第 4章 时变电磁场
部分习题解答
2
证明：在无源的真空中，以下矢量函数知足颠簸方程
2
1 c2
E
t 2 E 0
，此中
c2
1 ， E0 为常数。
0 0
（ 1） E ex E0 cos( t
z) ；（ ） E ex E0 sin(
z)cos( t) ；
2
c
c
（ 3） E ey E0 cos( t
cz)
2 解 （1）
2 E
ex E0 2 cos( t z)
ex E0
2
cos( t
z)
c
z
c
e ( )2 E cos( t z)
x c 0
c
2
2
2
E ex E0
2 cos( t z) ex 2 E0 cos( t
z)
t t
c
c
故
2 1 2 E
2
E e( 2
1 ) E0 cos( t
z)
[
2
ex E0 cos( t
c2
x
t2
c c c
cz)]
即矢量函数 E
exE0 cos( t
z) 知足颠簸方程 2 E
1 2 E
0 。
c
c2
t 2
2
2
（ 2）
2 E
ex E0
[sin( z)cos( t )] exE0 2 [sin( z)cos( t)]
c z c
ex ( )2 E0 sin(
z)cos( t)
c
c
2
2
2
E exE0 2 [sin( z)cos( t )]
ex
2 E0[sin( z)cos( t )]
t t c
c 故
2 E
1 2 2
E
(
1
2
c
2
e ) 2
E0 sin( z)cos( t ) 2 [ ex
E0 sin( z)cos(
tx
c c c c 即矢量函数 E
ex E0 sin(
z)cos( t ) 知足颠簸方程 2 E
1 2 E 0 。
c
c2 t2
2
（ 3）
2 E
ey E0 2 cos( t
z)
eyE0
2 cos( t z)
c
z
c
ey ( )2 E0 cos( t z)
c c
2
2
2
E
ey E0 2 cos( t
z) ex 2 E0 cos( t
z)
t t c
c
故
2 1
2 EE
2 e 2
2 y ( ) E0 cos(
z) 1
2
t
2 [
ey E0 cos( t
z)]
c t
c
c
c
c
1 / 7
0
t )] 0 0
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
即矢量函数 E ey E0 cos(
t
z) 知足颠簸方程
2 E
1 2 E
0 。
c
c2
t 2
已知无源的空气中的磁场强度为
H ey 0.1sin(10 x)cos(6 109 t
kz)
A m
利用颠簸方程求常数
k 的值。
解
在无源的空气中的磁场强度知足颠簸方程
2 H ( r , t)
0 0
2
H (r ,t )
t20
而
2
H (r , t) ey
2
0.1sin(10 x)cos(6
109 t kz)
ey [ (10 )2
k2 ]0.1sin(10 x)cos(6
109 t kz)
2
2
t2 H (r , t )
ey 0.1sin(10
x)
2 cos(6
109 tkz)
t
ey (6
109 )2 0.1sin(10 x)cos(6
109 t kz)
代入方程
2 H ( r , t)
0 0
2
H (r ,t ) 0 ，得
t
2
ey {[ (10 )2 k 2 ]
0 0
(6
109 )2 }0.1sin(10 x)cos(6 109 t kz) 0
于是有
[ (10 )2 k 2 ]
0
0 (6
109 )2 0
故获得
k
0 0
(6
109 )2 (10 )2
10 3
件，而采纳库仑规范在应用电磁位时，假如不采纳洛仑兹条
gA 0 ，导出
所知足的微分方程。
解
将电磁矢量位 A 的关系式
B
A
和电磁标量位
的关系式
A
E
t
代入麦克斯韦第一方程
E
H
J
t
得
1
(A)
J
A
t
t
利用矢量恒等式
A
( gA)
2
A
得
( gA
2
A = J ( A )
t
t
又由
gD
2 / 7
和
（ 1）
A
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
得
g(
2
A t
)
即
( gA) t
（ 2）
按库仑规范，令
gA 0 ，将其代入式（ 1）和式（ 2）得
2
2
A
A
2
t 2
J
( t
)
（ 3）
（ 4）
式（ 3）和式（ 4）就是采纳库仑规范时，电磁
位函数 A 和
所知足的微分方程。
自由空间中的电磁场为
E (z,t ) H (z,t )
0 0
ex1000 cos( t kz) V m ey 2.65cos(
t kz) A m
式中 k
0.42rad m 。求：
（ 1）刹时坡印廷矢量； （ 2）均匀坡印廷矢量； （3）任一时辰流入如题
净功率。
4. 9 图所示的平行六面体（长
1m 、横截面积为 0.25m 2 ）中的
解 （ 1）刹时坡印廷矢量
S E H
2 0
ez 2650cos 2 ( t kz) W m 2
（2 ）均匀坡印廷矢量
Sav
ez
2
2650cos ( t kz)dt ez1325
2
W m
2
（3 ）任一时辰流入如题
4.9 图所示的平行六面体中的净功率为
P
?S 2650
Sgen dS [ Sg( ez ) z 0 Sgez
z 1
0.25[cos2 ( t ) cos2 ( t 0.42)]
270.2sin(2 t
0.42) W
4.10 已知某电磁场的复矢量为
E ( z) H ( z)
ex jE 0 sin( k0 z) V m ey
0
0
E0 cos(k0 z) A m
0
0
式中 k
2
0
， c 为真空中的光速，
c
0 是波长。求：（
1
） z
0 、 8
0 、 各点处的瞬
4
时坡印廷矢量；（ 2）以上各点处的均匀坡印廷矢量。
解 （ 1） E 和 H 的刹时矢量为
E (z,t ) H ( z, t)
Re[ex jE 0 sin(k0 z)e j t ] Re[ey
exE0 sin(k0 z)sin( t) V m
0
0
0 E0 cos(k0 z)e j t ] ey
E0 cos(k0 z)cos( t )
A m
0
则刹时坡印廷矢量为
3 / 7
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
S( z, t) E ( z, t) H ( z,t )ez
0 E02 cos( k0 z)sin( k0 z)cos( t )sin( t )
0
故
S(0, t)
0 W m 2
ez E
4
2
0
S ( S(
（2）
0 0
8, t)
sin(2 t) W m 2
0
4, t) 0
Sav ( z)
1
2
W m 2
0
Re[ E (z) H ( z)]
W m 2
4.11 在横截面为 a
b 的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为
E
ey j
a
H 0 sin( x )e j z
V m
H [ex j
a H 0 sin( )
a
xa
ezH 0 cos( x )]e j z A m
a
z
式中 H 0 、
、 和 都是实常数。求：（ 1）刹时坡印廷矢量；（ 2）均匀坡印廷矢量。
解 （ 1） E 和 H 的刹时矢量为
E ( x, z,t )
Re[ ey j
a
ey
aa H 0 sin( x)e j
a
e j t ]
H 0 sin( )sin( t a
x
z)
V m
H (x, z,t )
Re{[ ex j
ex
a
H 0 sin( x ) ezH 0 cos( )]e j ze j t }
a a
x
H 0 sin(
x
)sin(
t z) ez H 0 cos(
x )cos( t
z)
故刹时坡印廷矢量
a
S( x, z, t)
ez
( H 0 ) sin ( )sin 2 ( t
a
2a
22x
a
z)
H 0 sin( )sin(2 t ex a
4 a
2x
2 z)
W m2
（ 2）均匀坡印廷矢量
Sav (x, z)
1
2
Re[ E (x, z) H ( x, z)] ez
( H 0 )2 sin2 ( x) W m 2 2 a
a
4.14 设电场强度和磁场强度分别为
E E0 cos( t H
证明其坡印廷矢量的均匀值为
e ) m )
H 0 cos( t
Sav
1
2
E H cos(
0
0
e
e m )
解 坡印廷矢量的刹时价为
S E H
1
E0
E 0 cos t H 0[cos( t
e
)
H 0 cos( t tm )]
m
)
cos[ tetm ]
2
4 / 7
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
1 2
S
E0
H 0[cos(2 t
e
m
)
cos( e
e
m )]
故均匀坡印廷矢量为
1
av
T 0
T 1
Sdt
1 T
T 0
1
2
e
E0
H 0[cos(2 t
m
m ) cos( em )]d t
2 E 0 H 0 cos(
4.15 在半径为 、电导率为
)
a的无穷长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀散布的恒定电流
S 。
I ，且导线表面上有均匀散布的电荷面密度
S ； （ 1 ）导线表面外侧的坡印廷矢量
解： （1）当导线的电导率
（ 2 ）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热消耗功率。
为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场
Ei
J
ez
I a
2
依据界限条件，在导线表面上电场的切向重量连续，即 电场的切向重量为
Eiz
Eoz 。所以，在导线表面外侧的
a
Eoz
I a
2
又利用高斯定理，简单求得导线表面外侧的电场的法向重量为
S
E
o
a
0
故导线表面外侧的电场为
S
I
Eoe
a
0
ez a2
H o
利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为
a
e
I 2 a
故导线表面外侧的坡印廷矢量为
o
So
a
( Eo
H)a
e
I 2
2 3
ez
I
S
2 a
2
由内导体表面每单位长度进入其内部的功率
0 2
a
W m
2
P
S
S o
e dS
a
I 2 2 a
2 3
2 a
RI
式中 R
1 a
2
是内导体单位长度的电阻。
因而可知， 由导线表面进入其内部的功率等于导体
内的焦耳热消耗功率。 数为
、电导率为
4.16 由半径为 a 的两圆形导体平板组成一平行板电容器，
的媒质，如题
4.16 题所示。
u
间距为 d ，两板间充满介电常
设两板间外加缓变电压 缘效应，试求： 印廷矢量；
u U m cos t ，略去边
z
（ 1）电容器内的刹时坡印廷矢量和均匀坡
（ 2）进入电容器的均匀功率；
,
o
d
y
x
5 / 7
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
题 4.16 题
6 / 7
电磁场与电磁波(第4版)习题第4章
（ 3）电容器内消耗的刹时功率和均匀功率；解 （ 1）电容器中的电场
E ez u ez cos t
d d
位移电流密度 J d 和传导电流密度 J 分别为
J d
umE t E
ez
UmJ
ez
Umd
d
sin t
cos t
因为轴对称性，两板间的磁场只有 等。于是由
e 重量，且在以 z 轴为中心、
S
为半径的圆周 c 上到处相
?H gdl
J gdS
D
gdS
c S
可得
2 rH
2 g cos t
d
Um
2
Um
d
sin t
所以
H
e U
m
( cos t
sin t)
2d
E H
S
U m2 e 2
(
cos
2
t
S
2
2d
sin2 t ) 2
av
2
2
0
Sdt
2 0
( e )
U m2
2 ( cos t
2
sin 2 t )dt 2
e
U m2
2
（ 2）消耗功率刹时价
P 为
2d
2
4d
V
U m2 a2 d
2
P
V
E dV
222m cos
d 2 cos tdV
Ud
t
2
a2U m2 cos2 t d
均匀消耗功率 Pav 为
Pav
2
Pdt 0
2d
22aU m
（ 3）进入电容器的均匀功率为
P
av
?[
S SgdSav
S下
Sav gezdS
S上
Sav g( ez )dS a2U m2 2d
S
Sav ger dS]
柱面
U m2a g2 ad
4d 2
因而可知有 Pav Pav
7 / 7
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