南召县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，△ABC所在平面上的点Pn（n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3；1，（2xn+1）（ ）
（其中，{xn}是首项为1的正项数列），则x5等于
=
﹣
A．65
B．63 C．33 D．31
2． 已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（ ）
A．1 B． C．3 D．2
3． 集合S0,1,2,3,4,5,A是S的一个子集,当xA时,若有x1A且x1A,则称x为A的一个“孤立元素”.集合B是S的一个子集, B中含4个元素且B中无“孤立元素”,这样的集合B共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 4． 函数f（x）=tan（2x+
），则（ ）
，，，，
）是增函数 ）是减函数 ）是减函数 ）是增函数
C．②③
A．函数最小正周期为π，且在（﹣B．函数最小正周期为
，且在（﹣
C．函数最小正周期为π，且在（D．函数最小正周期为5． 有下列四个命题：
，且在（
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ） A．①②
B．①③
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
D．③④
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精选高中模拟试卷
6． 实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）
A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）
7． 已知双曲线（ ）
﹣
=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．5
A． B． C．3
8． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=x﹣1
B．y=（）x C．y=x+
D．y=ln（x+1）
9． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）
B．（﹣，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，﹣）
10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A． B． C．4 D．
11．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（ ） A．0
B．1
C．﹣1
D．2
二、填空题
13．给出下列命题： ①存在实数α，使②函数
是偶函数
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③是函数的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是 ．
14．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．
15．已知f（x）=
，则f[f（0）]= ．
16．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ． 17．在（2x+
6
）的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
18．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是 ．
三、解答题
19．已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．
20．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，函数．
（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
]上是减函数，在[
，+∞）上是增
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（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，
使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．
21．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；
x2
（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe+m[f′（x）﹣a]≥mx恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}． （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
23．（本小题满分12分）如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边
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三角形,ADDE2AB，F为CD的中点. （1）求证：AF//平面BCE； （2）平面BCE平面CDE.
24．设
，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）；（Ⅱ）当1＜x＜3时，．
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南召县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：由得设
+（2xn+1）
==，
﹣（2xn+1），
，
以线段PnA、PnD作出图形如图，
则∴
，∴
，
，
∵，∴，
则，
即xn+1=2xn+1，∴xn+1+1=2（xn+1），
则{xn+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
4
∴x5+1=2•2=32，
则x5=31． 故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
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2． 【答案】D
2
【解析】解：由已知，|+2|=12，即
2
，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B的可能情况为：0,1,3,4，0,1,3,5，0,1,4,5，0,2,3,5，0,2,4,5，1,2,4,5共6个。故选C。
考点：1.集合间关系；2.新定义问题。
4． 【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+在（
，
）上，2x+
∈（
），它的最小正周期为，
，
）单调递增，
），函数f（x）=tan（2x+
故选：D．
5． 【答案】B
22
【解析】解：①由于“若a+b=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确； 题；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． 综上可得：真命题为：①③． 故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
6． 【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，
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使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．
，2）成立，
，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．
7． 【答案】A
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2
【解析】解：抛物线y=12x的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线
2
∴4+b=9 2∴b=5
2
的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合
，即
∴双曲线的一条渐近线方程为
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
8． 【答案】 D
1
【解析】解：①y=x﹣在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（
x
）是减函数，
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③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
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④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确， 故选：D
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【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
9． 【答案】D
2
【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
22
∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数 大于0条件．
10．【答案】B
2
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y=2px（p＞0） ∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3， ∴2+=3 ∴p=2
2
∴抛物线方程为y=4x
∵M（2，y0） ∴∴|OM|=故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
11．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C 12．【答案】A
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【解析】解：由题意=故选A
，∴1+x=
，解得x=0
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
二、填空题
13．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[错误， ②函数③当
时，
，]，∵
=cosx是偶函数，故②正确，
=cos（2×
+
错误，故①
＞，∴存在实数α，使
）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
14．【答案】 D ．
【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为： A→B→C→A→D→B→A→C→D→A
接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为9．
∵质点经过2015次运动， 2015=223×9+8， ∴质点到达点D． 故答案为：D．
【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．
15．【答案】 1 ．
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【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1， f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1， 故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
16．【答案】 [﹣1，3] ．
22
【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，
22
∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2
∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
17．【答案】 240
【解析】解：由（2x+
6
），得
=
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于
故答案为：240．
18．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：由约束条件
．
．
，得可行域如图，
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使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4）， ∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由复数相等的条件，得解得
或
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增， f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5 所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]． （2）y=g（x）=
=2x+1+
﹣8 ﹣8，
；
设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]； 由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣
，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．
因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．
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根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集， 从而有
21．【答案】
2
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x+a，
，所以a=．
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1）， 令x=0，得y=为定值；
x2
（Ⅱ）解：由xe+m[f′（x）﹣a]≥mx对x≥0时恒成立， x22
得xe+mx﹣mx≥0对x≥0时恒成立， x2
即e+mx﹣m≥0对x≥0时恒成立， x2
则（e+mx﹣m）min≥0， x2
记g（x）=e+mx﹣m，
g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数， ∴
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1）， φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意． 综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
22．【答案】
，
，
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【解析】解：（1）由A⊆B知：，
得m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （2）由A∩B=∅，得： ①若2m≥1﹣m即m≥②若2m＜1﹣m即m＜得0≤m＜
时，B=∅，符合题意； 时，需
，
或
，
或∅，即0≤m＜
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）推导出ACBC,ACCC1，从而AC平面BCC1B1，连接CA1,NA1，则B,A1,N三点共线，推导出CNBA1,CNMN，由线面垂直的判定定理得CN平面BNM；（2）连接AC1交CA1于点H，推导出AHBA1，HQBA1，则AQH是二面角ABA1C的平面角．由此能求出二面角
CBNB1的余弦值．
试题解析：（1）如图，取CE的中点G，连接FG,BG. ∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF∵AB平面ACD，DE平面ACD， ∴AB//DE， ∴GF//AB.
1DE. 21DE，∴GFAB. ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG. （4分） 2∵AF平面BCE，BG平面BCE， ∴AF//平面BCE （6分）
又AB第 17 页，共 19 页
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考点：直线与平面平行和垂直的判定． 24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）： 记g（x）=lnx+
﹣1﹣（x﹣1），则当x＞1时，g′（x）=+
﹣＜0，
又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜（ x﹣1）；…4′ （证法二）由均值不等式，当x＞1时，2
＜x+1，故
＜+．①
令k（x）=lnx﹣x+1，则k（1）=0，k′（x）=﹣1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x﹣1② 由①②得当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）； （Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣h′（x）=+=＜=
﹣﹣
，
3
2
，由（Ⅰ）得，
﹣
令g（x）=（x+5）﹣216x，则当1＜x＜3时，g′（x）=3（x+5）﹣216＜0， ∴g（x）在（1，3）内是递减函数，又由g（1）=0，得g（x）＜0，
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∴h′（x）＜0，…10′
因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0， 于是，当1＜x＜3时，f（x）＜
…12′
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