鬼谷考徒的数学内涵

孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼谷子出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙膑，把和告诉庞涓。 庞涓说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙膑说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞涓说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。 问这两个数字是什么？为什么？

解：首先看庞涓说的，他肯定孙膑不知道这两个数。那在什么情况下庞涓可以那么肯定孙膑不知道这两个数呢？孙膑知道这两个数积的。根据数学知识我们可以知道，一个积是可以分解为多个质数相乘的。如果，这个积能分解为两个质数时，那么是能知道这两个数是什么的。例如：积35可以是为5*7，那么，我们是可以知道这两个数就是5与7。而庞涓他只知道数的和，能肯定孙膑不知道这两个数，那就说明，这个和是不可能分解为两个质数相加的。

在100以内的质数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97；可以得到这两个数字的和只可能是：11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、65、67、71、77、79、83、87、89、93、95、97，些数的得到，有点困难，要划不少时间。注意和是一个奇数。 再来看孙膑说的，这时从庞涓得到的信息就是和为奇数。关于这

个积的质数因子，孙膑知道积他本来就知道的。我们从上面可以看出，这些因子的个数至少是3个。因除2外的质因子都是奇数。奇数的积为奇数，而奇数的和为偶数。因而可知，这些因子中至少有一个是2。我们将所有2的因子放在一起就是2𝑛，剩下的就都是奇数因子，如果奇数因子的个数多于两个，我们可以将其分为两个组。这两组奇数因子的积M、N（M不等于N）为奇数，这时，可以得到两个可能的数，2*M与N，或者2*N与M。孙膑就不可能知道这两个数是什么。所以，除2𝑛因子外，只能有一个其他的奇数质因子。因为积的总因子数至少3个，因而2的因子至少有2个。而且数的组合，一个是奇数质因子，而另一个为2𝑛，n大于等于2。根据这个特点，和的分解式是：2𝑛+质因子=奇数和

我们再来看庞涓的第三句，他这句语就意味着，上面和的组合形式只有一种，不可能有两种。我们可以根据上面的规则再来看上面的那些可能和： 11=7+22 17=13+22

23=19+22=7+24 （不是） 27=23+22=19+23（不是） 29=13+24

35=31+22=3+25（不是） 37=29+8=5+32（不是） 41=37+4

47=43+4=31+16（不是） 51=47+4=43+8（不是） 53=37+16

57=53+4=41+16（不是） 59=43+16 65=61+4

67=59+8=3+64（不是） 71=67+4=7+64（不是） 77=73+4=61+16（不是） 79=71+8=47+32（不是） 83=79+4=19+64（不是） 87=83+4=79+8（不是） 89=73+16

93=89+4=61+32（不是） 95=79+16=31+64（不是） 97=89+8

从上可以看到所有的可能和为：11、17、29、41、53、59、65、89、97这9个数。可能的数组合为（4，7）（4，13）（4、37）（4、61）（8、89）（16、13）（16、37）（16、43）（16、73）共9种组合。

这个题在这里有多个解。而在实际，因为有具体的和与积，所以庞涓与孙膑可以得到所具体的两个数。