(完整版)三角形五心的证明

三角形五心

内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点. 外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心） 垂心：三条高的交点. 重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点

证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理(角平分线上一点到两边的 距离相等）得： OD=OF,OF=OE ∴ OD=OE

∴AO为角BAC的平分线

外心：三条中垂线的交点

证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到 两端点的距离相等），得： OA=OB，OA=OC. ∴OB=OC

∴点O在线段BC的中垂线上 ∴OF为线段BC的中垂线

旁心：

证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的 距离相等）得： OD=OF，OD=OE ∴ OF=OE

∴BO为角ABC的平分线

垂心:三条高的交点

证：连结DE，连结AO交BC于F点。

∵角BDC=角BEC=90°

∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。

(完整版)三角形五心的证明

∴角FBO=角CDE ······① （同弦(弧)所对圆周角相等) 又∵角ODA=角AEO=90°

∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）. ∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等) 且 角AOE=角BOF ∴角ADE=角BOF ······②

由①②可知，角OFB=角ODA=90° ∴AF为BC边上的高。

重心:三条中线的交点 方法一：

证：连结AO交BC于点F。

∵D为AB的中点

∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积） （底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)） S△AOD=S△BOD

∴S△AOC=S△BOC ······① 同理可得:

S△BOC=S△AOB ······② 由①②得,S△AOC=S△AOB

又∵△AOC与△AOB底都为AO

∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.

对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。 ∴S△AFB=S△AFC

又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离)。 ∴它们底相等，即：BF=CF ∴AF为三角形的中线。

方法二:

证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，

G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH. 连GH交AF于点M。 ∵DE为△ABC的中位线

∴DE＃1/2BC （#表示平行且等于） 同理,可得:GH#1/2BC

∴DE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。 易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN ∵DG为△ABO的中位线

∴DG∥NM，即四边形DGMN为平行四边形 ∴DN=GM

∴HM=GM，再由三角形中位线定理得，BF=CF。 ∴AF为三角形的中线。

三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要,认真掌握莫记混． 重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”，重心性质要明了,

(完整版)三角形五心的证明

重心分割中线段,数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 外 心

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清。 内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源; 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 五心性质别记混,做起题来真是好。