复数练习题含答案

一、单选题

1．设复数z1=1+i，z2=x+2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于（ ） A．-2

B．-1

C．1

D．2

2．已知复数z1aai（aR），则a1是z1的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知复数z1i，则2ziz（ ） A．2 4．复数(2A．2 C．23 2B．3

3)i的虚部为（ ） 2C．23 D．32 B．D．0

32 5．设集合AA．ABC

实数 ，B纯虚数，C复数，若全集SC，则下列结论正

确的是（ ） B．AB C．ASB D．

SASBC

6．复数 zA．1或-1 C．-1

1(a21)i是实数，则实数a的值为（ ） a1B．1 D．0或-1

Z127．向量OZ1，OZ2，分别对应非零复数z1，z2，若OZ1⊥OZ2，则Z是（ ） A．负实数 C．正实数 A．2i A．2 A．5 B．2i B．2 B．5

B．纯虚数

D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0) C．2 C．i C．2 D．2 D．1 D．2

8．设复数z满足iz3iz，则z的虚部为（ ）

9．复数z满足：z(2i)5（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ） 10．已知复数z满足(12i)z43i（i为虚数单位），则z（ ）

11．在复平面内O为坐标原点，复数z1i43i，z27i对应的点分别为

Z1,Z2，则Z1OZ2的大小为（ ）

A．

3B．

23 C．

3 4D．

56

12．已知复数zm3m1i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）. A．3,1 C．1, A．5

B．5 B．1,3 D．,3 C．10

D．10 13．复数z满足：z2z3i3，则z（ ）

14．已知复数z1ai（aR），则a1是z2的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

15．已知z34i，则zzi（ ） A．1117i

B．1917i

C．1117i

D．1923i

16．下列关于复数的命题中（其中i为虚数单位），说法正确的是（ ） A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数

B．已知复数z1，z2，z3，若z1z2z2z30，则z1z2z3

2C．若关于x的方程1ixax14i0（aR）有实根，则a

2252D．12i是关于x的方程x2pxq0的一个根，其中p,q为实数，则q5 17．若zA．2 A．2＋i 19．复数A．1 围是（ ） A．(1,0) 二、填空题

1x，yR)，则2xy的值为__________. 21．若xyix（5i，则|z|（ ） 2iB．5 B．2－i

C．22 C．1＋2i

D．3 D．1－2i

18．已知复数z满足(2i)z43i（i为虚数单位），则z（ ）

1i（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） 1iB．1 C．i D．i

20．若复数zmi(2mi)在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范

B．(0,1)

C．(,0)

D．(1,)

22．设复数z1，z2是共轭复数，且z12z229i,，则z1=___________. 23．已知z是复数，zz3zzi13i，则复数z_________ 24．若i为虚数单位，复数z3i，则表示复数25．已知z34i，求|z|=___________

26．已知复数zsinicos，则z________． 27．复数

2i的共轭复数是_______． i1π3π3iz的点在第_______象限. 1i28．设复数z1，z2满足z11，z22，z1z212i，则z1z2________． 29．已知复数z满足4(1i)2z(12i)，则|z|________.

230．已知复数za1a1iaR是纯虚数，则a___________.

31．计算：

112i___________. 2i32．设复数z满足1iz22i（i为虚数单位），则z______． 33．若i为虚数单位，复数z满足ziz142i，则z___________. 12i34．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z为纯虚数，则实数a的值为________．

235．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则

2z＝________． z236．已知关于x的方程，x21ixababi0,a,bR总有实数解，则

ab的取值范围是__________.

37．已知复数z1i，则z______． i22238．方程2x3x2x5x6i0的实数解x________.

39．若a∈R，且40．已知复数z三、解答题

ai是纯虚数，则a=____． 2i3bibR的实部和虚部相等，则z___________． i41．已知z是虚数，求证：z是实数的充要条件是z2．

42．在复数集C内方程x610有六个根分别为1，2，3，4，5，6 (1)解出这六个根；

(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积 ．

4z43．已知a，bR，且方程x2axb0的一个根为1－i，复数z1abi． (1)若复数z1mm2m3i在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围；

(2)若z232，且满足z1z20，求复数z2．

(1i)23(1i)44．已知复数z.

2i12(1)求复数z的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； (2)若z2azb1i，试求实数a、b的值.

45．由方程z31cos2kπisin2kπkZ得z310的三个根为

kcos2kπ2kπisin0k2,kZ，则z31z1z1z12．将上式右边的33各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了z31的有理分解式．请你仿此将z151进行有理分解．

【参考答案】

一、单选题 1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 11．C 12．A 13．D 14．A 15．B

16．D 17．B 18．B 19．B 20．A 二、填空题 21．1 22．13 23．24．四 25．##0.2 26．1 27．i 28．7 29．2 30．1

31．43i##3i4 32．2 33．1 34．

35．－1＋2i##2i－1 36．2, 37．2 38．2 39．##0.5 40．32 三、解答题

41．证明见解析 【解析】

1283121313313i或i i##i或2222222151232【分析】

设zxyix,yR,y0，由复数运算化简得z4z44x4yx2yi；zxy2x2y2当z2时，可得z2xR，证得充分性；当z是实数时，可得

x2y24，必要性得证；由此可得结论.

4z【详解】

设zxyix,yR,y0， 则zxyi4z44x4yi4x4yxyi2xyi. xyixy2x2y2x2y24y4x0，x22xR， 2xyxy22当z2时，x2y24，则yz442xR，即z是实数，充分性成立； zz4z4y0，又y0，x2y24，即z2，必要性成2xy2当z是实数时，y立；

z4是实数的充要条件是z2. z42．(1)11,21,3(2)33 2123131313i,4i,5i,6i 2222222【解析】 【分析】

（1）原式可因式分解为(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)0，令x2x1=0，设

xabi,a,bR可求解出x2x1=0的两个虚根，同理可求解x2x1=0的两个

虚根，即得解；

（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)

由题意，x610

(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)0

当x2x1=0时，设xabi,a,bR

故(abi)2abi1=a2b2+a1(2abb)i=0， 所以a2b2+a1=2abb=0 解得：a,b12313，即xi 222当x2x1=0时，设xcdi,c,dR 故(cdi)2cdi1=c2d2c1(2cdd)i=0 所以c2d2c1=2cdd=0 解得：c,d12313i ，即x222123131313i,4i,5i,6i 2222222故：11,21,3(2)

六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F， 其中A(1,0),B(1,0),C(,123131313),D(,),E(,),F(,) 2222222在复平面中描出这六个点如图所示：

六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故S6333 124243．(1)1,1； (2)z233i. 【解析】 【分析】

2（1）由题可得1ia1ib0，可得z122i，然后利用条件可得

m10,即得； 2mm20,（2）设z2xyi，由题可得x2y218，(1)

因为方程x2axb0的一个根为1－i，

2x2y0，即得.

2x2y0所以1ia1ib0，即ab2ai0，

2根据复数相等的定义得∴z122i，

ab0,a2, 解得2a0,b2.∴z1mm2m3i1imm2m3im1m2m2i， 因为z1mm2m3i在复平面内对应的点位于第三象限， 所以m10,解得1m1， 2mm20,1212即实数m的取值范围是1,1． (2)

设z2xyi，x，yR，由上知z122i． 因为z232，所以x2y218．①

又因为z1z222ixyi2x2y2x2yi0，

2x2y0,x0,② 故有即2x2y0,yx,由①②解得x3, y3,所以z233i．

， 44．(1)复数z的实部为1、虚部为1、模长为2，坐标为(11)a3 b4(2)【解析】 【分析】

（1）先化简复数z1i.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；

（2）将z1i代入方程，利用复数相等的条件即可求解. (1)

(1i)23(1i)3i3i2i1i. 因为z2i2i2i2i则复数z的实部为1，虚部为1，模长为|z|12122，

，. 表示复平面上的点的坐标为(11)(2)

将z1i代入方程z2azb1i得：ab(2a)i1i，

∴ab1a3. ，∴2a1b4231445．z1z1z1z1z1 【解析】 【分析】

根据题目所给的信息即可求解. 【详解】

根据题目有理分解式原理可知

z151=0的15个根为kcos2kπ2kπisin0k14,kZ， 1515314则z151z1z1z1z1z1.

2