四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一数学下学期期中试题

成都七中实验学校高2015级2015-2016学年（下）半期考试

数 学 试 题

满分:150分 时间:120分钟

一、选择题：(每小题5分，共60分。) 1、sin15cos15（ ）

A、

1 4B、

331 C、 D、

2422、已知数列1,3,5,7,,2n1,则35是它的（ ）

A、第20项 B、第21项 C、第22项 D、第23项

3、下列命题正确的是（ ）

A、abab B、abab

C、a0a0 D、aba//b

4、等差数列an中，a1a510,a47，则数列an的公差为( ) A、1 B、2 C、3

D、4

5、若Sn是等差数列an的前n项和，a2a104，则S11的值为( )

A、44 B、33 C、 24 D、22 6、函数y3sinx4cosx的最小值为（ ）

A、3 B、4 C、5 D、7

2227、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若abbcc，则角A（ ）

A、30 B、60 C、120 D、60或120 8、在ABC中，A600,a3,b2，则角B( )

A、45 B、135

00000009、ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且(ABAC)BC0，则ABC

的形状为 ( )

A、钝角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

C、45或135 D、以上答案都不对

0010、在ABC中，已知AB4,AC1,SABC3，则ABAC等于( )

A、1 B、2 C、2 D、2

11、已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E、F分别在边BC、DC上，BEBC，DFDC。

02CF，则（ ） 若AEAF1,CE31257A、 B、 C、 D、

2361222212、已知ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若bca，且

3cos2A3sinA10，则sinCAcos2AB的取值范围为（ ）

2

1

A、1,3 B、1,3 0,3212424C、4 D、3,2 二、填空题：13、设向量（每小题5a2,,b分，共20分。）

1,1，若a//b，则_____

14、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的 正南方向。海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西750方向，与A 相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西600方向，与B相距5海里 的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里。

15、数列a*n满足：a1＝1，且对任意的m、nN都有：an＋m＝an＋am＋nm，则a100___

16、已知D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且满足AE324AC,AF3AB，ADABACBDsinB|AB|cosB|AC|cosCR， DFADcosB|BD||AD|R， DEDADEDC，则|EF|BC||______

三、解答题：（6小题，共70分。）

17、（10分） 已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120。

(1)求|a2b|的值；(2)求a2b在

a方向上的投影.

18、(10分)已知向量OA1,3,OBcos,sin，且AOB2。

(1)求sin2cos2sin2cos21；

(2)若是钝角，是锐角，且sin35，求sin的值。

2

19、(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a412,S749。 (1)求数列an的通项公式an； (2)是否存在非零常数c使数列Snnc为等差数列？若存在，请求出c；若不存在，请说明理由。

20、（12分）已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosC3asinCbc。（1）求A ；

（2）若a2，ABC的面积为3,证明：ABC是正三角形。

21、(12分)已知向量u(sinx,cosx)，v(6sinxcosx,7sinx2cosx)，设函数f(x)uv。 （1）求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；

（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知BAAC0，f(A)6，

且ABC的面积为3，b32，求ABC的外接圆半径R的大小。

22、(14分)设数列a2*n的前n项和为Sn，a11,Snnan2n2nnN。

(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式； (2)是否存在自然数n，使得SS2S3Sn12n23n1124？若存在，求出n的值； 若不存在，请说明理由。

3

（3）设cnm2(nN),Tnc1c2c3....cn(nN)，若不等式TnmZ对nN恒成立，

32n(an7)求m的最大值。

成都七中实验学校高2015级2015-2016学年（下）半期考试

数 学 试 题

满分:150分 时间:120分钟

一、选择题：(每小题5分，共60分。) 1、sin15cos15（ A ）

A、

1 4B、

331 C、 D、

2422、已知数列1,3,5,7,,2n1,则35是它的（ D ）

A、第20项 B、第21项 C、第22项 D、第23项

3、下列命题正确的是（ C ）

A、abab B、abab

C、a0a0 D、aba//b

4、等差数列an中，a1a510,a47，则数列an的公差为( B ) A、1 B、2 C、3 D、4

5、若Sn是等差数列an的前n项和，a2a104，则S11的值为( D )

A、44 B、33 C、 24 D、22 6、函数y3sinx4cosx的最小值为（ C ）

A、3 B、4 C、5 D、7

2227、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若abbcc，则角A（ B ）

A、30 B、60 C、120 D、60或120 8、在ABC中，A600,a3,b2，则B等于( A )

A、45 B、135

00000009、ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且(ABAC)BC0，则ABC

的形状为 ( B )

A、钝角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形

D、等腰直角三角形

C、45或135 D、以上答案都不对

0010、在ABC中，已知AB4,AC1,SABC3，则ABAC等于( D )

A、1 B、2 C、2 D、2

11、已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E、F分别在边BC、DC上，BEBC，DFDC。

02CF，则（ C ） 若AEAF1,CE31257A、 B、 C、 D、

23612

4

解：以点B为坐标原点，以BC边所在直线为x轴建系。

易得B0,0,C2,0,A1,3,D3,3,E2,0,F3,33

则AE21,3,AF2,3,CE22,0,CF1,33

2123123所以25 22123623另解：因为?BAD120，所以AB?ADABADcos120=-2. 因为BEBC，所以AE=AB+lAD，AF=mAB+AD.

因为AE?AF1，所以(AB+lAD)?(mABAD)=1，即2l+2m-lm=32 ①

同理可得253 ②， ①+②得56l+m=6.

12、已知ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若b2c2a2，且

cos2A3sinA10，则sinCA32cos2AB的取值范围为（ A ）

A、1,324 B、1,324 C、0,34 D、2,132 二、填空题：（每小题5分，共2013、设向量分．）

a2,,b1,1，若a//b，则_____ 1或2

14、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的 正南方向。海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西750方向，与A 相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西600方向，与B相距5海里 的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里。 解：连接AC，∵ AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；

在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13。

15、数列an满足：a1＝1，且对任意的m、nN*都有：an＋m＝an＋am＋nm，则a100___

解：令m1 则an1an1nan1ann1

a100a100a99a99a98a3a2a2a1a110099215050

16、已知分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且满足AE3D、E、F24AC,AF3AB，

ADABAC|AB|cosB|AC|cosCR， DFBDsinBADcosB|BD||AD|R， DEDADEDC。则|EF|BC||____

5

解：ADBCABBCACBCABBCcosBACBCcosCC0 |AB|cosB|AC|cos|AB|cosB|AC|cosCADBC 即ADBC

ABDFABBDsinBABADcosB|BD||AD| ABBDcosBsinBABADcosBADcosB |BD||AD|ABBDcosBsinBABADsinBcosB0 ABDF 即|BD||AD|ABDF DEDADEDC DEDADC0DECA0DECA 即DECA

连接EF DECA,DFAB A、E、D、F四点共圆 AEFADF 又ADBC 所以BADF 从而BAEF 故AEFABC

32 EFBCAEABAF324AC3AB22AC AE4AC,AF3AB ABACAC3AB

3EF422ABBC3AB22 三、解答题：（6小题，共75分．）

17、（10分） 已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120。

(1)求|a2b|的值；

(2)求a2b在a方向上的投影.

解：(1)

|a2b|=a2+4ab+4b2=22+423cos120+432=2a2b在a上的投影为（a2b）aa2b7. 2a4223cos120(2) |a||a|21.

18、(10分)已知向量OA1,3,OBcos,sin，且AOB2。

求sin2cos2(1)sin2cos21；

(2)若是钝角，是锐角，且sin35，求sin的值。 解：(1) AOB OA2OB0

6

1cos3sin0tan，

3sin2cos22sincoscos22tan11

sin2cos212sincos2cos22tan24(2)∵是钝角，tan131010， cos， ,sin3101034， cos。 55∵为锐角，sinsinsinsincoscossin(1)求数列an的通项公式an；

1310。 5019、(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a412,S749。

Sn为等差数列？若存在，请求出c；若不存在，请说明理由。 nc解：(1)设等差数列an的公差为d，

(2)是否存在非零常数c使数列2a15d12a11依题意得，an2n1. ………………6分 767a1d49d22(2)由(1)知，Snn12n12n2，

假设存在非零常数c使数列则

Sn为等差数列， nc149,,成等差数列. 1c2c3c1942 1c3c2c解得 c0 矛盾 故不存在非零常数c使数列Sn为等差数列。………………12分 nc20、（12分）已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosC3asinCbc。 （1）求A ；（2）若a2，ABC的面积为3,证明：ABC是正三角形。

解：（1）依题意及正弦定理得：

sinAcosC3sinAsinCsinBsinC sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC

3sinAsinCcosAsinCsinC

sinC0 3sinAcosA1sin(A30)1 200A1800 300A3001500 A3030A60

1（2）SbcsinA3bc4

2

7

由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c2bcbc23bc

4bc212bc4bc2

A60 BC600 故ABC是正三角形。

21、(12分)已知向量u(sinx,cosx)，v(6sinxcosx,7sinx2cosx)，设函数f(x)uv。 （1）求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；

（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知BAAC0，f(A)6，

且ABC的面积为3，b32，求ABC的外接圆半径R的大小。

解：（1）f(x)uvsinx(6sinxcosx)cosx(7sinx2cosx)6sin2x2cos2x8sinxcosx

4sin2x4cos2x242sin(2x4)2……………………4分

令2x3422k(kZ)得x8k(kZ)， f(x)3max422，此时x的集合为{x|x8k,kZ}……………………6分 （2）由（I）可得f(A)42sin(2A24)26 sin(2A4)2。

因为BAAC0AC BAcosA0cosA00A2，

所以A34244。

从而2A44，A4…………………………………8分 S12bcsinA1232c2ABC23 c2…………………10分

由余弦定理得a2b2c22bccosA18423222210 a10

由正弦定理得 2RasinA10225R5 2所以ABC的外接圆半径R5…………………12分

22、(14分)设数列aS2*n的前n项和为n，a11,Snnan2n2nnN。

(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式； (2)是否存在自然数n，使得SS212S3S3nn2n1124？若存在，求出n的值； 若不存在，请说明理由。 （3）设C2nn(a(nN),Tmnc1c2c3....cn(nN)，若不等式Tnmn7)32Z

8

对nN恒成立，求m的最大值。

解 (1)由S2*nnan2n2nnN，

得S2n1n1an12n12n1n2 相减得 annann1an14n4

n1ann1an14n1 anan14n2

故数列an是以1为首项，以4为公差的等差数列。

所以a144n3nN*n1n

Sna1ann22n2nnN* ………4分 (2)由（1）知

Snn2n1nN*， 所以SS2S3Snnnn12n1123n21352n1222nn22n由n22n1124 得n10，即存在满足条件的自然数n10………………9分 （3）c2nn(a7)12n(n1)1112(nn1)n

T11111111nnc1c2c3....cn2(12)(23)...(nn1)2(1n1)2(n1) Tn1n1Tn2n2n2n112n2n10

TTT1nn1 即n单调递增 故TnminT14 要使Tmmn32恒成立，只需

3214成立，即m8mZ。 故符合条件的m的最大值为7。 …………………………14分

9