平移、旋转与轴对称综合测试题
李阳佳
(时间:_______ 满分:120分)
(班级:_______ 姓名:_______ 得分:_______)
一、选择题 (每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( )
A. 平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小 B. 平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C. 图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离 D. 由平移得到的图形也一定可由旋转得到
2.如果同一平面的两个图形通过平移,不论其起始位置如何,总能完全重合,则这两个图形是( ) A.两个点
B.两个半径相等的圆 D.两个全等的多边形
C.两个点或两个半径相等的圆
3.下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是( )
A B C D
4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
吉 祥 如 意
A B C D
5.在平面直角坐标系中,点A(−1,2)关于x轴对称的点B的坐标为( )
A.(−1,2) B.(1,2) C.(1,−2) D.(−1,−2)
6.如图,正三角形ODE可以看做由正三角形OAB绕点O逆时针依次旋转60°得到的,则旋转的次数是( ) A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
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1 第图6题图
7.如图,△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°而得到, 则下列结论不成立的是( ) A.点A与点A′是对应点 C.∠ACB=∠C′A′B′
B.BO=B′O D.AB∥A′B′
图3 第7题图
8.如图,已知△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB 绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是( ) A.150°
B.120°
4 第8图题图
9.如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点,在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长的最小值为( ) A.25
B.23 C. 25+2
D.23+2
C.90°
D.60°
第9题图
10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°, AC=1,且AC在直线l上,将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点P1,此时AP1=2;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+3;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,
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可得到点P3,此时AP3=3+3;…按此规律继续旋转,直到点P2015为止,则AP2015等于( ) A.2014+6723 B.2015+6723 C.2016+6723 D.2017+6723
第 10题图 二、填空题(每小4分,共32分)
11.平面直角坐标系中,点A(2,0)关于y轴对称的点A′的坐标为 .
12.如果甲图向上平移2个单位得到乙图,乙图向左平移2个单位得到丙图,丙图向下平移2个单位得到丁图,那么丁图 向 平移 个单位可以得到甲图. 13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于 .
第13题图 7 第14图题图图8 第15题图
14.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP′绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合.如果AP=3,则PP′的长为 .
15.如图, Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=_________.
16.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,点D落在D′处,C′D′交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为 .
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CA1EADFC1 B第16题图 第17题图
17.如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于点D、F,下列结论:①∠CDF=,②A1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A1F=CE.其中正确的是___________________(写出正确结论的序号). 18.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是_________.
第18题图 三、解答题(共58分)
19.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(0°<<180°),得到△A′B′C.如图11,当AB∥CB′时,设A′B′与CB相交于点D.证明:△A′CD是等边三角形.
第19题图
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点是A(﹣5,1),B(﹣2,3),线段CD的两个端点是C(﹣5,﹣1),D(﹣2,﹣3).
(1)线段AB与线段CD关于直线对称,则对称轴是 ;
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(2)平移线段AB得到线段A1B1,若点A的对应点A1的坐标为(1,2),画出平移后的线段A1B1,并写出点B1的坐标.
第20题图
21.(12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(3,5),C(1,2).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度,得图中的△AB2C2,点C2在AB上. ①旋转角为多少度? ②写出点B2的坐标.
第 21题图
22.(12分)如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的
三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN. (1)求证:AM=BN;
(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值.
第22题图
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23.(14分)如图1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上.
(1)请直接写出线段BE与线段CD的关系: ;
(2)如图2,将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC=
1ED时,探究在△ABC旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A、B、C、2D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由.
第23题图
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平移、旋转与轴对称综合测试题参考答案
一、1. B 2.C 3.C 4. A 5.D 6.A 7. C 8.A 9. C 10. B
提示:因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,所以AB=2,BC=3, 所以将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点P1,此时AP1=2;
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+3;
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+3+1=3+3;又因为2015÷3=671…2,所以AP2015=671(3+3)+2+3=2015+6723.故选B. 二、11.(−2,0) 12.右 2 13. 8 14.32 15. 80°或120° 16.
9 17. ①②⑤ 18.(4n+1,3). 4三、19. 因为AB∥CB′,所以∠B=∠BC B′=30°,所以∠A′CD=60°,
又因为∠A′=60°,所以∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°,所以△A′CD是等边三角形; 20.(1)x轴(2)图略,B1的坐标为(4,4).21.(1)略.
(2)①旋转角为90°;②B2的坐标为(6,2).
22. (1)因为CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点, 所以CE=CF.
根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,所以△AMC≌△BNC,所以AM=BN.
(2)因为MA∥CN,所以∠ACN=∠CAM.
因为∠ACN+∠ACM=90°,所以∠CAM+∠ACM=90°,所以∠AMC=90°,所以
cosα===.
23.解:(1)因为△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,
所以AB=AC,AE=AD,所以AE-AB=AD-AC,所以BE=CD.
(2)①因为△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°, 所以AB=AC,AE=AD,
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD, 在△BAE与△CAD中,AB=AC,∠BAE=∠CAD,E=AD,所以△BAE≌△CAD(SAS),所以BE=CD.
②因为以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,所以∠ABC=∠ADC=45°. 因为AC=
1ED,所以AC=CD,所以∠CAD=45°或360°-90°-45°=225°,或360°27 / 8
-45°=315°.
所以角α的度数是45°或225°或315°.
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