八年级数学寒假班讲义常见辅助线

1对3辅导教讲义（3)

学员姓名： 学科教师： 年 级： 八年级 辅导科目： 授课日期 主 题 时 间 常见辅助线的作法 教学内容 1．了解添置辅助线的基本方法，会添置几类常见的辅助线； 2．逐步培养数学语言运用能力和逻辑表达能力。 （此环节设计时间在10-15分钟） 说明：结合上次课的预习思考部分内容，让学生总结“倍长中线”法作辅助线的基本特征并对以下两题进行分析总结。 1．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 2．如图，点E是BC的中点，∠BAE＝∠CDE，延长DE到点F使得EF＝DE，联结BF，则下列说法正确的是（ ） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB＝BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A DABECF

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（此环节设计时间在50-60分钟） 案例一：构造全等三角形 例1、已知∆ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，是AE=BD，联结CE、DE，求证：CE=DE 解析：延长CD到F，是CF=AE，联结EF 试一试：如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC，求证：∠ADC+∠B=180 EDFA 解析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 案例二：“倍长中线”法作辅助线 BC图2-1例2：已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F， 求证：AF＝EF AAEBFBEDFCDC G 解析：延长中线AD到点G，使得DG＝AD，联结BG，可证∆DBG≌∆DCA（SAS）， 得到BG＝AC，∠G＝∠CAD，因为BE＝AC，所以BE＝BG，从而得等腰三角形BEG，利用角的等量代换，得到∠FAE＝∠AEF从而得证。 试一试：已知，如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF＝AC． 求证：AE平分BAC A 2 / 13 哈佛北大精英创立 F

AFBDEC 解析：延长中线AE到点G，使得GE＝AE，联结DG，可证∆DEG≌∆CEA（SAS）， 得到DG＝AC，∠G＝∠CAE，因为DF＝AC，所以DF＝DG，从而得等腰三角形DGF，利用角的等量代换，得到∠CAE＝∠BAE从而得证。 案例三：“截长补短”法作辅助线 例3：已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD. ABDC 方法一：补短法 解：延长AC到E，使CE＝CD，联结DE， ∵DC＝CE∴∠CDE＝∠E，∴∠ACB＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠E， 在△ABD与△AED中， AB ∴△ABD≌△AED（AAS） ∴AB＝AE 又∵AE＝AC+CE＝AC+DC， ∴AB＝AC+DC． 方法二：截长法 解：在AB上截取AF＝AC，联结DF， 在△AFD与△ACD中， 12BEADADDCEAFAFAC12ADAD BDC 3 / 13 哈佛北大精英创立

∴△AFD≌△ACD（SAS）， ∴DF＝DC，∠AFD＝∠ACB 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B， ∴FD＝FB ∵AB＝AF+FB＝AC+FD， ∴AB＝AC+CD． 试一试：如图，已知BC > AB，∠A+∠C＝180º，BD平分∠ABC。 求证：AD＝CD ADADBCB EC 教法指导：本题中的条件BC > AB，就意味着可以用“截长补短”法来作辅助线。 要求学生用“截长”和“补短”两种方法来证明 方法一：截长法 在BC上截取BE＝BA，连结DE， ∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD， ∴△BAD≌△BED． ∴∠A＝∠DEB，AD＝DE． ∵∠A+∠C＝180º，∠BED+∠DEC＝180º， ∴∠C＝∠DEC． ∴DE＝DC． ∴AD＝CD． 方法二：补短法 略 思考：讲本题中的条件∠A+∠C＝180º和结论AD＝CD对调，能否证明？ 案例四：其它构造X型全等 例4：如图，AB∥CD，M是BC的中点，DM平分∠ADC，DM⊥AM。 求证：AM平分∠DAB。

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DCDCMMABA BN 证明：延长DM和AB交于点N，证明△DCM≌△BNM（ASA或AAS）， 得到DM＝MN再证明△ADM≌△ANM（SAS） 试一试：如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E， 若DB＝CF，求证：DE＝EF． AADBDCEFHBEC 方法一： 证明：作FH∥AB交BC延长线于H， ∵FH∥AB，∴∠FHC＝∠B． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． 又∠ACB＝∠FCH， ∴∠FHE＝∠FCH． ∴CF＝HF． 又∵BD＝CF， ∴HF＝BD． 又∵FH∥AB， ∴∠BDE＝∠HFE，∠DBE＝∠FHE． ∴△DBE≌△FHE（ASA）． ∴DE＝EF． 方法二：作DG∥AC交BC于G，其它略 FADBGECF此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+10分钟互动讲解）。 1．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE

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ABED C 证明：延长AE到F，使EF＝AE，联结DF， ∵AE是△ABD的中线 ∴BE＝ED， 在△ABE与△FDE中，BE＝DE，∠AEB＝∠DEF ，AE＝EF ∴△ABE≌△FDE（SAS）， ∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD， ∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD， B ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD， ∴∠ADF＝∠ADC， 在△ADF与△ADC中，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC， FD＝DC ∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴∠C＝∠AFD＝∠BAE 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD，求证：∠B＝2∠C。 AEDCFAACDB CEDB 解析：在CD上取一点E，使得ED＝BD，联结AE，可证明△ABD≌△AED，∠B＝∠AED，AB＝AE，在根据外角定理可得∠AED ＝∠C+∠CAE＝2∠C 3．如图，已知AD∥BC，AE平分∠DAB，EB平分∠ABC，点E在CD上，求证：AB=AD＋BC

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解析：截长法：在AB上截取AF=AD，联结EF 补短法：延长AD到点M，使AM=AB 4．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC 解析：倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG 5．已知:如图,点D在边BC上,BD=CD, ∠1=∠2.求证: AB=AC. 解析：延长AD到点E,使DE=AD,联结CE. 补充类拓展试题： 1．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF＝45°，求证：BE+DF＝EF。

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ADFADFBEC GBEC 解析：延长CB至G，使得BG＝DF，证明△ADF≌△ABG，△AEF≌△AEG即可 2．已知，如图，ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BE， BD平分∠ABC。 求证：AE1BD 2AAEDEDCB FCB 解析：延长AE和 BC交于点F，证明△ACF≌△BCD（ASA或AAS），得到AF＝BD， 在证明△ABE≌△FBE（ASA），得到AE＝FE，即AE11AF，所以AEBD 22 3．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45°，CD交AB于E， （1）求证：AD=CD； （2）求AE的长． 解析：（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N， ∴∠AMD=∠CND=90° ∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点， ∴DM=DN． ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠CBA=45°．

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∵∠ADC=45°， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠AED=∠CEB， ∴∠1=∠2． 12在△AMD和△CND中，AMDCND， DMDN∴△ADM≌△CDN（AAS）， ∴AD=CD； （2）解：∵AD=CD，且∠ADC=45°， ∴∠ACD=∠DAC=67.5°， ∴∠1=22.5°． ∵∠AEC=∠1+∠ADC， ∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°， ∴∠ACE=∠AEC， ∴AC=AE． ∵AC=4， ∴AE=4． ．答：AE=4． （此环节设计时间在5-10分钟内） 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 倍长中线法作辅助线的基本方法： 截长补短法作辅助线的基本方法： 构造X型全等： 1．如图，在四边形ABDC中，点E是线段CD上的一点，∠CAE＝∠EAB， （1）若∠DBE＝∠EBA，AD//BC，求证：AB＝AC+BD；

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（2）若点E为CD中点，AB＝AC+BD，求证：∠DBE＝∠EBA。 证明：（1）在AB上截取AC＝AF，联结EF， ∵在△CAE和△FAE中, AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE ∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C＝∠AFE， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠EFB+∠AFE＝180°，∴∠D＝∠EFB， ∵在△BEF和△BED中，∠D＝∠EFB，∠FBE＝∠DBE，BE＝BE ∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF＝BD， ∴AB＝AC+BD． （2）在AB上截取AC＝AF，联结EF， ∵在△CAE和△FAE中, AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE ∴△CAE≌△FAE（SAS），∴CE＝EF， ∵CE＝ED， ∴ED＝EF， ∵AB＝AC+BD，AC＝AF ∴BD＝BF， ∵在△BEF和△BED中，BD＝BF，DE＝EF，BE＝BE ∴△BEF≌△BED（SSS） ∴∠DBE＝∠EBA 2．如图1，△ABC ≌△DBE,且∠ACB＝∠DEB＝90°, ∠A＝∠D，直线DE与直线AC交于点F. （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将△DBE绕点B旋转到如图2所示的位置，请写出此时AF、EF、DE的数量关系，并证明．

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D B E C F A E F B C D （图2） A （图1） 答案：（1）证明：联结BF ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE,DE＝AC ∵∠ACB＝∠DEB＝900, BF＝BF, ∴△FBC≌△FBE， ∴CF＝EF ∴AF+EF＝AF+CF＝AC, ∴AF+EF＝DE （2）AF-EF＝ED 证明：联结BF ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE,DE＝AC ∵∠ACB＝∠DEB＝900, BF＝BF,∴△FBC≌△FBE ，∴CF＝EF ∵AC＝AF-CF, ∴AC＝AF-EF， ∴DE＝ AF-EF 3．如图，已知AD∥BC，CD⊥AD于D点，交BC于C，点E是CD上一点． （1）若AE=BE，∠AEB=90°，求证：AD+BC=CD； （2）若AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，求证：AD+BC=AB． 答案： （1）证明：∵AD∥BC，CD⊥AD于D点， ∴∠D=∠C=90°． ∵∠EAD+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°， ∴∠EAD=∠BEC． EADBEC在△AED和△EBC中，DC，∴△AED≌△EBC（AAS）， AEBE∴AD=EC，DE=BC．

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∵DE+EC=CD，∴AD+BC=CD； （2）证明：如图：作EF⊥AB于F，， ∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，∴∠EAD=∠EAF，∠EBF=∠EBC． 又∵EF⊥AB于F，∴DE=EF=EC． 在Rt△ADE和Rt△AFE中，AEAE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴AD=AF． EDEF在Rt△EBF和Rt△EBC中，∵AF+FB=AB， ∴AD+BC=AB． BEBE，∴Rt△EBF≌Rt△EBC（HL），∴BF=BC． EFEC 一线三直角模型： 在下图中有，AB＝BC， 垂直关系已在图中标出； ACE BD 全等的三角形有： ； 其中DE、AE、CD之间的数量关系是： 。 答案：△ABE≌△BCD；DE＝AE+CD。 二、手拉手模型： 如下图，△ABE和△ACF均为等边三角形， 其中全等的三角形有： ；观察图形，∠BOE＝ ；

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答案：△ABF≌△AEC；∠BOE＝60°

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