一元一次方程的定义
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定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
• 一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。 分类：
1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=6 2、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.
方程特点:
（1）该方程为整式方程。
（2）该方程有且只含有一个未知数。 （3）该方程中未知数的最高次数是1。
• 一元一次方程判断方法:
通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫 一元一次方程。 要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整
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理为 ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件： ⑴它是等式；
⑵分母中不含有未知数； ⑶未知数最高次项为1； ⑷含未知数的项的系数不为0。
学习实践：
在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式—— 方程。 ⒈4x=24
⒉1700+150x=2450 ⒊0.52x-(1-0.52)x=80
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
一元一次方程的解法
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使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
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• 解一元一次方程的注意事项：
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法； 7、分、小数运算时不能嫌麻烦； 8、不要跳步，一步步仔细算 。
• 解一元一次方程的步骤： 一般解法：
⒈去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 依据：等式的性质2
⒉ 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据 乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号） 依据：乘法分配律
⒊ 移项：把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边） 依据：等式的性质1
⒋ 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式； 依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）
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⒌ 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解依据：等式的性质2
方程的同解原理 ：
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
例：ax=b（a、b为常数）? 解：当a≠0，b=0时， ax=0
x=0(此种情况与下一种一样) 当a≠0时，x=b/a。
当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程） 当a=0，b≠0时，方程无解（此种情况也不属于一元一次方程） 例：
（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
去分母（方程两边同乘各分母的最小 公倍数）得： 5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 去括号得：
15x+5-20=3x-2-4x-6 移项得：
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15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项得： 16x=7
系数化为1得： x=7/16。
注：字母公式（等式的性质）
a=b a+c=b+c a-c=b-c （等式的性质1） a=b ac=bc
a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c（等式的性质2） 检验 算出后需检验的。 求根公式
由于一元一次方程是 基本方程，教科书上的解法只有上述的方法。 但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0 可得出求根公式x=-(b/a)
一元一次方程练习题及答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列方程是一元一次方程的是 ( ) A.x+2y=5 B. =2 C.x2=8x-3 D.y=1
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2.下列方程中，解是x=2的是 ( ) A.2x-2=0 B. x=4 C.4x=2 D. -1=
3.将方程5x-1=4x变形为5x-4x=1，这个过程利用的性质是 ( ) A.等式性质1 B.等式性质2 C.移项 D.以上说法都不对 4.方程3- =1变形如下，正确的是 ( ) A.6-x+1=2 B.3-x+1=2 C.6-x+1=1 D.6-x-1=2 5.如果x=-8是方程3x+8= -a的解，则a的值为 ( ) A.-14 B.14 C.30 D.-30
6.某工作，甲单独完成需4天，乙单独完成需8天，现甲先工作1天后和乙共同完成余下的工作，甲一共做了 ( ) A.2天 B.3天 C.4天 D.5天
7.小明存入100元人民币，存期一年，年利率为2%，到期应缴纳所获利息的20%的利息税，那么小明存款到期交利息税后共得款 ( ) A.106元 B.102元 C.111.6元 D.101.6元
8.某种商品的标价为132元.若以标价的9折出售，仍可获利10%，则该商品的进价为 ( )
A.105元 B.100元 C.108元 D.118元
9.某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖的±1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工，解决此问题可设x人挖土，其他人运土，列方程(1) =3;(2)72-x= ;(3) =3;(4)x+3x=72，上述所列方程正确的是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程 ( )
A. = B. -2= +2 C. - =2 D. = -2 二、填空题(每小题4分，共24分)
11.若2的2倍与3的差等于2的一半，则可列方程为 . 12.写出一个以x=- 为解的一元一次方程
13.已知5x+3=8x-3和 = 这两个方程的解是互为相反数，则a= .
14.小强的速度为5千米/时，小刚的速度为4千米/时.两人同时出发，相向而行.经过x小时相遇，则两地相距 千米.
15.某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上，多于5桌的部分按定价的7折收费.小叶集团公司组织工会活动，预定了10桌，缴纳现金2550元，那么每桌定价是 元.
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16.国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：(1)稿费低于800元的不纳税;(2)稿费高于800元，又不高于4000元，应纳超过800元的那一部分稿费的14%的税;(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11%的税.某作家缴纳了280元税，那么他获得的稿费是 元. 三、解答题(共66分) 17.(6分)解下列方程： (1)4x-2(x-3)=x; (2)x- -1.
18.(6分)当x取何值时，代数式 和x-2是互为相反数?
19.(6分)若代数式3a3b4-5n“与-6a6-(m+1)bm-1是同类项，求m2-5mn的值. 20.(8分)如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?
21.(8分)一项工程，由甲队独做需12个月完工，由乙队独做需15个月完工.现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率.若甲队的工作效率提高40%，乙队的工作效率提高25%，则两队合作，几个月可以完工?
22.(10分)某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费;若超过20立方米，则超过部分每立方米按2元收费.如果某居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这个月他共用了多少立方米水?
23.(10分)小强、小芳、小亮在郊游，看到远处一列火车匀速通过一个隧道后，产生了以下对话.各位同学，请根据他们的对话求出这列火车的长.
24.(12分)温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台.现在决定给武汉8台，南昌6台.每台机器的运费如下表.设杭州运往南昌的机器为x台.
(1)用x的代数式来表示总运费(单位：百元);
(2)若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台? 终点 起点 南昌 武汉 温州厂 4 8 杭州厂 3 5
(3)试问有无可能使总运费是7400元?若有可能，请写出相应的调运方案;若无可能，请说明理由. 参考答案：
1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.B 10.B 11.2x-3= x 12.略 13.24 14.9x 15.300
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16.2800 17.(1)x=-6 (2)x=- 18.解：由题意，得 +x-2=0 解得x=2 19.解：由题意
解得：m=2，n= . 把m=2，n= 代入m2-5mn得 原式=22-5×2× =-2.
20.解：设了正方形边长为x厘米，由题意，得4x=5(x-4) 解得x=20所以4×20=80 答：每一个长条的面积为80平方厘米.
21.解：设两队合作2个月完成，由题意，得x=1 解得x=5答：两队合作，5个月可以完工.
22.解：(1)∵1.5>1.2 ∴用水量超过20立方米. 设超过了x立方米
1.2×20+2x=1.5(20+x) 解得x=12. ∴1.2×10+20=32. 答：这个月他共用了32立方米水. 23.解：设火车的长为x米，由题意，得 = 解得x=100. 答：这列火车长100米.
24.解：(1)总运费为4(6-x)+8.(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76. (2)2x+76=84. x=4.
答：运往南昌的机器应为4台.
(3)若2x+76=74，解得x=-1.∵x不能为负数，∴不存在. 答：略.
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