偏微分 方程数值解

说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序 谢谢大家的支持！

其他的数值算法见：

..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004

1、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）

function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典显式格式求解抛物型偏微分方程

%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %

%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) %

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 % C -系数，默认情况下C=1 %

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');

%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);

%设置参数C的默认值 if nargin==7 C=1; end

%计算步长

dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长

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x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt;

r=C*dt/dx/dx;%步长比 r1=1-2*r;

if r > 0.5

disp('r > 0.5,不稳定') end

%计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end

%逐层求解 for j=1:N for i=2:M

U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); end end U=U';

%作出图形 mesh(x,t,U);

title('古典显式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U') return;

古典显式格式不稳定情况

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古典显式格式稳定情况

2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）

function [U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典隐式格式求解抛物型偏微分方程

%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %

%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) %

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量x的取值上限

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% uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 % C -系数，默认情况下C=1 %

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');

%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);

%设置参数C的默认值 if nargin==7 C=1; end

%计算步长

dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长

x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt;

r=C*dt/dx/dx;%步长比

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+2*r; Low(i)=-r; Up(i)=-r; end

Diag(M-1)=1+2*r;

%计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1

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U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward） for j=1:N

b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*U(1,j+1); b1(M-1)=r*U(M+1,j+1); b=U(2:M,j)+b1;

U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U';

%作出图形 mesh(x,t,U);

title('古典隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U') return;

此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组，这个算法在上一篇帖子中已经给出，为了方便，再给出来

追赶法解三对角线性方程组

function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %追赶法求解三对角线性方程组Ax=b %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %x:三对角线性方程组的解

%L:三对角矩阵的下对角线，行向量 %D:三对角矩阵的对角线，行向量 %U:三对角矩阵的上对角线，行向量 %b:线性方程组Ax=b中的b，列向量 %

%应用举例:

%L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]'; %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)

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%检查参数的输入是否正确 n=length(D);m=length(b); n1=length(L);n2=length(U);

if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m disp('输入参数有误！') x=' '; return; end

%追的过程 for i=2:n

L(i-1)=L(i-1)/D(i-1); D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1); end

x=zeros(n,1); x(1)=b(1); for i=2:n

x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1); end

%赶的过程 x(n)=x(n)/D(n); for i=n-1:-1:1

x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i); end return;

古典隐式格式

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在以后的程序中，我们都取C=1，不再作为一个输入参数处理

3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程 需要调用追赶法的程序

function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) %Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) %

%方程：u_t=u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) %

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 %

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N);

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%计算步长

dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长

x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt;

r=dt/dx/dx;%步长比

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+r; Low(i)=-r/2; Up(i)=-r/2; end

Diag(M-1)=1+r;

%计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end

B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i)=1-r; B(i,i+1)=r/2; B(i+1,i)=r/2; end

B(M-1,M-1)=1-r;

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward） for j=1:N

b1=zeros(M-1,1);

b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2; b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1;

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U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U';

%作出图形 mesh(x,t,U);

title('Crank-Nicolson隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U') return;

Crank-Nicolson隐式格式

4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解

需要调用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解线性方程组

function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) %正方形区域Laplace方程的Diriclet边值问题的差分求解

%此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组 %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) %

%方程：u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub %边值条件：u(0,y)=phi1(y)

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% u(ub,y)=phi2(y) % u(x,0)=psi1(x) % u(x,ub)=psi2(x) %

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示y=0时的值，第二行表示第y=h时的值…… % x -横坐标 % y -纵坐标

%输入参数：ub -变量边界值的上限

% phi1,phi2,psi1,psi2 -边界函数，定义为内联函数 % M -横纵坐标的等分区间数

% type -求解差分方程的迭代格式，若type='Jacobi'，采用Jacobi迭代格式 % 若type='GS'，采用Guass-Seidel迭代格式。默认情况下，type='GS' %

%应用举例： %ub=4;M=20;

%phi1=inline('y*(4-y)');phi2=inline('0');psi1=inline('sin(pi*x/4)');psi2=inline('0'); %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,'GS');

if nargin==6 type='GS'; end %步长 h=ub/M; %横纵坐标 x=(0:M)*h; y=(0:M)*h;

%差分格式的矩阵形式AU=K %构造矩阵A M2=(M-1)^2; A=zeros(M2); for i=1:M2 A(i,i)=4; end for i=1:M2-1 if mod(i,M-1)~=0 A(i,i+1)=-1; A(i+1,i)=-1; end end

for i=1:M2-M+1 A(i,i+M-1)=-1;

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A(i+M-1,i)=-1; end

U=zeros(M+1); %边值条件 for i=1:M+1

U(i,1)=psi1((i-1)*h); U(i,M+1)=psi2((i-1)*h); U(1,i)=phi1((i-1)*h); U(M+1,i)=phi2((i-1)*h); end %构造K K=zeros(M2,1); for i=1:M-1 K(i)=U(i+1,1); K(M2-i+1)=U(i+1,M+1); end

K(1)=K(1)+U(1,2); K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2); K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M); K(M2)=K(M2)+U(M+1,M); for i=2:M-2

K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1); K((M-1)*i)=U(M+1,i+1); end

x0=ones(M2,1); switch type

%调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K case 'Jacobi'

X=EqtsJacobi(A,K,x0);

%调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K case 'GS'

X=EqtsGS(A,K,x0); otherwise

disp('差分格式类型输入错误') return; end

%把求解结果化成矩阵型式 for i=2:M for j=2:M

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U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2)); end end U=U'; %作出图形 mesh(x,y,U);

title('五点差分格式Laplace方程Diriclet问题的解的图像') xlabel('x') ylabel('y')

zlabel('Laplace方程Diriclet问题的解 U') return;

正方形区域Laplace方程五点差分格式

5、一阶双曲型方程的差分方法

function [U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %一阶双曲型方程的差分格式

%[U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %

%方程:u_t+C*u_x=0 0 <= t <= uT, 0 <= x <= uX %初值条件:u(x,0)=phi(x) %

%输出参数:U -解矩阵，第一行表示初值，第二行表示第2个时间层……

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% x -横坐标 % t -纵坐标，时间 %输入参数:uX -变量x的上界 % uT -变量t的上界 % M -变量x的等分区间数 % N -变量t的等分区间数 % C -系数

% phi -初值条件函数，定义为内联函数 % psi1,psi2 -边值条件函数，定义为内联函数 % type -差分格式，从下列值中选取

% -type='LaxFriedrichs'，采用Lax-Friedrichs差分格式求解

% -type='CourantIsaacsonRees'，采用Courant-Isaacson-Rees差分格式求解 % -type='LeapFrog'，采用Leap-Frog（蛙跳）差分格式求解 % -type='LaxWendroff'，采用Lax-Wendroff差分格式求解

% -type='CrankNicolson'，采用Crank-Nicolson差分格式求解，此格式需调用追赶法 % 求解三对角线性方程组 %

h=uX/M;%变量x的步长 k=uT/N;%变量t的步长 r=k/h;%步长比

x=(0:M)*h; t=(0:N)*k;

U=zeros(M+1,N+1); %初值条件 for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end %边值条件 for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); %U(1,j)=NaN; %U(M+1,j)=NaN; end

switch type

%Lax-Friedrichs差分格式 case 'LaxFriedrichs' if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！') end

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%逐层求解 for j=1:N for i=2:M

U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2; end end

%Courant-Isaacson-Rees差分格式 case 'CourantIsaacsonRees' if C<0

disp('C<0，采用前差公式') if C*r<-1

disp('Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定！') end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M

U(i,j+1)=(1+C*r)*U(i,j)-C*r*U(i+1,j); end end else

disp('C>0，采用后差公式') if C*r>1

disp('Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定！') end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M

U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j); end end end

%Leap-Frog（蛙跳）差分格式 case 'LeapFrog'

phi2=input('请输入第二层初值条件函数：psi2='); if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Leap-Frog差分格式不稳定！') end

%第二层初值条件 for i=1:M+1 U(i,2)=phi2(x(i)); end %逐层求解

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for j=2:N for i=2:M

U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)); end end

%Lax-Wendroff差分格式 case 'LaxWendroff' if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！') end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M

U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2; end end

%Crank-Nicolson隐式差分格式，需调用追赶法求解三对角线性方程组的算法 case 'CrankNicolson'

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素 for i=1:M-2 Diag(i)=4; Low(i)=-r*C; Up(i)=r*C; end

Diag(M-1)=4;

B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i)=4; B(i,i+1)=-r*C; B(i+1,i)=r*C; end

B(M-1,M-1)=4;

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward） for j=1:N

b1=zeros(M-1,1);

b1(1)=r*C*(U(1,j+1)+U(1,j))/2; b1(M-1)=-r*C*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1;

- . -word资料-

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U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end otherwise

disp('差分格式类型输入有误！') return; end U=U';

%作出图形 mesh(x,t,U);

title([type '格式求解一阶双曲型方程的解的图像']); xlabel('空间变量 x'); ylabel('时间变量 t');

zlabel('一阶双曲型方程的解 U'); return;

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