2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷
一.填空题
1．（3分）函数f（x）=
的定义域是 ．
2．（3分）函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）= ． 3．（3分）设
，
，则f（x）•g（x）= ．
4．（3分）若正数a、b满足loga（4b）=﹣1，则a+b的最小值为 ． 5．（3分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）= ． 6．（3分）函数7．（3分）函数y=
的单调递减区间是 ． 的值域是 ．
8．（3分）设关于x的方程|x2﹣6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为 ．
9．（3分）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围 ．
10．（3分）若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是 ．
11．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．
①f（﹣1）= ；
②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是 ． 12．（3分）已知函数解析式为f（t）= ． 二.选择题
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，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的
13．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．
B．y=（x﹣1）2 C．y=x﹣2
D．y=log0.5（x+1）
14．（3分）已知函数y=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2] C．[1，2] D．（﹣∞，2]
15．（3分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4 B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4 C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4 D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4
16．（3分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（ ）
A． 三.解答题
B． C． D．
17．已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R． （1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围． 18．已知函数
（x＞0）．
（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）； （2）若x≥2时，不等式
恒成立，求实数a的范围．
19．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为24），其中a是与气象有关的参数，且为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
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，x∈[0，
．若用每天f（x）的最大值
（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；
（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标． 20．指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数函数．
（1）求实数m、n的值；
（2）若存在实数t，使得不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．
21．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有
．
是奇
（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由； （2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=
也
是M中的元素，并举例说明，G（x）=
不一定是M中的元素．
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2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）函数f（x）=
的定义域是 {x|x≥﹣2且x≠1} ．
【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．
【解答】解：由题意，要使函数有意义，则解得，x≠1且x≥﹣2；
故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}， 故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．
【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．
2．（3分）函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）= ∈[2，3] ．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：∵y=x2+2（﹣1≤x≤0） ∴x=﹣故反函数为故答案为：
，2≤y≤3，
，x∈[2，3]． ，x∈[2，3]．
，x
，
【点评】本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．
3．（3分）设
，
，则f（x）•g（x）= x，x∈（1，+∞） ．
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【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可． 【解答】解：∵
，
，
∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞）， ∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞）， 故答案为：x，x∈（1，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．
4．（3分）若正数a、b满足loga（4b）=﹣1，则a+b的最小值为 1 ． 【分析】根据题意，由对数的运算性质可得a=的性质可得a+b≥2
=1，即可得答案．
，即ab=
，即ab=，进而由基本不等式
【解答】解：根据题意，若正数a、b满足loga（4b）=﹣1，则有a=， 则a+b≥2
=1，
即a+b的最小值为1； 故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．
5．（3分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）= 2 ． 【分析】根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数， 从而求出f（2）的值．
【解答】解：函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t1是幂函数，
+
∴t3﹣t+1=1， 解得t=0或t=±1；
当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意； 当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意； 当t=﹣1时，f（x）=x﹣2是偶函数，不满足题意；
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综上，f（x）=x； ∴f（2）=2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
6．（3分）函数
的单调递减区间是 （﹣2，1] ．
【分析】由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可． 【解答】解：要求函数需求函数y=
的单调递减区间，
，（8+2x﹣x2＞0）的增区间，
由8+2x﹣x2＞0可得﹣2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下， 增区间为：（1，4），减区间为：（﹣2，1]． 由复合函数的单调性可知：函数故答案为：（﹣2，1]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．
7．（3分）函数y=
的值域是 （﹣1，） ．
的单调递减区间是：（﹣2，1]．
【分析】分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围． 【解答】解：函数y=∵2x+3＞3， ∴0＜∴函数y=
．
的值域是（﹣1，）
=
=﹣1
．
故答案为（﹣1，）
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【点评】本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．
8．（3分）设关于x的方程|x2﹣6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为 {0，2，3，4} ．
【分析】将方程|x2﹣6x+5|=a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．
【解答】解：关于x的方程|x2﹣6x+5|=a， 分别画出y=|x2﹣6x+5|与y=a的图象，如图： ①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0； ②若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2； ③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3； ④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4； ⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2； n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4} 故答案为：{0，2，3，4}．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
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9．（3分）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围 ．
【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．
【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点， 得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，
即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根， 令g（x）=x2+（a﹣1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，
∴，即，
解得：a∈[﹣故答案为：[﹣
，﹣3）； ，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．
10．（3分）若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是 [5，+∞） ．
【分析】根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则
解得即可．
【解答】解：当x＜1时，f（x）=1﹣x+2m﹣mx+18﹣6x=19+2m﹣（m+7）x， 当1≤x＜2时，f（x）=x﹣1+2m﹣m，x+18﹣6x=17+2m﹣（m+5）x，f（1）=12+m，
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2≤x＜3时，f（x）=x﹣1+mx﹣2m+18﹣6x=17﹣2m+（m﹣5）x，f（2）=7， 当x≥3时，f（x）=x﹣1+mz﹣2m+6x﹣18=﹣19﹣2m+（m+7）x，f（3）=m+2， 若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，
则
解得m≥5，
故m的取值范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞），
【点评】本题考查了函数最值和绝对值函数，并考查了函数的单调性，属于中档题．
11．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．
①f（﹣1）= ﹣1 ；
②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是 （﹣∞，0]∪[4，+∞） ． 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；
②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数， 当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R， f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1； ②若f（x）的值域是R，
由f（x）的图象关于原点对称，可得 当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a， 图象与x轴有交点， 可得△=a2﹣4a≥0， 解得a≥4或a≤0，
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即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 故答案为：①﹣1 ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考查运算能力，属于中档题．
12．（3分）已知函数解析式为f（t）=
，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的
．
【分析】根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g′（x）=（t﹣1）+
=
，令h（x）=（t﹣1）x2+4，结合二次函数的性质，对t分5种
情况讨论，每种情况下，分析h（x）的符号，即可得g′（x）的符号，分析可得函数g（x）的单调性，即可得g（x）在区间[1，2]上的最大值，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数其导数g′（x）=（t﹣1）+令h（x）=（t﹣1）x2+4，
令h（x）=0，即（t﹣1）x2+4=0可得，x2=分5种情况讨论，
①，t＞1时，h（x）=（t﹣1）x2+4为开口向上的二次函数，在[1，2]上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t﹣1）﹣=2t﹣4， ②，t=1时，h（x）=4，在[1，2]上，有h（x）＞0， 则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
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， ，
=
，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t﹣1）﹣=2t﹣4，
③，0≤t＜1时，h（x）=（t﹣1）x2+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t＞0，
则在[1，2]上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t﹣1）﹣=2t﹣4， ④，当﹣3＜t＜0时，h（x）=（t﹣1）x2+4为开口向下的二次函数， 令h（x）=0，即（t﹣1）x2+4=0可得x=±有1＜则有在[1，在（
＜2，
）上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
，
，2]上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
）=﹣4
，
此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（
⑤，当t≤﹣3时，h（x）=（t﹣1）x2+4为开口向下的二次函数， 令h（x）=0，即（t﹣1）x2+4=0可得x=±此时
≤1，
，
在[1，2]上，有h（x）＜0，
则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=t﹣5；
综合可得：；
故答案为：．
【点评】本题考查函数最值的计算，涉及函数导数的性质以及应用，注意对k进行分类讨论．
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二.选择题
13．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．
B．y=（x﹣1）2 C．y=x﹣2
D．y=log0.5（x+1）
【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A.
在（0，+∞）上是增函数，满足条件，
B．y=（x﹣1）2在（﹣∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．
C．y=x﹣2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件． 故选：A．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．
14．（3分）已知函数y=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2] C．[1，2] D．（﹣∞，2]
【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示， 当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，
函数f（x）=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2， 则实数m的取值范围是[1，2]． 故选：C．
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【点评】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．
15．（3分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4 B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4 C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4 D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4
【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．
【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，
由x+y=xy得：解得：x+y≥4． 再由x+y=xy得：设x1＞x2＞1， 则
因为x1＞x2＞1，
（x≠1）．
，
=．
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所以x2﹣x10，x2﹣1＞0． 则
，即f（x1）＜f（x2）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4． 故选：C．
【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．
16．（3分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x﹣a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．
【解答】解：函数f（x﹣1）是由f（x）向右平移一个单位得到， f﹣1（x﹣1）由f﹣1（x）向右平移一个单位得到， 而f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称，
从而f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣1，排除B，D；
A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除； 故选：A．
【点评】用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键． 三.解答题
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17．已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R． （1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
【分析】（1）t=0时不等式为log2（﹣2x2+3x）＜0，化为0＜﹣2x2+3x＜1， 求出解集即可；
（2）由不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0有解，
得出0＜﹣2x2+3x+t＜1，化为2x2﹣3x＜t＜2x2﹣3x+1； 设f（x）=2x2﹣3x，求出f（x）min即可得出结论．
【解答】解：（1）关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0， 当t=0时，不等式为log2（﹣2x2+3x）＜0， 即0＜﹣2x2+3x＜1， 等价于
，
解得，
即0＜x＜或1＜x＜；
∴不等式的解集为（0，）∪（1，）； （2）不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0有解， ∴0＜﹣2x2+3x+t＜1， 化为2x2﹣3x＜t＜2x2﹣3x+1； 设f（x）=2x2﹣3x，x∈R，
∴f（x）min=f（）=﹣，且f（x）无最大值； ∴实数t的取值范围是（﹣，+∞）．
【点评】本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题．
18．已知函数
（x＞0）．
（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；
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（2）若x≥2时，不等式
【分析】（1）从条件中函数式f（x）=（y互换即得f（x）的反函数f﹣1（x）．
恒成立，求实数a的范围．
）2=y，（x＞0）中反解出x，再将x，
（2）利用（1）的结论，将不等式（x﹣1）f﹣1（x）＞a（a﹣
）化成（a+1）
＞a2﹣1，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可． 【解答】解：（1）∵y=（由原式有：∴x=
=
，∴x+1=
）2=（1+）2（x＞0）．∴y＞1（2分） x
（2分）
，x∈（1，+∞）（2分）
）
∴f﹣1（x）=
（2）∵（x﹣1）f﹣1（x）＞a（a﹣∴（x﹣1）∴（∴
+1）（+1＞a2﹣a
＞a（a﹣﹣1）
）（x＞0） ＞a（a﹣
）
∴（a+1）
＞a2﹣1（2分）
＞a﹣1对x≥2恒成立﹣1＜a＜＜a﹣1对x≥2恒成立
+1
①当a+1＞0即a＞﹣1时②当a+1＜0即a＜﹣1时∴a＞
+1此时无解（3分）
+1．（1分） ．
综上﹣1＜a＜a∈
【点评】本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
19．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环
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境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为24），其中a是与气象有关的参数，且为当天的综合污染指数，并记作M（a）． （1）令t=
，x∈[0，24），求t的取值范围；
，x∈[0，
．若用每天f（x）的最大值
（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
【分析】（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围； （2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论． 【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．
解：（1）当x=0时，t=0； …（2分） 当0＜x＜24时，因为x2+1≥2x＞0，所以即t的取值范围是（2）当
． …（5分）
时，由（1），令
，则
，…（1分）
，…（4分）
所以=…（3分）
于是，g（t）在t∈[0，a]时是关于t的减函数，在因为所以，当当
时，
，时，
， ，由
；
，
时是增函数，
即…（6分）
由M（a）≤2，解得所以，当
． …（8分）
时，综合污染指数不超标． …（9分）
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【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数函数．
（1）求实数m、n的值；
（2）若存在实数t，使得不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），解方程组即可求出m，n的值； （2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．我们可将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0转化为k＞3t2﹣2t，根据二次函数的性质即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4， ∴g（x）=2x； ∴f（x）=
是奇函数．
是奇
∵f（x）是奇函数， ∴f（0）=0， 即
=0，
∴n=1； ∴f（x）=
，
又由f（1）=﹣f（﹣1）知∴m=2；
（2）由（1）知f（x）=
=﹣，
=﹣=﹣+
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
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又∵f（x）是奇函数，
从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0等价于f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
∵f（x）为减函数， ∴t2﹣2t＜k﹣2t2，
∴k＞3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣， ∴k＞﹣．
【点评】本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
21．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有
．
（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由； （2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=
也
是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素．
【分析】（1）函数f（x）=x2的定义域为R，运用作差法结合新定义，即可得到结论；
（2）运用奇函数的图象关于宇原点对称，即可得证；
（3）运用新定义和分类讨论，即可得证；举例f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥﹣1.5，可得G（x）=x2，x＜﹣1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=﹣2，x2=﹣1，即可得到结论．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R， 由f（x1）+f（x2）=x12+x22，
f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，
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f（x1+x2）﹣f（x1）﹣f（x2）=﹣x12+x1x2﹣x22 =﹣（x1﹣x2）2＜0，
即有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2）， 则函数f（x）=x2为M中元素；
（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R， 且f（﹣x）=﹣f（x）， 图象关于原点对称，
若x＞0时，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2）， 则x＜0时，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）， 则条件②不满足， 则f（x）∉M；
（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素， 当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上， 由题设可得结论成立；
若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上， 由f（x1）+g（x2）＞g（x1）+g（x2）＞g（x1+x2）， 或f（x1）+g（x2）＞f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）， 由题设可得结论成立， 综上可得F（x）=
也是M中的元素；
比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2， 如x≥﹣1.5，可得G（x）=x2， x＜﹣1.5，可得G（x）=（x+3）2， 取x1=﹣2，x2=﹣1，
可得x1+x2=﹣，G（﹣）=f（x1）+f（x2）=+=1，
，
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可得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）， 则G（x）不一定为M中的元素．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查作差法和举反例法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
第21页（共21页）
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