参数描述的问题是两个二端口电压和电流的关系，方程一侧的电流或电压均属于两个端口。工程实际问题中希望知道一个端口电压、电流与另一个端口电压、电流间的关系。如放大器的输入输出间的 关系；传输线的传输特性等。描述二端口网络这种传输关系的参数方程就是二端口网络的 参数方程，也称传输参数方程，或一般参数方程。其参数方程的形式为
.
.
T 参数方程或 A
.
.
U 1 .
AU 2 B( I 2 )
.
.
I 1
C U 2 D( I2)
（ 12-7） 式中，
I 2 表示流出端子 2。
A 参数间满足
T 参数方程可由 Y 参数或 Z 参数方程推出，其关系见表 具有互易性的二端口网络，
12-1。
A B 1 即 C D
1
AD BC
A=D 。
.
对称的二端口网络还满足
T 参数的意义可由下列关系式说明，具体含义不再解释。
.
A
U 1
0 .
U2
. I2
B
U1
.
I 2 U2 0 .
C
I1
U
.
D
0
I1
.
2 I2
I
.
（ 12-8） 0
2 U2
将式（ 12-7）表示成矩阵形式为
.
U1
. A B C
I1
D
U 2 I 2
T
T U 2
I 2
A B C D
（ 12-9）
式中 T—— 传输矩阵或 T 参数矩阵。 358
12.2.4 二端口网络的 H 参数矩阵及其方程
二端口网络的 H 参数方程形式为
.
U 1 H11 I1
.
HU
12
.
2
.
.
.
U2
式中
H2 H21 I1 H22、11 HI 12 、 H 21 、 H 22 —— 二端口网络的 H 参数或混合参数。 将式（ 12-10 ）表示成矩阵形式，有
.
.
.
U1
H
11
H
12
I1
H
I1
.
H .
.
22
2
I 2
H 21
H
U 2
11
H
U 12
H
H
H 21 22
式中， H —— H 参数矩阵或混合参数矩阵。
H 参数的含义可用下列式子表示：
H
.
.
11
U 1
H
. 12
U1
.
.
.
I1
U20
U 2 I 1
0
H
.
.
21
I 2
I 2
I.
H 22
U .
1
.
2
.
U 2 0
I1 0
具有互易性二端口满足：
H 12 H 21 ；对称二端口还满足
H 11 H 12
1
H 21 H 22
即：
H11H 22 H12H 21 1 H 参数常被应用于晶体管电路分析中。 例 12-4
晶体三极管的等效电路如图 12-8 所示，求该二端口的
H 参数。
I1
I 2
+
+
rb
U 1
+
U 2
r
ce
U 2
I1
-
-
-
图 12-8
例 12-4 图
.
.
.
U1
.
.
.
U1 解
U1 rb I 1
H
11 .
rb
U1 U 2
H12.
.
.
I
1 U2
0
U
2I10 359
（ 12-10 ）
（ 12-11）
（ 12-12 ）
.
I 2
IH
1
.
. I 2
.
1
r
ce
21 .
I
.
2
I2 0
UH
2
I 2
. .
22
r0
1
1 U
U
.
2 I
ce 1
可见三极管等效电路的每一个元件参数对应于
H 参数中的一个参数。
12.2.5 二端口网络参数之间的关系
以上介绍了四种不同的参数，对一个具体二端口使用哪种参数，则视具体情况而定。如晶体三极管分
析一般用 H 参数，计算电路工作状态一般用 Y或者A参数。
各参数间的关系，本节未作过多推导，现列于表
Z 参数
12-1，读者可自行推导。
表 12-1 二端口网络参数变换法
Z 参数
Y
Y 参数
22
Y
H 参数
H
A 参数
12
Z11 Z12
Z 21 Z 22
Y Y
Y21
Y
Y11
Y
H12 H 21 H 22 1 H 11 H 21 H 11
H12 H 22 1 H 22 H 12 H 11 H
A T C C 1 D C C
D B 1 B
Y 参数
Z
22 Z
Z
12 Z
Z21
Z11
Y11 Y12 Y21 Y22
T
B A B
T
Z
ZZ
Z
H 参数
Z 22
Z21 1 ZZ
Z 12
22 1 Y
YY
H11
12
Y
11
Y
11
HH 11 H
H
12
B D 1 D D C D
22 22 Y
21
Y 11
21 22
11
H
Z11
Z
21
Z
Z
21
Y22 Y21
Y
1 Y21
Y
H 11 H 21 1 H 21
T 参数
1 Z 22
11
H 21 H 22 H 21 A B C D
T Z
21
Z
21
Y21 Y21
T
互易条件
Z12
Z 21
Y
Y12 Y21
11
H 12 H 21
1
表 12-1 中
Z
ZZ
11 ZZ
12
YY
YY
12
HH
11 HH
;
22
;
22
H
12 ;
22 A B
21
21
21
C D
各种参数计算除采用短路、开路法以外，也可以采用其它方法。如采用第二、三章介绍的各种分析方法，列出有关方程，将其变换成标准参数方程形式，则方程的系数就是对应的参数。
例 12-5
求图 12-9 所示网络的 Y 参数矩阵。 360
1 1
I
L
I 2
+ 2 +
U 1
C1
R
C 2
g mU 1
U 2
-
-
2
1
图 12-9
.
例 12-5 图
''
解 采用节点法，选 1 ， 2 为参考节点，则有
.
I1
.
( j C1
1
.
) U 1
1
j L
U 2 j L
.
.
.
.
.
I 2
1 U 1 j L
1 1 j C2 U 2 g m U 1 R j L
即
I 1 I 2
j ( C1
1 )
L
1 R
j 1
L
U 1
.
.
gm
j 1 L
1 ) L
j ( C2
1 ) U 2
j ( C1
Y
j
1
1
L
L
则
gm j
1
j ( C 2
1
L R ) L
可见这种方法有时是很方便的。
12.3 具有端接的二端口网络
，有端接的二端口一般可
当在二端口网络的端口上接入单口网络时，称该二端口网络是“有端接的” 以化简成图 12-10 的形式。其中 Z L 为负载阻抗， ZS 为电源内阻抗。 仅计及 Z S ( 时称二端口为“单端接的”同时计及
0) 或仅计及 ZL ( ZL)
ZS 和 Z L 时称二端口为“双端接的” 。
12.3.1 输入阻抗
根据第二章输入阻抗的定义，对于如图 Z S
'12-10 所示的二端口，端口 1 1 的输入阻抗可定义如下。 1 I1 +
.
I 2
2 +
. +
U S U1
U 2
ZL
-
-
1 Z I 1
图 12-10
-
2
有端接的二端口网络
361
Z.
in
U1
.
.
.
in
I1
.
.
由二端口的一般参数方程和
U 2
ZL( I2)，得
Z
AU 2 B I 2 .
.
AZL
B
CU 2 D I 2
CZ L D
.
（ 12-13 ） 可见，一般情况下，
.
Zin
ZL ， Zin 除与 Z L 有关外，还与二端口的自身参数（如一般参数）有关。
out
若将 US 置零，
ZS 不变，将 2 2' 端口的输出阻抗定义为
Z
U 2
.
（ 12-14 ）
.
.
I 2
由一般参数方程可得
.
U 2
.
D U 1 B I 2
A
C A
.
I 2
U 1
.
.
A . I1
A
A
另外有
U 1
Z S ( I 1 )
将以上关系代入式（ 12-14 ）得
Zout DZ S B CZS A
（ 12-15 ） 12.3.2 特性阻抗
若在双口网络输出口接负载 时，有网络输出阻抗
ZL ZC 2 时，网络输入阻抗 Zin
Zc1 ；而当网络输入口接阻抗 Zs Zc1 Zc2 称为输出口的特性阻抗，
Z
out
Zc 2 ，则 Zc1 称为双口网络的输入口特性阻抗，而
即， Zc1 与 Zc2 是特定条件下的输入阻抗和输出阻抗。
如图 12-11 所示，对一个对称的二端口，若 二端口的特性阻抗。
Z L ZS
Z C 时，恰好使 Zin Zout ZC ，则 ZC 称为该
1 2 1 2
Z C ZC ZC ZC
1 2 1 2
(a)
图 12-11 二端口的特性阻抗
(b)
Z C
根据特性阻抗的这一定义及二端口的对称条件
A=D ，式（ 12-15 ）可写成为
AZC CZC
B D
362
解得
ZC
B C
（ 12-16 ）
由上式可知，特性阻抗仅由二端口参数决定，当二端口确定后， 端口接的负载阻抗与 Z C 相等时，则 1 1' 或 2
ZC 也随之确定。当 2 2'（或 1 1' ）
2' 端的输入阻抗或输出阻抗就是 Z C 。
例 12-6 求图 12-12
所示∏形电路的 A 参数及特性阻抗。
1 5
2
10
10
ZC
1 2
图 12-12
例 12-6 图
解
此二端口的 Y 参数为（注意对称性）
1 1 3
Y11 Y22
10
5 10 Y
Y1
12
21
5
则A 参数为
A Y
Y22
1.5
B
1
5
Y21 Y
Y
21
C
12 11YY22 1
S Y
D
11
21 4
Y
21
特性阻抗为
ZC
B
C
20 4.47
12.3.3 有端接二端口网络的转移函数
转移（传递）函数是自动控制理论的一个重要概念。一般在零状态下用运算形式分析。设一般电路形式如图 12-13 所示。
Z S (s)
I 1( s)
I 2
(s)
+
+
+
U S (s)
U 1( s)
U2 (s)
Z L (s)
-
-
-
图 12-13 有端接的二端口网络的运算公式
二端口网络的转移函数主要有如下几种形式：
U H 2 ( s)
U 2 ( s) U (s)
或电压转移函数
U1 ( s)
U S (s) 电流转移函数
H I ( s) I 2 (s)
I1 (s)
363
转移阻抗
Y21(s)
Z21(s)
U 2 (s) I1(s) I 2 (s) U 1 (s) 转移导纳
在不同条件下，采用不同的参数求解转移函数的公式是不同的，下面仅举两例加以说明。 （ 1）对于图 12-13 所示的二端口， 用 Z 参数求电流转移函数。 根据 Z 参数方程及负载阻抗可列方程如下：
ZL 的 VAR
U 2 ( s) Z21(s)I1 (s) Z22 (s) I 2 (s)
U 2 ( s)
Z L ( s) I 2 (s)
由以上两个方程可得
H I (s)
I 2 (s) I1 (s)
Z
21
Z22
ZL
U 2 ( s) U S (s)
（ a）
可列基本方程如下：
（ 2）对于图 12-13 所示的二端口，若用
Y 参数求 HU (s)
I 1(s) Y11(s)U1 (s) Y12 (s)U 2 (s)
I 2 (s) Y21 ( s)U 1 ( s) Y22 (s)U 2 ( s) U 2 (s)
（ b）
U1 ( s) U S ( s) ZS ( s) I1 (s)
（ c）
Z L (s)I 2 ( s)
（ d）
将（ c）、（ d）两式代入（ a）、（ b）式得
[U S (s) U 1 (s)]YS (s) Y11 ( s)U 1( s) Y12 ( s)U 2 ( s) （ e）
YL (s)U 2 (s) Y21 (s)U1(s) Y22 (s)U 2 (s)
式中
（ f）
YL ( s)
1
YS (s)
1 ZS (s)
ZL ( s)
解（ e）、（ f）两式得
HU ( s)
U 2 (s)
YS ( s)Y21 (s)
U S (s) Y12 ( s)Y21( s) [Y11(s) YS (s)][ Y22 (s) YL ( s) 可见当有端接时，转移函数
U 2 ( s) U S ( s) 除与网络参数有关外，还与
ZL ( s) 和 ZS (s) 有关。
12.4 二端口网络的等效电路
在第二、四章已介绍，任何一个复杂的无源一端口都可以用一个阻抗表征其外部特性。那么对任一给定的无源线性二端口，也可以用一个等效的电路表征它的外部特性。对二端口来说，等效的条件是两个二端口的参数完全相同。对于正弦稳态电路，因二端口的参数是频率的函数，因此等效也只能是在某一频率下成立。
对一般线性无源二端口网络，通常有四个独立的参数，因此等效电路至少含四个独立元件（可能是阻 抗、导纳、受控源） 。对具有互易特性的二端口，如
RLMC 二端口，因仅有三个独立参数，所以等效电路
T 形、∏形等效电路，其结构分别如图
还有三个元件（阻抗或导纳） 。确定二端口等效电路包含两个方面，一是等效电路的结构，二是等效电路 元件的参数。具有三个独立元件的电路结构形式常用的有两种—— 12-14（ a）、（ b）所示。
364
Z1 Z3
Yb
Z2
Ya Yc (a)
图 12-14
二端口的等效电路
(b)
电路结构确定后，如何求元件参数呢？ 对 T 形电路，有例 12-2 可知
12 Z1 Z2
若已知 Z 参数求元件参数 Z1、 Z2 、 Z3 ，则有
11
Z
Z
Z
21 Z2
Z
22 Z 2 Z3
Z1 Z2 Z3 ZZ11 21 ZZ12 21
（ 12-17 ）
21 Z22 Z21
式（ 12-17 ）就是已知 Z 参数求 T 形等效电路元件参数的公式。
对∏形电路，由例 12-1 可知，当 g=0 时，即无受控源时，∏形电路的
22 Ya Yb Yc Yb
若已知 Y 参数，求 Ya 、 Yb 、 Yc ，计算∏形等效电路元件参数的关系式如下
11 YYYY1221 b 1121 YY 参数为
（ 12-18 ） T （∏）形等效电路的方法有两种：一种方法如以上所述，先找出给 当给定二端口的其它参数时，求
定二端口参数与等效电路元件参数的关系，然后求解元件参数；另一种方法是根据各种参数间的关系，先
Ya YYYb
Y
21
Yc
YY22求出 Z 参数或 Y 参数，再根据式（ 12-17 ）和（ 12-18 ）求等效电路元件参数。
例 12-7 已知二端口网络的 Z 参数矩阵为
Z
3 1.5
1.5 2.92
求该二端口的 T 形和∏形等效电路。
解 (1) 由式（ 12-17 ） T 形电路的元件值应为
Z1
Z11 Z 2 Z 22
Z 21 Z 21
1.5 1.42 18 78 S 36
78
Z 21 1.5 Z3
(2)先求 Y 参数
35 78 18 78
Y=Z-1
由式（ 12-17 ）得∏形等效电路中的元件值为
Ya Y11 Y21
17 78 18 78 18 78
0.218S 0.231S 0.231S
Yb
Y21
Yc Y22 Y21
365
对于有四个独立参数的非互易性无源二端口网络，求等效电路必须含有四个独立元件，其中之一是受 控源。 其电路结构可在无受控源的 T 形或∏形电路中加一个受控源组成。 在已知 Y 参数的情况下， Y 参数方程可改写如下：
.
.
I 1 .
YU
11
.
1
YU
12
.
2
.
.
（ 12-19 ） .
I 2
Y12 U1 Y22 U2 (Y21 Y12 )U 1
与具有互易性的 Y 参数方程比较，式（ 12-19）中多了一项 (Y21 Y12 )U 1 ，这一项可用一个电压控制
的电流源等效，则非互易性二端口的等效电路如图
12-15 所示。其中 Ya 、 Yb 、 Yc 求法与式（ 12-18）相同。
非互易二端口的 T 形等效电路也可用类似方法得到。
12.5 二端口网络的联接
一个复杂的二端口网络往往是由若干个相对简单的二端口采用一定的方式连接而成的。对于一个复杂的二端口，为使电路分析简化，可将复杂的二端口简化成若干简单的二端口。
二端口可按各种不同的方式相互联接。最常见的连接方式有：级联、串联和并联。在下面的讨论中，主要关心的是两个二端口连接后复合二端口的参数与两个原二端口参数间的关系以及联接的条件等。
12.5.1 两个二端口的级联
所谓级联就是第一个二端口的输出与第二个二端口的输入口相联接。图
12-16 表示 P1 和 P2 的级联。
I 2
. . I1= I1
+
I 2 I 1
I 2
+ +
+
U1 U1
P1
U2 U1
P2
U 2 U 2
-
- -
-
图 12-16 二端口的级联
.
设 P1 和 P2 的 A 参数方程分别为
.
.
，
.
''
U1'
.
T
' ' U2
U1'' .
.
T
U 2''
.
.
I1'
I 2' .
2I 1''
.
.
I 2''
.
.
由图 12-16 可知
.
U 1
.
U 1'
.
，
U
' .
U 1'' .
，
U 2''
.
U 2
I 1
则有
.
I 1'
.
I 2'
.
I 1''
'''
I 2''
U
.
2''
.
I 2
U
2 .
U 1 .
U 1' .
I1 I1'
. ' ' U 2 T .
I 2'
.
T
''
' U1
.
T T
T T
'
''
I1'' I 2''
I 2 366
.
.
.
即
U 1 .
T
U 2 I 2
（ 12-20 ） I 1 T = T'T''
式中 T —— P1 与 P2 级联形成的复合二端口的传输参数矩阵。
12.5.2 两个二端口的并联
所谓二端口的并联是指两个二端口的输入端并接，两个输出口并接。图
12-17 表示 P1 和 P2 的并联。
I1
I 2
+ I1
U1
P1 U 2
I 2
+ U1
I1
I 2
-
I 2
U 2
I
1 -
U1 P2 U 2 I1
I 2
图 12-17 二端口的并联
.
..
.
..
由图 12-17 可知： U 1 U 1' U 1'' ， U 2 U 2' U 2'' 。如果 P1 、 P2 仍满足端口条件，则电流之间应满足
. . .
I 1 I' I ''
.
1.
1
.
I 2 I 2'
I 2''
若 P1 、 P2 的 Y 参数矩阵分别为 Y'和 Y'' ，则式（ 12-21 ）可进一步表示成
.
.
.
.
.
I 1 ' U1' '' U1'' '
''
.
Y
.
Y
.
[Y +Y ]
U 1 .
Y U 1 .
I 2
U 2'
U 2''
U 2 U 2 Y=Y+Y
式中 Y—— P1 和 P2 并联形成的复合二端口的
Y 参数矩阵。
12.5.3 二端口的串联
P1 和 P2 的串联方式如图 12-18 表示。
I 1 I1
I
2 I 2
+
+
+ +
- U 1 P1 U2
-
U1
I1
I 2
U 2
+
P+ 2
U 2 --
U1
-
-
图 12-18 二端口的串联
367
（ 12-21 ）
（ 12-22 ）
如果 P1 、 P2 的端口条件仍成立，则有
.
..
.
..
I1
I 1'
.
I1'' ， I2
.
I 2'
.
I 2''
U 1
.
U 1'
.
U 1'' .
（ 12-23 ）
.
U 2
.
U 2'
.
U 2''
若 P1 、 P2 的 Z 参数矩阵分别为 Z' 和 Z '' ，则式（ 12-23 ）可写成
.
.
U1 .
Z ' I1'
.
Z ''
I1'' .
[ Z ' + Z''] I1
.
Z I1
.
U 2
I 2' I 2''
I 2
I 2 （ 12-24 ） Z =Z'+Z''
式中
Z —— P1 、 P2 串联形成的复合二端口的 Z 参数矩阵。
12.6 回转器和负阻抗变换器
12.6.1 回转器
回转器是一种多端理想元件。 理想回转器的电路符号如图 12-19 所示，它是一个线性非互易的二端口，其端
口电压电流可用下列 Z 参数方程表示为
u1 u2
或用 Y 参数表示为
ri 2 ri 1 gu2 gu1
（ 12-25 ）
i1
（ 12-26 ）
i2
式中， r 和 g 的单位分别是 和 S。由于 r 和 g 分别具有电阻和电导性质，故分别称为回转电阻和回转电
i1
导，简称回转常数。请注意理想回转器与理想变压器的相似性和差别。
+
1
i 2
2 +
u
1 u 2
-
1
图 12-19 回转器
2
-
用矩阵形式表示成式（
12-25）和式（ 12-26），则有
u1 u2
0 r r i1 0 i 2
或
i
1
i2
0 g u1 g 0 u2
因此，回转器的
Z 参数矩阵和 Y 参数矩阵分别为
0 Z
r
r 0
368
0 g Y
g 0
理想回转器的一个重要性质是“回转”特性。由回转器的参数方程可以看出，回转器能把一个端口的 电流（电压） “回转”成另一个端口的电压（电流） 。利用“回转”性质可以把一个电容“回转”成一个电感，这在微电子器件中，可以用易于集成的电容来实现难于集成的电感。
将电容回转成电感，证明：由图
12-20 可得 u1
ri 2 ,i 2
C 2
du2所以
du2 , u2 ri 1 dt di1 di1
L0 dt
u1 rC dt r C dt
式中 L0 r 2C ——为输入端等效电感。
+
1
i1
i2
2 +
1
+
uc
u1
u 2 C
Le
-
-
-
1
2
1
(a) (b)
图 12-20 电感的实现
如果 r 100k 个大容量的电感。
,C 0.1 F , 则 L0 r 2 C
1002 0.1 1000H ，可见一个小容量的电容可回转成一
'
可以证明：当 C 换成一般阻抗 Z 2 时， 1 1 端口的等效阻抗可表示为
r 2 Z2 Z1
这一阻抗变换特性可以改变元件的性质，但它与理想变压器的阻抗变换特性是不同的，理想变压器仅从量上进行变换。回转器的阻抗变换特性与下面将要介绍的负阻抗变换器的阻抗变换特性也是有差别的。
理想回转器的另一个性质是：它既不消耗功率又不发出功率，即它是一个无源线性元件。这可以有两个端口的瞬时功率之和恒为零加以证明。即
u1i1 u2 i2 ri 1i 2 ri 1i 2
0
12.6.2 负阻抗变换器
负阻抗变换器简称
表示为
NIC ，也是一个二端口，其符号如图 12-21 所示，端口电压和电流可用 A 参数方程
u1 i1
或
u2 k( i2 ) ku2 i2
（ 12-27 ） u1 i1
（ 12-28 ）
写成 A 参数矩阵形式为
u1
1 0 u2 0 ki 2 或
u1 i1
k 0 u2 0 1i2 i1
式中 k 为正实数。
369
1 +
i1
i2
2 +
1 I 1 +
I 2
2 +
U 2
u1 NIC
u2
U 1
NIC
Z 2
-
1
-
-
1
-
2
2
(a)
(b)
图 12-21 负阻抗变换器
由式（ 12-27 ）可以看出，经 NIC 后两个端口电压相同，而电流
NIC 。
i1 变换为 k( i 2 ) ki 2 。因 i1 与 i 2 的
方向相反，这种 NIC 被称为电流反向型的
从式（ 12-28 ）可知，经 NIC 后， i1 与（ - i 2 ）与方向相同，而 型的 NIC 。
u1 变为 ku2 ，这种 NIC 称为电压反向
.
NIC 的一个性质就是将正阻抗变为负阻抗。采用相量形式证明如下：
..
由式（ 12-27 ）得
.
U 1 .
U 2
I 1
.
k ( I 2 )
. .
由图（ 12-21b）得
U 1 Z1
U 1
.
Z 2 ( I 2 ) 1 U 2
.
所以
Z 2 k
I 1 k ( I 2 )
即端口 1 1' 的等效阻抗为端口
在端口 1 1' 将变成
1
R 。
2 2' 所接阻抗 Z2 的负值在乘以正实数 1
k
'
。如 2 2 端口接上 R，
k
请读者自己比较理想变压器，回转器和负阻抗变换器的阻抗变换公式，并注意它们之间的区别。
习题十二
12-1 求题 12-1 图示二端口的 Y、 Z 和 T 参数矩阵。
I 1 j L
+
I 2
+
+
I 1
U1 -
j L
1 j C
（ b）
I 2
+
U1 -
1 j C
U 2
-
U 2 -
（ a）
题 12－1 图
12-2 求题 12-2 图示二端口的 T 和 H 参数矩阵。 370
I 1 Z1
+
Z3
Z2
I2
+
I 1
+
Y2 Y1
I 2
+
U 1
-
U 2
-
U 1 -
Y3
（b）
U 2 -
（ a）
题 12-2 图
12-3 求题 12-3 图示二端口的 Y 和 Z 参数矩阵。 j1
I 1
4
2 8
6
I 2
+
+
I 1 +
U 3
1
I 3
1
I 2
+
U 1
U 2
- （ a）
U 1 -
I 1
- j1
（ b）
I 2 U 2 -
-
题 12-3 图
12-4 求题 12-4 图示电路的 Z 参数。 I1 10
+
20
I 2
+
+
I 1
1
4
I 2
2
+
+
U 1
-
30
U 2
-
U 1
I 1
1
U 3 I 3
-
-
I 2 U 2 2U 3
0.5U 2
-
-
+
(a) (b)
题 12-4图
12-5 求题 12-5 图示电路的 Y 参数。 `
371
I 1
+
2 3
+
1
I 2
+
I 1 4 +
I 2
+
0.5U 1
-
U 1 -
U 3
-
（ a）
U 2
-
U1 0.1U 2
-
+
10
U 2 -
20 I1
（b）
题 12-5 图
12-6 求题 12-6 图示电路的传输参数。
I 1
+
I 2
Z
+
I 1
+ -
I 2
+
I 1
+
I 2 M
U 1
-
U 2
-
（ a）
U 1
Y
（ b）
题12-6图
U 2 -
U 1 L1
-
L2
+
U2
-
（ c）
12-7 求题 12-7 图示电路的传输参数。
I 1 1
+
1
I 2
I 1 1
+
2
1I 2 +
I 3
2
+
U 1 -
4 I 3 U 2
-
U 1 -
2
4 I 1 U 2 -
题 12-7图
题 12-8 图
12-8 求题 12-8 图示二端口网络的 12-9
H 参数。
求题 12-9 图示二端口的 H 参数。
I 1 1
4
1∶
I 2 +
I1
+
10
100
300
I 2
+
+
+
- 50
U 1 -
U 2 -
(a)
U1
-
U 3
-
10U 3 +
U 2
-
(b)
题12-9图
12-10 一个二端口，其 Z 参数矩阵为Z =
12 4 4
, 若该网络的终端电阻是
2 ，求
U2
U 1
。 6
372
12-11 若题 12-11 图示的二端口的
Z 参数矩阵为Z =
50 10 30 20
,试计算 100 电阻消耗的功率。
40
+
120V
I 1
+
I 2
+
U 2
5
I 1
+
I 2 a
+
100
U 1
-
-
+ -
-
15 0 V 2
U 1
-
题 12-12图
U2 - b
2H
题 12- 11图
12-12 如题 12-12 图所示电路，在
2rad/s 时， Z11 10 ， Z12 Z 21 j6 ， Z22 4 ，求 a、
b 端的戴维宁等效电路。
12-13 如题 12-13 图所示电阻性二端口网络，已知：
R
时， I1
时， U2 7.5V ； R 0时， I1 ?
3A ， I 21A 。求 (1) 二端口网络的 Z 参数； (2) 当 R 2.5
算结果。
? I 2 12-14 题 12-14 图示电路中，用 Y 参数计算 2Ω 电阻上消耗的功率，并用直接电路分析计算来证实计
I 1
+
+
I 2
N
+
+
I 1 +
1
4
+
I 2 U 2-
15V
-
U 1
-
U 2 R
-
1V
-
U 1
-
2
题 12-14图
题 12-13图
12-15
一个二端口，若其 T 参数为： A 4 ， B 30 ， C 0.1S， D 1.5 。计算下列情况下的
输入阻抗 Zin
U1I1
。（ 1）输出端口短路； （ 2）输出端口开路； （3）输出端口接 10Ω电阻负载。
12-16
题 12-16 图示二端口电路，其 H 参数为 H =
16 3
,求 (1)
U2
；(2)
I2
I1
；(3)
I 1 ； 2 0.01
U 1
U 1
(4)
U
2 。
I 2
373
4
+
I 1
+
I 2
+
I 1
+
+
6
3
+
I 2
U 2-
10V
-
U 1
-
U 2
-
25
10V
U 1
-
6
3 -
题 12-16 图
题 12-17图
12-17 在题 12-17 图示电路中，用该电路的 H 参数求 3Ω电阻两端的电压，并用直接计算的方法证实
计算结果。
12-18 已知某二端口的 Z 参数矩阵为 (1)
Z =
10 4 Ω； (2) Z =
25 20 Ω
4 6
5 30
试问该二端口是否含有受控源，并求它的等效电路。
15 I1
6
2
I 1 5
10 +
-
4
20
(a)
(b)
题 12-18 图
1 1 12-19 已知二端口的 Y 参数矩阵为
（1）Y =
2
4 S； （2）Y =
5 2 1 3 0
3
S
4
8
试问该二端口是否含受控源，并求它的等效电路。
4
2S
+
4
8
U1
3S 1S
-
2U 1
（ a）
（ b）
题 12-19图
12-20 求题 12-20 图示复合二端口的 Z 参数。 374
1 2
1
1
2
1
1
1
(a)
(b)
题 12-20图
12-21 求题 12-21 图示双 T 电路的 Y 参数。
C C j10
- j5
R
R
30 j20
C
R
- j10
20
(a)
(b)
题 12-21 图
12-22 求题 12-22 A 图示二端口的 T 参数矩阵，设二端口
P1 的 T 参数矩阵为 T1 =
C 12-23 求题 12-23 图示二端口的 T 参数矩阵。
PZ
1
Y
P
1
(a)
(b)
题 12-22 图
R R R R 20 40
R R 10
3 50
(a)
(b)
题 12-23 图
12-24 求题 12-24 图示二端口的特性阻抗。 375
B D
1 1
1
L2
C
L2
2L
C
2L
(a) (b)
题 12-24 图
(c)
12-25 N 为线性电阻网络，已知当 U S
8V，R
?
3 时，I
0.5A ；当 U S 18V，R
4 时，
I 1A。问当 US 25V，R 6 时， I
12-26
题 12-26 图示无源双口网络
P 的传输参数 A 2.5 ， B 6 ， C 0.5S， D 1.6 。 (1) 求
R＝？时， R 吸收最大功率； (2) 若 U S 9V ，求 R 所吸收的最大功率 Pmax 及此时 U S 输出功率 PU S 。
1 I 1
+
+
U 1
I 2 2
+
1 I 1
+
I 2 2
P
+
I
R
+
U S
-
N
U 2
U S
-
U 1
U 2
R
- -
-
-
1
题 12-25 图
2
1
2
题 12-26
图
376
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