数学抽象方法

第6章 数学抽象方法 一、数学抽象方法

数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。

二、数学抽象的特点

抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。 1． 数学抽象的特殊内容。

数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他一些具体内容。

2． 数学抽象的特殊高度。

和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。

首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。 其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。 3．数学抽象的特殊方法。

数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。

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三、数学抽象的作用

1．有利于使认识深入到事物的本质 什么是椭圆?

——椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状； ——椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者椭圆是当b24ac0时，满足方程ax2bxycy2dxeyf0的点(x，y)的集合。

2． 有利于认识一般 下面是两类不同的方程：

2x23x50,x21x70 4ax2bxc0

3．有利于认识无限 什么是自然数?

1，2，3， 4，5，6，等等。

意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集： 自然数是指满足以下性质的集合N中的元素：

(1)1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a的后继者用a+表示，则对于N中任何a，a+≠1；

(2)对于N中任意元a，存在而且仅存在一个后继者a+；

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(3)对于N中任何a，b，若a+=b+，则a=b；

(4)(归纳公理)N的一个子集合M，若具有以下性质：1∈M；当a∈M时，有a+∈M，则M∈N。 4．有利于应用的广泛性

四、数学抽象的基本形式 1．理想化抽象

在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。

理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。

数字化或图形化是理想抽象的主要方法：

2．等价抽象

等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化”而得到一个新集合的一种方法。其具体含义是，如果集合 S中的一个二元关系 R满足下述三条：

（1）自反性 对任意的a∈S， a和 a有关系 R，即 aRa； （2）对称性 若 aRb，则 bRa，其中b∈S；

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（3）传递性 若 aRb， bRc，则 aRc，其中c∈S，

则称 R为 S上的一个等价关系。由此可以看出得到 S的一个划

分，使得 S被表成若干个“等价类” Ai的并。等价的元素位于同一等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西，这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素就构成了一个新集合。

实数的相等关系；三角形的全等；三角形的相似；直线的平行（垂直不是，不满足（3））；整数的同余关系（以m为模，就将整数集分成m类）。

等价抽象方法是建立新的数学系统的常用手段之一，在数学研究

中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的，这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。

 由14个相同的方格组成的图形，你能使之剪成7个由相邻两

个方格组成的长方形吗？

类似问题：中国象棋棋盘上的马从棋盘上任一点出发，经若干次跳跃，再回到原处，证明：中间一定跳了偶数步。

 从任意选定的n个自然数中，总可以找到k个数（1kn），且每个数最多取一次，使其和可被n整除。

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3．强抽象和弱抽象

弱抽象也可以叫做“概念扩张性抽象”,这是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论,并使前者成为后者的特例.这种抽象过程仅仅是把与所研究问题有关的本质属性保留下来,而原来的结构被削弱或不复存在,故称之为弱抽象.例如从各种不同的物件的计数中抽象出自然数的概念后,原物件的性质与结构都不复存在,只剩下数的概念.

弱抽象的结果，对于概念型抽象，外延扩大，内涵缩小；对于命题型抽象，则命题更普遍，范围更广。

如函数概念的发展：早期函数概念（代数函数）——18世纪函数概念（解析函数）——19世纪函数（变量函数——近代函数概念（映射函数）

(ab)(ab)a2b2，开始是具体的数，单个的字母或单项式，

进一步任何形式的数或式

一般地，最先被人们认识的一些较具体、较直观的事物对象，如果其内容结构非常丰富，这时就可以采用弱抽象方法，引入新概念。

一般地说，如果人们认识的事物对象其内容结构形式非常贫乏，

或不够丰富，这时可采用强抽象方法引入新概念。当然，还可以根据与弱抽象思维方式完全相反的特点，用来分析数学概念的层次结构，理解数学知识间的相互关系。例如，在四边形中，增加“两组对边分别平行”这个条件，通过强抽象可得平行四边形的概念；从平行四边形的概念去掉“两组对边分别平行”的，有弱抽象便可得到四边

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形的概念。可见，初等几何中平行四边形的概念在各种四边形的概念中占有中特别重要的地位：它既是对任意四边形、梯形等强抽象的结果，又是另外一些概念如矩形，菱形、正方形等强抽象的出发点。同时，它还是梯形、四边形等弱抽象的出发点。

辩证地运用弱抽象与强抽象的交互作用。

4．存在性抽象

先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的合理性。

四、抽象方法在解题中的应用 1．将问题图形化

 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识. 我们不直接证明这个命题，看与之等价的下述命题

 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）。求证：无论怎样染,总存在同色三角形。

2． 将问题数字化

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 7只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，现要求每次同时翻转其中四只使杯口朝向相反，问能否经过有限次翻转后，使所有杯子杯口均朝下？

 任意拿出黑白两种颜色的棋子共四颗，排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程。问这样重复下去各棋子的颜色会发生怎样的变化呢？

五、数学模型方法 1.数学模型的意义

所谓数学模型，就是根据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。

广义的理解——凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的概念、理论、公式等等

狭义的理解——反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构（应用数学）

2.数学模型的类别 1． 2．

确定性数学模型 七桥问题 随机性数学模型

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蒲丰投针实验：

取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线， 取一根长度为l(ld)的针，随机地向画有平行直线的纸上抛掷。计算针与直线相交的概率。

3．

模糊性数学模型

模糊是相对于精确而言的。现实事物的物质和状态实际上并非绝对的“非此即彼”,往往是相互联系和渗透的,没有绝对分明和固定不变的界限。例如“年轻”与“年老”、“健康”与“不健康”之间的界限都是模糊的。事物的模糊性是由多种因素决定的,从而构成一个模糊集合,可以用数学语言把这种模糊集合表达为数学模型。即模糊模型,然后进行推导、演算和分析,得出结论。

考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，美国控制论专家查德给出了“年老”集函数刻画：

00u50u5021A(u)(1())50u1005 8

1

0

U 50 100

再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：

 1u2521B(u)(1())25u1005

0u25 1 B（u） 0

25

50 U

把55岁，60岁，65岁代入 A ( u ) 分别得：0.5，0.8，0.9，这说明55岁，60岁，65岁的人属于“年老”范畴的程度分别为：0.5，0.8，0.9，而70岁则达0.97了。

3.建立数学模型的步骤与途径

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步骤： 1．观察 2．分析与处理 3．进行数学抽象 4．检验与修改 要求：

1．具有进行逻辑推导的可行性 2．具有回到原型的真实性 3．具有数学抽象的纯粹性 4．具有一定的简洁性

途径： 1．直接建立 2．对象模拟 3．数据处理 4．程序设计

4.数学模型方法应用 （1）竞赛

 椅子平稳问题：4条腿长度相同的椅子放在不平的地面上一定可以4条腿同时着地。

 洗衣服问题——设衣服经洗涤充分拧干后，残存水量w千克，

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其中含污物m0千克，漂洗用的清水A千克，把A千克水分成n次使用，每次用量依次为a1,a2,„„,an（千克），经过n次漂洗，衣服上还有多少污物？怎样合理使用A千克水，才能把衣服洗得最干净（残留污物最少）？

 减肥问题——假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，每1千克体重每天因活动所消耗的能量记为B， 1千克体重每天消耗的能量记为C，脂肪的能量转换系数记D=4.2×107焦耳/千克，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w（t）。 （2）中学数学教学

实际问题——数学模型 双向的过程 1．交纳个人所得税的数学模型：

工资、薪金所得个人所得税应纳税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数 注：①表中所列含税级距、

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不含税级距，均为按照税法规定减除有关费用后的所得额。②含税级距适用于由纳税人负担税款的工资、薪金所得；不含税级距适用于由他人（单位）代付税款的工资、薪金所得。

1求和的数学模型 n2n1abam，其中m＞0，m为实数。 bm2．几何级数3．如果b＞a＞0,那么4．在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动，假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁在一次运动过程中互不相撞的概率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。 5．求关于x1，x2，„„，xn的方程x1+x2+„„+xn=100的非负整数解的个数。 求方程x1+x2+„„+xn=100的正整数解的个数。

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