考研数学一(矩阵)-试卷1

(总分：60.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：9，分数：18.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜＝a≠0，A 是A的伴随矩阵，则｜A ｜等于( ) （分数：2.00） A.a B.n-1n

*

*

C.a √ D.a

解析：解析：对AA ＝｜A｜E两边取行列式，得 ｜A｜｜A ｜＝｜｜A｜E｜＝｜A｜ ． 由｜A｜＝a≠0，可得｜A ｜＝｜A ｜＝a ． 3.设A和B都是n阶矩阵，则必有( ) （分数：2.00）

A.｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜ B.AB＝BA

C.｜AB｜＝｜BA｜ √ D.(A＋B) ＝A ＋B

解析：解析：因为｜AB｜＝｜A｜｜B｜＝｜B｜｜A｜＝｜BA｜，所以C正确． 对于选项A，取B＝－A，则｜A＋B｜＝0，而｜A｜＋｜B｜不一定必为零，故A错误． 对于选项B，由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确． 对于选项D，因(A＋B)(A ＋B )≠E，故D也不正确． 所以应选C． 4.设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，其中E是n阶单位阵，则必有( ) （分数：2.00） A.ACB＝E B.CBA＝E C.BAC＝E D.BCA＝E √

解析：解析：由题设ABC＝E，可知 A(BC)＝E或(AB)C＝E， 即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有 (BC)A＝BCA＝E或C(AB)＝CAB＝E， 比较四个选项，所以应选D．

5.设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r 1 ，则( ) （分数：2.00） A.r＞r 1 B.r＜r 1 C.r＝r 1 √

D.r与r 1 的关系依C而定

解析：解析：因为B＝AC＝EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)＝r(a)．所以应选C． 6.设三阶矩阵A＝（分数：2.00） A.a＝b或a＋2b＝0 B.a＝b或a＋26≠0 C.a≠6且a＋2b＝0 √

若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )

-1

-1

-1

-1

-1

*

n-1

n-1

*

*

n

D.a≠b或a＋2b≠0

解析：解析：根据矩阵A与其伴随矩阵A 秩的关系可知，r(a)＝2，即A为降秩矩阵，从而 ｜A｜＝ ＝(a＋2b)(a－b) ＝0 故有a＋2b＝0或a＝b． 但当a＝b时，r(a)＝1．故必有a≠b且a＋2b＝0，所以应选C．

7.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为( ) （分数：2.00） A. B. C. D. √

与矩阵A相似的矩阵个数为( )

2

*

解析：解析：由题设，有8.已知矩阵A＝（分数：2.00） A.1 B.2 C.3 √ D.4

，那么下列矩阵中解析：解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A～A＝，那么只要和矩阵A有相同的特

征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似． (1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于(3)和(4)，由（分数：2.00）

A.E－A不可逆，E＋A不可逆． B.E－A不可逆，E＋A可逆． C.E－A可逆，E＋A可逆． √ D.E－A可逆，E＋A不可逆．

解析：解析：已知(E－A)(E＋A＋A )＝E－A ＝E，(E＋A)(E－A＋A )＝E＋A ＝E． 故E－A，E＋A均可逆．故应选C．

2

3

2

3

可见(4)亦与A相似，而(3)与A不相似．所以应选C．

3

9.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A ＝O，则( )

二、 填空题(总题数：13，分数：26.00)

10.已知2CA－2AB＝C－B，其中A＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由2CA－2AB＝C－B，得2CA－C＝2AB－B，因此有 C(2A－E)＝(2A－E)B． 因为2A－E＝ 可逆， 所以，C ＝(2A－E)B (2A－E) ． 那么可得C ＝(2A－E)B (2A－E) 3

3

-1

3

3

-1

，则C ＝ 1．

3

11.设A＝ （分数：2.00）

，则其逆矩阵A 1．

-1

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即12.设A＝，且r(A)＝2，则k＝ 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－2） 解析：解析：对A作初等变换，13.设A＝因此r(A)＝2时，故k＝－2．

，B是3阶非零矩阵，且AB＝O，a＝ 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：因为AB＝O，则有r(A)＋r(B)≤3，又已知矩阵B≠0，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜＝0．而 ｜A｜14.已知n阶矩阵A＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1） 解析：解析：根据A －A＝A(A－E)，已知矩阵A＝ 而r(A－E)＝1，所以r(A －A)＝1．

15.设n阶矩阵A满足A ＝A，E为凡阶单位阵，则r(A)＋r(A－E) 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n）

解析：解析：由已知A ＝A，则有A(A－E)＝A －A＝A－A＝O，所以r(A)＋r(A－E)≤n 又r(A－E)＝r(E－A)， 则r(A)＋r(A－E)＝r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n， 因此 r(A)＋r(A－E)＝n． 16.已知A＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：左乘矩阵A，并把等式AA ＝｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X＝E＋2AX， 移项可得(｜A｜E－2A)X＝E，因此X＝(｜A｜E－2A) ． 已知｜A｜＝4，所以 X＝(4E－2A) ＝ T

T

T

-1

-1

*

2

2

22

2

＝－2(5a－4)， 所以a＝，则r(A －A)＝ 1．

2

．

，A是可逆矩阵，因此r(A －A)＝r(A－E)，

2

，矩阵X满足A X＝A ＋2X，其中A 是A的伴随矩阵，则X＝ 1．

*-1*

T

17.已知α 1 ＝(1，0，0) ，α 2 ＝(1，2，－1) ，α 3 ＝(－1，1，0) ，且Aα 1 ＝(2，1) ，Aα

2

＝(－1，1) ，Aα 3 ＝(3，－4) ，则A＝ 1．

TT

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：利用分块矩阵，得A(α 1 ，α 2 ，α 3 )＝(Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 )＝ 18.设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB＝2A＋3B，A＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

，那么 -1

，则(B－2E) ＝ 1．

解析：解析：利用已知条件AB＝2A＋3B，通过移、添加项构造出B－2E，于是有AB－2A－3B＋6E＝6E，则有(A－3E)(B－2E)＝6E．从而 (B－2E) ＝ 19.设 -1

T

T

-1

(A－3E)＝ -1

．

，且A，B，X满足(E－B A) B X＝E，则X ＝ 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由(E－B A) B X＝E，得[B(E－B A)] X＝E，即(BE－BB A) X＝E，也就是 (B－A) X＝E，因此X ＝(B－A) ＝ 20.设矩阵A与B＝（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）

解析：解析：矩阵A与B相似，则A－2E与B－2E相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有 r(A)＋r(A－2E)＝r(B)＋r(B－2E)＝2＋1＝3．

21.设A是一个n阶矩阵，且A －2A－8E＝O，则r(4E－A)＋r(2E＋A)＝ 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n）

解析：解析：根据已知A －2A－8E＝O，可得(4E－A)(2E＋A)＝O，根据矩阵秩的性质可知 r(4E－A)＋r(2E＋A)≤n， 同时r(4E－A)＋r(2E＋A)≥r[(4E－A)＋(2E＋A)]＝r(6E)＝n， 因此r(4E－A)＋r(2E＋A)＝n． 22.设3阶方阵A，B满足关系式A BA＝6A＋BA，且A＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由题设可知，A可逆，已知A BA＝6A＋BA，在该等式的两端右乘A ，则有A B＝6E＋B，在该等式两端左乘A，可得B＝6A＋AB，则有(E－A)B＝6A，即B＝6(E－A) A，且 -1

-1

-1

-1

-1

2

2

T

-1

T

-1

T

T

-1

T

-1

T

相似，则r(A)＋r(A－2E)＝ 1．

，则B＝ 1．

三、 解答题(总题数：8，分数：16.00)

23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

24.设A为n阶矩阵(n≥2)，A 为A的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)当r(A)＝n时，｜A｜≠0，则有 ｜A ｜＝｜A｜ ≠0． 从而A 可逆，即r(A )＝n． (2)当r(A)＝n－1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n－1阶子式不为零，即A 中至少有一个元素不为零，故r(A )≥1． 又因r(A)＝n－1时，有｜A｜＝0，且由AA ＝｜A｜E知， AA ＝0． 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)＋r(A )≤n， 把r(A)＝n－1代入上式，得r(A )≤1． 综上所述，有r(A )＝1． (3)当r(A)≤n－2时，A的所有n－1阶子式都为零，也就是A 的任一元素均为零，即A

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

n-1

*

*

＝0，从而r(A )＝0．)

*

解析： 25.设矩阵 （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：A与∧相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ＝5，λ＝－4，λ＝y是A的特征值． 因

相似，求χ，y；并求一个正交阵P，使P AP＝A．

-1

为λ＝－4是A的特征值，所以有 ｜A＋4E｜＝ 列式相同，于是由 无关的特征向量 征向量 解析： 26.已知A＝ （分数：2.00）

，求可逆矩阵P，使P AP＝A．

-1

＝9(χ－4)＝0， 解得χ＝4． 已知相似矩阵的行

所以有－20y＝－100，y＝5． 当λ＝5时，解方程(A－5E)χ＝0，得两个线性，将它们正交化、 单位化得： 使P AP＝∧．)

-1

当λ＝－4时，解方程(A＋4E)χ＝0，得特

，单位化得： __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由 A)χ＝0，且 ＝0，且 有 p AP＝ 解析：

27.设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 P＝ （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)由AA ＝A A＝｜A｜E及A ＝｜A｜A 有 分块矩阵行列式的运算，有 解析：

28.设α，β为3维列向量，矩阵A＝αα ＋ββ ，其中α ，β 分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2． （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：r(A)＝r(αα ＋ββ )≤r(aa )＋r(ββ )≤r(α)＋r(β)≤2．) 解析： 29.设A＝ （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：首先观察假设n＝k时成立，则n＝k＋1时，解析：

下面用数学归纳法证明此结论成立： 当n＝2时，结论显然成立；) ，求A ．

n

T

T

T

T

T

T

T

T

*

*

*

-1

-1

得矩阵A的特征值λ 1 ＝λ 2 ＝3，λ 3 ＝0． 当λ＝3时，有(3E－

T

T

得特征向量α 1 ＝(1，－2，0) ，α 2 ＝(0，0，1) ． 当λ＝0时，有(0E－Aχ)得特征向量α 3 ＝(－1，－1，1) ． 那么，令 P＝(α 1 ，α 2 ，α 3 )＝ ) T

则其中A 是A的伴随矩阵，

T

-1

*

E为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α A α≠b．

(2)由下三角形行列式及

T

-1

因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜＝｜A｜(b－α A α)． 由

T

-1

T

-1

此可知，Q可逆的充分必要条件是b－α A α≠0，即α A α≠b．)

30.已知矩阵A的伴随阵A ＝diag(1，1，1，8)，且ABA ＝BA ＋3E，求B． （分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题意可知A 存在，A ＝｜A｜A 两端取行列式可得｜A ｜＝｜A｜ ｜A ｜＝｜A｜ ， 因为A ＝diag(1，1，1，8)，所以｜A ｜＝8，即｜A｜＝2．由ABA ＝BA ＋3E移项并提取公因式得，(A－E)BA ＝3E，右乘A得(A－E)B＝3A，左乘A 得(E－A )B＝3E． 由已求结果｜A｜＝2，知 － 解析：

得(E－A )＝diag(2，2，2，－ -1-1

-1

-1

3

*

*

-1

-1

-1

*

-1

*

4

-1

*-1-1

)， 因此B＝3(E－A ) ＝3diag(2，2，2，

-1-1

)＝diag(6，6，6，－1)．)