2019年上海市高三数学一模分类汇编：数列与极限

2n*4（2019徐汇一模）. 若数列{an}的通项公式为an1an 1（nN），则limnn1n5（2019闵行一模）. 等比数列{an}中，a1a21，a5a616，则a9a10 6（2019浦东一模）. 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn. 若S936，则

a3a4a8 6（2019静安一模）. 在数列{an}中，a11，且{an}是公比为

1的等比数列，设3Tna1a3a5a2n1，则limTn (nN*)

n6（2019徐汇一模）. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，n(3,1)是l的一个法向量，已知数列{an}满足：对任意的正整数n，点(an1,an)均在l上，若a26，则a3的值为

7（2019杨浦一模）. 在无穷等比数列{an}中，lim(a1a2an)n1，则a1的取值范2围是

7（2019青浦一模）. 已知无穷等比数列{an}各项的和为4，则首项a1的取值范围是 7（2019宝山一模）. 如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比

q

7（2019静安一模）. 某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数）

9（2019金山一模）. 无穷等比数列{an}各项和S的值为2，公比q0，则首项a1的取值范围是

10（2019黄浦一模）. 已知数列{an}(nN*)，若a11，an1an()n，则lima2n

n1210（2019青浦一模）. 设等差数列{an}满足a11，an0，其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则limSn10 na2n10（2019普陀一模）. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）

nan21007(n1)an12018(n1)an(nN*)，11（2019浦东一模）. 已知数列{an}满足：

a11，a22，若liman1A，则A

nan11（2019长嘉一模）. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且anan1于常数A，则首项a1取值的集合为 1，若数列{Sn}收敛2n12（2019杨浦一模）. 设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足

Tn1，且da5b2，若实数mPk{x|ak2xak3}（kN*，(1)nbn（nN*）n2k3），则称m具有性质Pk，若Hn是数列{Tn}的前n项和，对任意的nN*，H2n1都

具有性质Pk，则所有满足条件的k的值为 12（2019崇明一模）. 已知数列{an}满足：①a10；②对任意的nN*，都有an1an成立.

函数fn(x)|sin(xan)|，x[an,an1]满足：对于任意的实数m[0,1)，fn(x)m 总有两个不同的根，则{an}的通项公式是

12（2019宝山一模）. 如果等差数列{an}、{bn}的公差都为d（d0），若满足对于任意

1nnN*，都有bnankd ，其中k为常数，kN*，则称它们互为“同宗”数列，已知

等差数列{an}中，首项a11，公差d2，数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列，若

lim(n1111)，则k a1b1a2b2anbn312（2019闵行一模）. 若无穷数列{an}满足：a10，当nN*，n2时，

|anan1|max{a1,a2,,an1}（其中max{a1,a2,,an1}表示a1,a2,,an1中的最大项），

有以下结论：

① 若数列{an}是常数列，则an0（nN*）； ② 若数列{an}是公差d0的等差数列，则d0；

③ 若数列{an}是公比为q的等比数列，则q1；

④ 若存在正整数T，对任意nN*，都有anTan，则a1是数列{an}的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）

15（2019奉贤一模）. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若lim则q的取值范围是（ ）

A. (0,1) B. (2,) C. (0,1]Snan1，

nSa3nn(2,) D. (0,2)

16（2019奉贤一模）. 若三个非零且互不相等的实数x1、x2、x3成等差数列且满足

112，则称x1、x2、x3成“等差数列”，已知集合M{x||x|100,xZ}，x1x2x3则由M中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（ ） A. 25 B. 50 C. 51 D. 100

16（2019徐汇一模）. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，若对任意的nN*，都有SnS3，则

a6的值不可能为（ ） a5A. 2 B.

354 C. D. 33219（2019松江一模）. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.

（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足 够支付第6个月的维护费支出？

（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）

20（2019普陀一模）. 设数列{an}满足a1（1）求a2、a3的值； （2）求证：{3an3，an1（nN*）.

an2511111}是等比数列，并求lim(n)的值；

naa2anan1（3）记{an}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对于任意的n（nN*且n2）均有Snk成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

21（2019宝山一模）. 如果数列{an}对任意nN*，都有an2and，其中d为常数，则称数列{an}是“间等差数列”，d为“间公差”，若数列{an}满足anan12n35，

nN*，a1a（aR）.

（1）求证：数列{an}是“间等差数列”，并求间公差d；

（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn的最小值为153，求实数a的取值范围； （3）类似地：非零数列{bn}对任意nN*，都有

bn2q，其中q为常数，则称数列{bn} bn是“间等比数列”，q为“间公比”，已知数列{cn}中，满足c1k（k0，kZ），

1cncn12018()n1，nN*，试问数列{cn}是否为“间等比数列”，若是，求最大的整

2数k使得对于任意nN*，都有cncn1，若不是，说明理由.

21（2019奉贤一模）. 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{an}的前n项和

Snam，则称数列{an}是“回归数列”.

（1）前n项和为Sn2n的数列{an}是否是“回归数列”？并请说明理由；

（2）设{an}是等差数列，首项a11，公差d0，若{an}是“回归数列”，求d的值； （3）是否对任意的等差数列{an}，总存在两个“回归数列”{bn}和{cn}，使得anbncn （nN*）成立，请给出你的结论，并说明理由.

21（2019金山一模）. 在等差数列{an}中，a1a3a515，a611. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意mN*，将数列{an}中落入区间(2m1,22m1)内的项的个数记为{bm}，记数列

{bm}的前m项和为Sm，求使得Sm2018的最小整数m；

（3）若nN*，使不等式an

21（2019黄浦一模）. 给定整数n(n4)，设集合A{a1,a2,,an}，记集合

11(2n1)an1成立，求实数的取值范围. anan1B{aiaj|ai,ajA,1ijn}.

（1）若A{3,0,1,2}，求集合B；

（2）若a1,a2,,an构成以a1为首项，d(d0)为公差的等差数列，求证：集合B中的元 素个数为2n1；

（3）若a1,a2,,an构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有 元素之和.

21（2019徐汇一模）. 已知项数为n0（n04）项的有穷数列{an}，若同时满足以下三个条件：

①a11，an0m（m为正整数）；②aiai10或1，其中i2,3,,n0；③任取数列{an}中的两项ap、aq（pq），剩下的n02项中一定存在两项as、at（st），满足

apaqasat，则称数列{an}为数列.

（1）若数列{an}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{an}是否是数列，并说明理由；

（2）当m3时，设数列{an}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1,d2,d3N*，求证：d14，d22，d34；

（3）当m2019时，求数列{an}中项数n0的最小值.

21（2019闵行一模）. 对于数列{an}，若存在正数p，使得an1pan对任意nN*都成立，则称数列{an}为“拟等比数列”.

（1）已知a0，b0，且ab，若数列{an}和{bn}满足：a1ab，b1ab，且 2an1anbn*，bn1anbn(nN)； 2① 若a11，求b1的取值范围；

② 求证：数列{anbn}(nN*)是“拟等比数列”；

（2）已知等差数列{cn}的首项为c1，公差为d，前n项和为Sn，若c10，S40350，

S40360，且{cn}是“拟等比数列”，求p的取值范围. （请用c1，d表示）

21（2019松江一模）. 对于给定数列{an}，若数列{bn}满足：对任意nN*，都有

(anbn)(an1bn1)0，则称数列{bn}是数列{an}的“相伴数列”.

（1）若bnancn，且数列{bn}是{an}的“相伴数列”，试写出{cn}的一个通项公式，并说明理由；

（2）设an2n1，证明：不存在等差数列{bn}，使得数列{bn}是{an}的“相伴数列”； （3）设an2n1，bnbqn1（其中q0），若{bn}是{an}的“相伴数列”，试分析实数b、q的取值应满足的条件.

21（2019崇明一模）. 已知数列{an}、{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，

an1bnSn1（nN*）.

（1）若a11，bnn，求a4的值； 21}为等比数列； 1q（2）若{an}是公比为q（q1）的等比数列，求证：数列{bn（3）若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2、a3、、an、 成等差数列的充要条件是d

21（2019虹口一模）. 对于n(nN*)个实数构成的集合E{e1,e2,1. 2

en}，记

SEe1e2(a1a2en. 已知由n(nN*)个正整数构成的集合A{a1,a2,,an}an,n3)满足：对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，

使得该子集的所有元素之和等于m. （1）试求a1、a2的值；

1； n(n1)”

2（3）若SA2018，求证：n的最小值为11；并求n取得最小值时，an的最大值.

（2）求证：“a1、a2、

、an成等差数列”的充要条件是“SA

21（2019杨浦一模）. 记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令

Mnmn，nN*. 2n（1）若an2ncos，请写出b3的值；

2bn（2）求证：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件；

（3）若对任意n，有|an|2018，且|bn|1，请问：是否存在KN*，使得对于任意不小于K的正整数n，有bn1bn成立？请说明理由.

21（2019长嘉一模）. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a11，a2a. （1）若数列{an}是等差数列，且a815，求实数a的值；

（2）若数列{an}满足an2an2（nN），且S1919a10，求证：{an}是等差数列； （3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质

M：对于任意的n2（nN），都存在mN，使得(Sman)(Sman1)0，写出你

的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合.

21（2019浦东一模）. 已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点

3x上依次取点B1,B2,B3,,Bn2**（nN），使得△Ak1BkAk（kN）都为等边三角形，其中A0为坐标原点，设第n个三角形的边长为f(n).

A1,A2,A3,,An（nN*），并在第一象限内的抛物线y2（1）求f(1)，f(2)，并猜想f(n)；（不要求证明）

（2）令an9f(n)8，记tm为数列{an}中落在区间(9m,92m)内的项的个数，设数列{tm} 的前m项和为Sm，试问是否存在实数，使得2Sm对任意mN*恒成立？若存在， 求出的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{bn}满足：b122211bn，bn1，数列{cn}满足：

22c11，cn1

21cn1cn，求证：bnf(2n1)cn.

21（2019青浦一模）. 若存在常数k（kN*，k2）、c、d，使得无穷数列{an}满足

nadN*nk，则称数列{an}为“数列”，已知数列{bn}为“数列”. an1ncaN*nk（1）若数列{bn}中，b11，k3，d4，c0，试求b2019的值；

（2）若数列{bn}中，b12，k4，d2，c1，记数列{bn}的前n项和为Sn，若不 等式S4n3n对nN*恒成立，求实数的取值范围；

（3）若{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由.

21（2019静安一模）. 将n个数a1、a2、、an的连乘积a1a2a3an记为

nai1i，将

n个数a1、a2、、an的和a1a2an记为ai(nN*).

i1n（1）若数列{xn}满足x11，xn1n11xxn，设Pn，Sn，求P5S5；

1x1xi1i1ii2nn（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]2，[3.4]3，[1.8]2，若数列{xn}满 足x11，xn1xxn，求[2n2019xi]的值； 1xi1i（3）设定义在正整数集N*上的函数f(n)满足：当

nm(m1)m(m1)(mN*)时， n22 f(n)m，问是否存在正整数n，使得f(i)2019若存在，求出n的值；若不存在，

i118n(n1)(2n1)18193722109） 说明理由. （已知i，例如i66i1i12n