函数的基础知识

一、变量与常量

1、变量：变量就是因变量和自变量 2、常量：常量就是不变的量

例如：小明在南充某地坐出租车出发，的士师傅告诉小明出租车起步价5元，后面每公里1.5元，到目的地后的价格与行车的距离关系。 其中常量为：起步价5元，每公里单价1.5元； 变量为：行车的距离，到目的地的价格。

根据题意写出适当的关系式，并指出其中的变量和常量： 1、多边形的内角和W与边数的关系；

2、甲乙两地相距y千米，一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t（时）表示自行车离乙地的距离S（千米）；

3、用20cm的铁丝所围成的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）

4、一盛满30吨水的水箱，每时流出0.5吨水，试用流水时间t（时）表示水箱中的剩水量y（吨）。

二、函数的概念：

函数的概念：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

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给出下列关于变量x与y的关系，其中表示y与x的函数关系的是哪些？

（1）3x2y5（;2）yx（2xy210. ;3） “y都有唯一确定的值与其对应”指的是“有且只有一个”，不能是两个或更多个

三、函数的解析式与自变量的取值范围及函数值

1、方程与解析式的区别

方程：x-3y0 解析式：y2x1 表示的是y与x的函数关系

例如：李狗蛋有100元钱，羊肉串5元一串，串数x，剩下零花钱y。写出y与x函数关系的解析式？

分析：剩下的钱=总钱数-单价串数

y1005x（0x20,x是整数）

写出下列各题的函数解析式:

（1）田豆包练长跑，已知他每小时匀速跑8km，他跑出的距离y和跑步时间x的函数解析式是多少？

（2）甲在乙的正东方,且甲乙两人相距为500米,此时甲向东以每分钟60米的速度向东行走x分钟后,甲乙两个人的距离为y. 则y与x之间的函数关系为：

2、函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型： （1）函数关系式中自变量的取值范围

在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：

①函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； ②函数关系式为分式形式：分母≠0；

③函数关系式含算术平方根：被开方数≥0； ④函数关系式含0指数：底数≠0．

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例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？ ⑴y=2x-5； ⑵y=

； ⑶y=

； ⑷y=

0（x-3）； ⑸y=

解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；

⑵为分式形式：分母2x+1≠0

⑶含算术平方根（二次根式的成立条件）：

⑷既含分母、又含算术平方根（二次根式的成立条件）：

⑸含0指数，底数x-3≠0 ：

（2）实际问题中自变量的取值范围．

在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：

①自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数． ②问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：

甲种车辆 乙种车辆 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元） 400 280 设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x

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的取值范围．

解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．

y=400x+280（6-x）=120x+1680 ∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680 ⑵自变量x需满足以下两个条件： 240名师生有车坐：

45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4 费用不超过2300元： 120x+1680≤2300 ∴x≤5

∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5

（3）几何图形中函数自变量的取值范围

几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．

例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x ①x表示等腰三角形腰长：x≥0

②三角形中“两边之和大于第三边”： 2x＞y

即2x＞20-2x ∴x＞5

③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10 ∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10

3、函数值

12,那么f（-1）。 例：已知函数f（x）x1

当堂检测： （1）已知函数y

2x1中，当xa时的函数值为1，则a的值是。 x2

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（2）x为何值时，函数 y3x-2与函数y5x1有相同的函数值？

四、函数的表示方法

1、列表法:用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系； 每个自变量对应的因变量一目了然，一看就知道结果，但变化规律不是很明显，不能或不太好推出任意一个自变量值时的因变量的值。

例：一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表，请从表中找出t与Q的函数关系式。

t/分钟 2 4 6 8 …

Q/立方米 4

8 12 16 …

2、图象法：用图像表示两个变量之间的函数关系；

能够很直观地感受到整个函数的变化情况，但具体数值却不能一下看出来。

例：画出函数yx1的函数图像

3、解析式法：用数学式子表示两个变量之间的关系。

自变量与因变量的关系一看就知道，但涉及具体的数量还需要进行计算。

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