辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷
一、选择题
1．8的立方根是（ ） A．4
B．2
C．±2 D．﹣2
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（ ） A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（﹣5，3） 4．下列计算结果正确的是（ ）
A．a•a=a B．（a）=a C．（a﹣b）=a﹣b
4
2
8
5
2
7
2
2
2
D．（5，﹣3）
D．（ab）=ab
222
5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．5
B．6
C．12 D．16
6．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60° 7．不等式
的解集是（ ）
A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集
8．为了解某市参加中考的45000名学生的身高情况，抽查了其中1500名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（ ） A．45000名学生是总体
B．1500名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查
9．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
10．体积V（dm3）一定的长方体，则它的底面积y（dm2）与高x（m）之间的函数图象大致为（ ）
...
...
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：x3﹣4x= ． 12．若二次根式
有意义，则x的取值范围是 ．
13．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形． 14．如图，一人乘雪橇沿坡比1：
的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=BM，则BM的长是 ．
，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接
三、（6分、8分、8分） 17．先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中a=
﹣1．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：△BDE≌△CDF．
...
...
19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如表：
甲 乙
平均成绩/环
a 7
中位数/环
7 b
众数/环 7 8
方差 c 4.2
（1）写出表格中a，b，c的值：a= ，b= ，c= ；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
四、（8分、8分）
20．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣5、1、5，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为 ；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出点a，b所有可能值，并求出坐标点（a，b）在第三象限的概率．
21．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点C为x轴上一个动点，若S△ABC=10，求点C的坐标．
...
...
五、
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A； （2）若CE=2
，DE=2，求AD的长．
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．
六、
23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）． （1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
七、
24．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；
...
...
（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．
八、
25．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒
个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M
与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．
...
...
辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．8的立方根是（ ） A．4
B．2
C．±2 D．﹣2
【考点】24：立方根．
【分析】依据立方根的定义求解即可． 【解答】解：∵23=8， ∴8的立方根是2． 故选：B．
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误． 故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（ ） A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（﹣5，3） 【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可． 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点A（5，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，3）． 故选：C．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2=a8 B．（a5）2=a7 C．（a﹣b）2=a2﹣b2
D．（ab）2=a2b2 D．（5，﹣3）
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．
...
...
【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可． 【解答】解：A．a4•a2=a6，故A错误； B．（a5）2=a10，故B错误；
C．（a﹣b）=a﹣2ab+b，故C错误； D．（ab）=ab，故D正确， 故选D．
5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．5
B．6
C．12 D．16
2
222
2
2
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是4和10， ∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14． 故选C．
6．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【考点】L5：平行四边形的性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=180°﹣45°=135°， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=75°． 故选A． 7．不等式
的解集是（ ）
A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集
...
...
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集． 【解答】解：解①得：x≥2， 解②得：x≥3．
则不等式组的解集是：x≥3． 故选A．
8．为了解某市参加中考的45000名学生的身高情况，抽查了其中1500名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（ ） A．45000名学生是总体
B．1500名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V2：全面调查与抽样调查．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、45000名学生的身高是总体，故A不符合题意； B、1500名学生的身高是一个样本，故B符合题意； C、每名学生的身高是个体，故C不符合题意； D、是抽样调查，故D不符合题意； 故选：B．
9．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
，
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间，根据所用时间相同列出分式方程即可．
【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台， 由题意得，甲队用的时间为：
，
...
...
乙队用的时间为：则方程为：故选D．
=
， ．
10．体积V（dm3）一定的长方体，则它的底面积y（dm2）与高x（m）之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】由题意y=，（x＞0），v是定值，所以y是x的反比例函数，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意y=，（x＞0），v是定值， ∴y是x的反比例函数，图象在第一象限， 故选D． 二、填空题
11．因式分解：x﹣4x= x（x+2）（x﹣2） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：x﹣4x =x（x2﹣4） =x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．若二次根式
有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
3
3
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣2x≥0， 解得：x≤． 故答案是：x≤．
...
...
13．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 十二 边形． 【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=360°×5， 解得n=12． 故答案为：十二．
14．如图，一人乘雪橇沿坡比1：
的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 36 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】因为其坡比为1：
，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．
，即tanα=
，
【解答】解：因为坡度比为1：∴α=30°．
则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
【考点】SD：作图﹣位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案． 【解答】解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2， 点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）． 故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
...
...
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=BM，则BM的长是
+1 ．
，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；KM：等边三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°，AB=BC=∴AC=2=CM=2， ∵AB=BC，CM=AM， ∴BM垂直平分AC，
∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=∴BM=BO+OM=1+故答案为：1+
， ．
，
，
，最终得到答案BM=BO+OM=1+
．
...
...
三、（6分、8分、8分） 17．先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中a=
﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=当a=
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：△BDE≌△CDF．
﹣1时，原式=
•．
=a+1，
【考点】KB：全等三角形的判定；KF：角平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用中点的定义得到BD=CD，进而利用AAS证明△BDE≌△CDF． 【解答】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD，
在△BED和△CFD中， ∵
∴△BDE≌△CDF．
19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图：
，
...
...
根据以上信息，整理分析数据如表：
甲 乙
平均成绩/环
a 7
中位数/环
7 b
众数/环 7 8
方差 c 4.2
（1）写出表格中a，b，c的值：a= 7 ，b= 7.5 ，c= 1.2 ；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
【考点】VC：条形统计图；VA：统计表；VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数；W7：方差． 【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据甲的平均数利用方差的公式计算即可； （2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【解答】解：（1）甲的平均成绩a=
=7（环），
∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b=其方差c=
2
=7.5（环），
2
2
2
2
×[（5﹣7）+2（6﹣7）+4（7﹣7）+2×（8﹣7）+（9﹣7）]=1.2（环）；
故答案为：7，7.5，1.2；
（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定； 综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
四、（8分、8分）
20．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣5、1、5，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为
；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布
...
...
袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出点a，b所有可能值，并求出坐标点（a，b）在第三象限的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；D1：点的坐标；X4：概率公式． 【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第三象限点的坐标特征找出点（a，b）在第三象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率=； 故答案为； （2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中坐标点（a，b）在第三象限的结果数为1， 所以坐标点（a，b）在第三象限的概率=．
21．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点C为x轴上一个动点，若S△ABC=10，求点C的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=
，得出n的值，
得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式； （2）如图，直线AB与x轴的交点为E，设点C的坐标为（m，0），连接AC，BC，则点P的坐标为（14，0）．CE=|m﹣14|．根据S△ACB=S△ACE﹣S△BCE=10，列出方程，求出m的值，从而得出点E的坐标； 【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得m=12， 则y=
．
...
...
把点B（n，1）代入y=，得n=12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得
，
解得，
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．
（2）如图，直线AB与x轴的交点为E，设点C的坐标为（m，0），连接AC，BC， 则点P的坐标为（14，0）． ∴CE=|m﹣14|． ∵S△ACB=S△ACE﹣S△BCE=10， ∴×|m﹣14|×（6﹣1）=10． ∴|m﹣14|=4． ∴m1=18，m2=10．
∴点E的坐标为（18，0）或（10，0）．
五、
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A； （2）若CE=2
，DE=2，求AD的长．
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．
【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算．
...
...
【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到
=
，解方程即可得到结论；
（3）利用三角函数求得∠DCE的度数，根据△AEC∽△CED，求得∠A的度数，则∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，从而求得半径，然后利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A；
（2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE， ∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴
=
，
∴EC2=DE•AE， ∴（2
）2
=2（2+AD），
∴AD=4．
（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE===，∴∠DCE=30°， 又∵△AEC∽△CED，
...
...
∴∠A=∠DCE=30°，
∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×∴△OBD是等边三角形，则OD=BD=
=，
，
则弧BD的长是=．
六、
23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）． （1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： y=﹣0.02x+8 ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可； （3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）+450=418求出即可．
【解答】解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
，
解得：
2
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8； 故答案为：y=﹣0.02x+8；
...
...
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元， 当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x， 当x=100时，W有最大值400元， 当100＜x≤200时， W=（y﹣2）x =（﹣0.02x+6）x
=﹣0.02（x﹣150）+450，
∴当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
（3）∵400＜418＜450，
∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418 解得：x1=110，x 2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 七、
24．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF； （3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．
2
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理． 【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证； （3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=5． 【解答】（1）证明：如图1所示， ∵DM∥EF， ∴∠AMD=∠AFE， ∵∠AFE=∠A，
...
...
∴∠AMD=∠A， ∴DM=DA；
（2）证明：如图2所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C， ∵∠AFE=∠A， ∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， ∵∠BDG=∠C， ∴∠GDE=∠FEC， ∴△DEG∽△ECF； （3）解：如图3所示， ∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B， ∴△BDG∽△BED， ∴
=
，
∴BD2=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH， 又∵∠FEH=∠CEF， ∴△EFH∽△ECF， ∴
2
=，
∴EF=EH•EC， ∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形， ∴EF=DM=DA=BD， ∴BG•BE=EH•EC， ∵BE=EC， ∴EH=BG=5．
...
...
八、
25．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒
个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M
与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；
（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标； 方法二：先判断出∠BCD=90°，进而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出结论；
（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t， ②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．
...
...
【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线， ∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， ∵点C（0，3）在抛物线上， ∴3=﹣3a， ∴a=﹣1
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）+4， ∴抛物线的顶点坐标为D（1，4）， （2）方法一：∵tan （α﹣β）=1， ∴α﹣β=45°， ∵∠DBO=α，∠EBO=β， ∴∠DBE=45°， 如图1，
2
过点E作EF⊥BD于F， ∴EF=BF，
∵B（3，0），D（1，4）， ∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①， 设点E（0，b）， ∵EF⊥BD，
∴直线EF解析式为y=x+b②， 联立①②解方程组得，x=∴F（
，（2b+3）），
﹣3]2+[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，
，y=（2b+3），
∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[∵EF=FB， ∴EF2=FB2，
∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2， ∴b=﹣9（舍）或b=1，
...
...
∴E（0，1），
方法二、∵tan （α﹣β）=1， ∴α﹣β=45°， ∵∠DBO=α，∠EBO=β， ∴∠DBE=45°， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∴∠CBD=∠OBE，
∵B（3，0），C（0，3），D（1，4）， ∴OB=3，BC=18，CD=2，BD=20， ∴BC2+CD2=BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD=90°=∠BOE， ∵∠CBD=∠OBE， ∴△OBE∽△CBD， ∴∴∴OE=1， ∴E（0，1），
（3）能，
理由：∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3， 设点M（m，﹣m+3），
∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴分CE为边和CE为对角线进行计算， ①如图2，
当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE， 过M作MN∥CE交抛物线于N， ∵点N在抛物线上， ∴N（m，﹣m2+2m+3），
∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|， ∵C（0，3），E（0，1），
...
2
2
2
， ，
...
∴CE=2， ∵MN=CE， ∴|m2﹣3m|=2， ∴m=∴M（
或m=1或m=2， ，
）或（
，
）或（1，2）或（2，1）；
∵C（0，3） 当M（∴t=当M（同理：t=
=
，，
，
，，
）时， ）时，CM=
，
当M（1，2）时，CM=∴t=
，
当M（2，1）时，CM=2∴t=2
=2，
，
②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分， ∵C（0，3），E（0，1）， ∴线段CE的中点坐标为（0，2）， ∵M（m，﹣m+3）， ∴CM=∴t=
|m|
=|m|
=
|m|，
∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上， 设点N（n，﹣n2+2n+3）， 利用中点坐标得，
，
=2，
∴或，
∴M（﹣当M（﹣
，，
）或（﹣）时，
，），
...
...
∴t=当M（﹣∴t=
，；
或
或1或2．点M共有6个．
）时，
即：满足条件的t的值为
...
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