高教研究 ２０１４年第５期 主成分分析与因子分析的异同及其应用 高金秋 （西安文理学院数学与计算机工程学院 陕西 西安７１００６５） 摘要：主成分分析法和因子分析法都是从变量的方差一协方差结构入手．在尽可能多地保留原始信息的 基础上，用少数新变量来解释原始变量的多元统计分析方法，但同时也是容易混淆的两种方法。本文从概念、 基本思想、数学模型、计算过程等方面，详细地探讨了两者的异同，并且举例说明了两者在实际问题中的应 用。 关键词：主成分分析；因子分析；异同；应用 Ｔｈｅ Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉＳ ａｎｄ ｆａｃｔｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ １ 关于主成分分析与因子分析的概念 主成分分析的概念 自然界中的客观事物往往受多种因素影响，因 而科学研究就需要考察多个变量。在大部分实际问 Ｇａｏ Ｊｉｎｑｉｕ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ 题中，变量之间有一定相关性。主成分分析是研究 如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差—— 协方差结构的分析方法，也就是求出少数几个主成 分（变量）。在主成分分析中，最终确定成分是原始 变量的线性组合。 因子分析的概念 ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ ７１００６５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉＳ ａｎｄ ｆａｃｔｏｒ ａｎａｌｙｓ ｉ Ｓ ａｒｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉＳ，ｏｎ ｔｈｅ 因子分析是主成分分析的推广和发展，也是多 元统计分析方法中降维的～种方法。因子分析是根 据相关性大小把变量分组，使得同组内的变量之间 相关性较高，但不同的组的变量相关性较低。 ２主成分分析与因子分析的异同 ｂａｓｉＳ ｏｆ ｒｅｔａｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｓ ｍｕｃｈ ａｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ，ｗｉｔｈ ａ ｆｅｗ ｎｅｗ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｖａｒｉａｂｌｅｓ，Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ａｌ ＳＯ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｏｎｆｕｓｅ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｉ Ｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ， ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ， 主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的 ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ，ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ＳＯ ｏｎ，ｈａｓ ｄｉ ｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉ ｌ ｂｏｔｈ ｔｈｅ Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ． ａｎｄ 思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实证 问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须 考虑众多影响因素。主成分分析正是适应这一要求 产生的，是解决这类问题的理想工具。 数学模型方面的异同 ｉ １ ｌｕｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ａｐｐｌ ｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｐｒｏｂｌ ｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉ ｓ ： ｆａｃｔｏｒ ａｎａｌｙｓｉＳ ： ｓｉｍｉｌａｒｉｔｉｅｓ ａｎｄ 设有 个样品，每个样品有Ｐ个变量 ，Ｘ２…．，Ｘ ， 对其作线性组合得到： ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ 一１２— ２０１４年第５期 高教研究 ｆ ＝ａ１１ ４－ａ１２ｘ２ －４…＋ｑｐＸｐ （３）结果分析 １Ｊ ＝ａ２１． ＋ａ２２ｉ ｘ２ －４…＋ 【 ＝口ｐ１ ４－ ｐ２ ＋…＋口 ． 这样来确定系数ａ 的值。在ＳＰＳＳ中，未直接给出计 算主成分分析方法所需要的结果，而是将其嵌入到 主成分分析与因子分析有很多相似之处，如在 求解过程中均从一个协方差 出发。当然，一般首 先将原始数据进行标准化处理，那么此时转化为从 相关系数矩阵尺出发等。但二者又有着区别与联系， 最主要的不同在于它们的数学模型的构建上。这种 分析结果的差异，势必会对最终有关部门提出的政 因子分析（Ｆａｃｔｏｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ）的计算结果中。 因子分析的计算过程 策、建议等产生较大影响，因此不能混用。 因子分析的实际常用计算步骤是： 【参考文献】 ［１１魏艳华，王丙参，田玉柱．主成分分析与因 ］子分析的比较研究Ⅱ］．天水师范学院学报，２００９，１３— １５． ①构造相关矩阵：根据相关矩阵可以确定是否 适合进行因子分析。 ②确定因子个数：可以按照特征根大于１的准 则或碎石准则来确定因子个数。 ③提取因子：可以根据需要选择合适的因子提 取方法。 ［２】宇传华．ＳＰＳＳ与统计分析［Ｍ】．北京：电子工 业出版社。２００７．２：４９１－５１３． 【３】高祥宝，董寒青．数据分析与ＳＰＳＳ应用ｆＭ］． 北京：清华大学出版社．２００７．６：３４２—３６４． 【４１黄燕，吴平．ＳＡＳ统计分析及应用［Ｍ】．北京： 机械工业出版社．２００６．１：２９３－３６１． ④计算因子得分：可以利用公共因子来做进一 步的研究。 ３主成分分析与因子分析在实际问题中的应 用 ［５】王文博，陈秀芝．多指标综合评价中主成分 用ＳＰＳＳ软件对原始数据进行主成分分析和因 分析和因子分析方法的比较 ．统计理论与方法， ２００６，１ ９－２２． 子分析，来比较主成分分析和因子分析法。分为以 下三个步骤： （１）将原始数据标准化对原始数据进行标准化 【６］秦浩，陈景武．主成分分析与因子分析的关 系剖析Ｕ】＿统计分析，２００６，１５２—１５４． 【７】林海明，张文霖．主成分分析与因子分析的 异同和ＳＰＳＳ软件卟统计研究２００５，６５—６９． 处理，这是两种方法所共有的。ＳＰＳＳ在调用Ｆａｃｔｏｒ Ａｎａｌｙｚｅ过程进行分析时，会自动对原始数据进行 标准化处理，因此需调用Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅｓ过程进行计 算。 （２）计算主成分值、因子得分及综合得分使用ＳＰＳＳ ￣，ｆＣ－ｍｊ－，主成分分析与因子分析是从初始因子载荷阵处 ．分开的。将“ＣＯｍｐｏｎｅｎｔＭａｔｒｉｘ’，中的第 列向量除以第 ｆ个特征值的平方根就得到第ｉ个主成分 的系数。 ＝０．４５６７０８ＸＺＸ ＋０．３１３２４５ＸＺＸ，＋０．４７０６４１ＸＺＸ，＋０．２４０４８１×ＺＸ ＋０．２５０８０２ＸＺＸ ．０．２６２６７ｌＸＺＸ ．０．３１９９５３ＸＺＸ，＋０．４２４７１２ＸＺＸ 只＝０．２５９０６９ｘＺＸ ．０．４０３４４７×ＺＸ，＋０．１０８６２０Ｘ ｚ）（，．０．４８７１０５ｘＺＸ ＋０．４９７８９９ＸＺＸ ＋０．１７００１４ＸＺＸ ＋０．４００７４８ＸＺＸ，＋０．２８８０８０ＸＺＸ ＝０．１０９７７３ＸＺＸ．＋０．２４５８５６ＸＺＸ，＋０．１９２３３０ＸＺＸ，＋０．３３３８５６１×ＺＸ ．０．２４９４８５ＸＺＸ ＋０．７２３０５３ＸＺＸ ＋０．３９７３６２ＸＺＸ，＋０．１９１４２３ＸＺＸ 上＝∑（ ＝０．４６９３９ｘ￣＋ｏ．２７４５９ｘＦ２＋０．１５１８６ｘＦ３ —ｊ １３—
