题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 8种 2. 已知函数f（x）=sinx-cosx，则
=（ ）
D. 9种
A.
B.
C.
D.
3. 设随机变量，则D（X）=（ ）
A.
4. 已知
B.
，则m等于（ ）
C. D. 3
A. 1 A.
B. 4 B.
C. 1或3 C.
D. 3或4 D.
5. 两名男生和两名女生随机站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（ ）
6. 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则它的导函数y=f′（x）的图象可以是（ ）
A.
B.
C.
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D.
7. 某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进
行调查，所得数据如表所示：
认为作业多 认为作总业计 不多 喜欢玩电脑游戏 25 15 40 不喜欢玩电脑游戏 25 35 60 总计 （参考公式
50 50 100 ，可能用到数据：P（X2≥6.635）=0.01，P（X2≥3.841）
=0.05），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（ ） A. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关 B. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关 C. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关 D. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
8. 袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次
摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是9. 由数字0，（ ）
A. 72 B. 60 C. 48 D. 12
10. 若函数f（x）=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. （-1，0） B. （0，1） C. （-∞，-1） D. （1，+∞） 11. 已知函数．f（x）=ax2+2x-ex，若对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有
立，则a的取值范围是（ ）
成
A.
B. （-∞，1] C.
D. （-∞，e]
12. 杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，
=它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设f（n）（a+b）
n
（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列．则称f（n）具有性质P．如f（7）=（a+b）7的展开式中，二、三、四项
21，35，的二项式系数为7，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P．若存在n≤25，
使f（n）具有性质P，则n的最大值为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知离散型随机变量X的分布列为
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x P 1 2 3 m 则m=______ 14. 已知
，则a1+a2+…+a7=______⋅
15. 已知函数f（x）的定义域为R，f（-2）=-2，若对∀x∈R，fˈ（x）＜3，则不等式f（x）
＞3x+4的解集为______．
16. 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛
随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则q-p取得最大值时p=______
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知
的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求展开式的二项式系数的和； （2）求展开式中含x2的项．
18. 已知函数．f（x）=9x-x2-lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，M（t，g（t））是曲线g（x）上的任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，当x∈（0，9）时，求△OMN面积的最大值．
19. 某厂生产A产品的产量x（件）与相应的耗电量y（度）的统计数据如下表所示：
x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 经计算：
．的相关系数；（结
果保留两位小数）
并预测生产10件产品所耗电的度数． （1）计算
（2）求y关于x的线性回归方程 （xi，yi）（i=1，2，3，4，5）
（1）计算（xi，yi）（i=1，2，3，4，5）的相关系数；（结果保留两位小数） （2）求y关于x的线性回归方程=
并预测生产10件产品所耗电的度数．
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附：相关系数r=，=，．
20. 某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千
克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10．已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”．
（1）根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？
（2）从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设X表示抽到的“标准体重”人数，求X的分布列和数学期望．
21. 某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环
节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
σ2）σ2=144，（1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N（μ，，其中μ=66，
试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望． 附：p＜μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974． 22. 已知函数.
．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）判断函数f（x）能否有3个零点？若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理的应用，属于基础题． 根据题意，分析可得2封信中，每一封信都有3种投法，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】
解：根据题意，2封信随意投入3个邮箱，
3=9种不同的投法； 每一封信都有3种投法，则一共有3×
故选：D． 2.【答案】B
【解析】解；根据题意，函数f（x）=sinx-cosx， 则
=sin-cos=-；
故选：B．
根据题意，将x=代入函数的解析式，计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及三角函数的求值，属于基础题． 3.【答案】B
【解析】解：∵随机变量∴D（X）=12×
=．
，
故选：B．
利用二项分布的性质直接求解．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】C
【解析】解：由
，得m=2m-1或m+2m-1=8得m=1或m=3，
故选：C．
由组合数公式的性质建立方程进行求解即可．
本题主要考查组合数公式的性质的应用，结合组合数公式是解决本题的关键． 5.【答案】B
【解析】解：两名男生和两名女生随机站成一排照相， 基本事件总数n=
，
=12，
两名男生相邻包含的基本事件个数m=则两名男生相邻的概率为p=故选：B．
=．
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基本事件总数n=，两名男生相邻包含的基本事件个数m==12，由此能求
出两名男生相邻的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，由f（x）的图象分析可得：
在y轴左侧，函数f（x）先减再增，最后为减函数，其导数对应为先负后正，最后为负，即导数图象先在x轴下方，后在x轴上方，最后在x轴下方；
在y轴右侧，函数f（x）为增函数，其导数对应为正，即导数图象在x轴上方； 据此分析选项，D符合； 故选：D．
根据题意，由f（x）的图象分析其单调性，对应可得其导数的符号，分析选项即可得答案．
本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了独立性检验，属中档题．
计算观测值X2，结合临界值表可得结论． 【解答】 解：X2=
=≈4.167＞3.841，
所以有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关． 故选：A． 8.【答案】D
【解析】解：记事件A为“第一次取到蓝球”，事件B为“第二次取到红球”， 则事件AB为“第一次取到蓝球、第二次取到红球”， 根据题意知，P（A）=，P（AB）=×=，
∴在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率是： P（B|A）=
==．
故选：D．
记事件A为“第一次取到蓝球”，事件B为“第二次取到红球”，则事件AB为“第一次取到蓝球、第二次取到红球”，
利用条件概率计算公式求出在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率． 本题考查了条件概率的计算问题，是基础题． 9.【答案】B
【解析】解：将这六个数奇偶数字相间的排列共有2（A33）2=72， 其中0排在首位的有A33A22=12， 把不合题意的舍去得到 符合题设的有72-12=60， 故选：B．
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先不考虑零的特殊性将这六个数奇偶数字相间的排列共有2（A33）2=72，其中0排在首位的有A33A22=12，把不合题意的舍去得到结果．
本题考查排列组合的实际应用，考查数字的排列组合问题，这是一个典型的排列组合问题，本题是一个易错题，易错点在忽略零的特殊性． 10.【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）=ex-ax-b在R上有小于0的极值点， 令f′（x）=ex-a=0，则a＞0，此方程存在小于0的解． 解得x=lna＜0，∴a＜1． ∴0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）． 故选：B．
函数f（x）=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，令f′（x）=ex-a=0，此方程存在小于0的解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】C
【解析】【分析】
根据条件将问题转化为y=f（x）-2x在（0，+∞）单调递增，进一步转化为a≤在（0，+∞）上恒成立问题，求出函数h(x)=的最小值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，关键是将问题转化为恒成立问题，属中档题． 【解答】
解：∵对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有
成立，
∴对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有f（m）-2m＜f（n）-2n， 令g（x）=f（x）-2x=ax2-ex，则g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴g'（x）=2ax-ex≤0，在（0，+∞）上恒成立， ∴a≤在（0，+∞）上恒成立， 令h（x）=（x＞0），则h'（x）=
，
令h'（x）=0，则x=1，
∴当x＞1时，h'（x）＞0，此时h（x）递增； 当0＜x＜1时，h'（x）＜0，此时h（x）递减， ∴
，
要使a≤在（0，+∞）上恒成立， 只需a≤
，
∴a的取值范围为：（-∞，]． 故选：C．
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12.【答案】B
【解析】解：若存在n≤25，使f（n）具有性质P，假设存在k∈N*，1≤k≤n-1，使CC，C所以C
成等差数列， +C
=2C，
，
利用组合数公式整理得：4k2-4nk+n2-n-2=0，即（2k-n）2=n+2， 所以n+2为完全平方数，
又n≤25，25+2=27不是完全平方数，24+2=26也不是完全平方数，23+2=25是完全平方数．
所以n的最大值为23． 故选：B．
假设存在k∈N*，1≤k≤n-1，使C
，C，C
成等差数列，所以C
+C
=2C，整
理得：4k2-4nk+n2-n-2=0，即（2k-n）2=n+2，根据n+2为完全平方数，且n≤25可得n的最大值为23．
本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由离散型随机变量X的分布列，得：
=1，
解得m=． 故答案为：．
由离散型随机变量X的分布列的性质能求出m的值．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量X的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】1
【解析】解：∵已知
，令x=0，可得a0=-1．
再令x=1，可得-1+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+…+a7=1， 故答案为：1．
在所给的等式中，先令x=0，求得a0=-1，再令x=1，可得a1+a2+…+a7的值．．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.【答案】（-∞，-2）
【解析】解：根据题意，设g（x）=f（x）-3x-4，其导数g′（x）=f′（x）-3， 又由对∀x∈R，f'（x）＜3，则g′（x）＜0，即g（x）在R上为减函数， 又由f（-2）=-2，则g（-2）=f（-2）+6-4=0，
则f（x）＞3x+4⇒f（x）-3x-4＞0⇒g（x）＞g（-2）， 分析可得：x＜-2，
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即不等式的解集为（-∞，-2）； 故答案为：（-∞，-2）．
根据题意，设g（x）=f（x）-3x-4，求出其导数分析可得g（x）在R上为减函数，由f（-2）的值分析可得g（-2）=0，进而可得f（x）＞3x+4⇒f（x）-3x-4＞0⇒g（x）＞g（-2），分析可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数g（x），并分析g（x）的单调性．
16.【答案】
【解析】解：解：如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： ①甲前二局全胜；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜， ∴q=
=p2+2p2（1-p）=-2p3+3p2，（0＜p＜1），
∴令f（p）=q-p=-2p3+3p2-p（0＜p＜1）， ∴f（p）=-6p2+6p-1， 令-6p2+6p-1=0可得，p=∵0＜p＜1， ∴当p∈（0，当p∈（
，
）时，f（p）单调递减， ）时，
，
f（p）单调递增， 当p∈（当p=
，1）时，f（p）单调递减， ，f（p）有最大值f（
．
）=．
故答案为：
如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：①甲前二局全胜；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，然后结合导数可求q-p取得最大值时p的值． 本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：（1）已知
故它的前三项的系数为
，
，+
的展开式中的通项公式为Tr+1=． =2×
••，
∵前三项的系数成等差数列，∴，n=8，或 n=-1（舍去）．
∴展开式的二项式系数的和为2n=28=256． （2）在通项公式为Tr+1=
•••
中，令n-=8-=2，求得r=4， •x2=x2．
故展开式中含x2的项为T5=
【解析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出前三项的系数，再根据前三项的系数成等差数列，求得n的值，可得展开式的二项式系数的和为2n 的值．
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（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x2的项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=9x-x2-lnx，则f′（x）=9-2x-；
则f′（1）=6，f（1）=8，
则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-8=6（x-1）， 变形可得：6x-y+2=0；
（2）g（x）=f（x）+lnx=9x-x2，则g（t）=9t-t2，（t＞0） 则△OMN面积S=|ON||MN|=t（9t-t2）=-t3+， 其导数S′（t）=9t-，
令S′（t）=0，解可得t=0或6，又由t∈（0，9），即t=6， 分析可得：在（0，6）上，S′（t）＞0，即S（t）为增函数， 在（6，9）上，S′（t）＜0，即S（t）为减函数， 则S（t）的最大值为S（6）=54， △OMN面积的最大值为54．
【解析】（1）根据题意，求出函数f（x）的导数，进而计算可得f′（1）与f（1）的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，即可得答案；
（2）根据题意，求出g（x）的解析式，进而求出g（t）的值，据此可得△OMN面积S的表达式，求出S（t）的导数，分析S（t）的单调性，据此分析可得答案． 本题考查利用导数分析函数的最值以及切线的方程，关键是掌握导数的几何意义．
19.【答案】解：（1）由已知表格中数据可得
∴
，
，，
则r==；
（2）==，
．
∴线性回归方程为
．
关键线性回归方程预测，当生产10件产品时，消耗的电量度数为：
．
【解析】（1）由已知表格中的数据求得
，再由相关系数公式求解相关系数r的值；
（2）利用相关公式求得与的值，得到线性回归方程，取x=10求得y值，即可预测生产10件产品所耗电的度数．
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本题考查相关系数的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）抽取的6名婴儿中“标准体重”的频率为，
故从该地区中任取1名婴儿为“标准体重“的概率为：．
设”在该地区8个月龄婴儿中任取3名，至少2名为“标准体重”的事件为A， 则P（A）=C（）2（）1+C（）3（）0=． （2）由题意知，X的可能取值为2，3，4， P（X=2）=
=
，P（X=3）=
=，P（X=3）=
=，
∴X的分布列为： X P E（X）=2×
2 3 =（或E（X）=
=
=）
4
【解析】（1）使用独立重复试验的概率公式可得； （2）根据超几何分布的概率公式可得．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
21.【答案】解：（1）∵学生初试成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ=66，σ2=144，
∴μ+2σ=66+2×12=90，
∴P（X≥90）=P（X≥μ+2σ）=（1-0.9544）=0.0228， 5000=114人． ∴估计不低于90分的人数为0.0228×
（2）Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7， 则P（Y=0）=P（Y=2）=P（Y=3）=P（Y=4）=P（Y=5）=P（Y=7）=∴Y的分布列为： Y P E（Y）=
0 2 3 +
4 =．
5 7 =， =，
=， =， =，
，
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【解析】（1）推导出P（X≥90）=P（X≥μ+2σ），由此能估计不低于90分的人数． （2）Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：（1）.
f′（x）=x-（a+1）+=
．
．x∈（0，+∞）．
若a≤0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若0＜a＜1，则函数f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减．
若a=1，则f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
若a＞1，则函数f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减． （2）若函数f（x）能有3个零点，则0＜a＜1，或a＞1．
若a＞1，由（1）可知：函数f（x）在x=1处取得极大值，在x=a处取得极小值，而f（1）=
＜0，函数f（x）不可能有有3个零点，舍去．
若0＜a＜1，由（1）可知：函数f（x）在x=1处取得极小值，在x=a处取得极大值，f（1）=
＜0．
a2+alna=a（-a+lna）．
，可得函数g（x）在x=e处取得极大值，g（e）=
．
而f（a）=
令g（x）=，g′（x）=∴
x+lnx＜0，故f（a）=a（-a+lna）＜0．函数f（x）不可能有有3个零点，舍去．
综上可得：函数f（x）不可能有3个零点．
【解析】（1）.+=
．对a分类讨论，即可得出单调性．
．x∈（0，+∞）．f′（x）=x-（a+1）
（2）若函数f（x）能有3个零点，则0＜a＜1，或a＞1．分别利用导数研究其极大值，进而得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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