基于MATLAB的科学计算—非线性方程(组)

科学计算—理论、方法

及其基于MATLAB的实现与分析

解非线性方程（组）

（一）直接法

二分法：

设方程fx0在区间a,b上有唯一解，并且fafb0，如方程

fxx2.3x32xsinx0.30 （2）

首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如，f11sin10，f22sin20.90，所以方程 （２）至少有一个实根属于区间[1，2]，图1表明区间[1，2]中只含有一个根，显然方程 （２）的根不易直接求得。在区间[-1，0]、[0，1]和[1，2]的情形，如下图１所示

例１ plotNL_fun01.m

plotNL_fun01

The Image of f(x)=x3-2.3*x2+x*sin(x)+0.310.50-0.5-1-1.5-2-2.5-1-0.500.511.52 　图１ clear

x=-1:0.05:2;

f=x.^3-2.3*x.^2+x.*sin(x)+0.3; plot(x,f,'r',x,0*x,'k')

title('The Image of f(x)=x^3-2.3*x^2+x*sin(x)+0.3') xlabel('\\fontsize {12} \\fontname {宋体} 图１') axis square

二分法的求根过程：用x*表示方程fx0在区间a,b上的根，对于给定的精度要求0，取区间a,b的中点x1ab2，并按下式进行判断：

fx10x1x**fx1fa0x[a,x1] （２） fxfb0x*[x,b]11以fx1fa0为例，如果

ba2，那么区间a,x1内的任何一点都可以作为

方程fx0的近根。二分法适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计：

ba2NNlnbalnln2 （３）

（二）迭代法

首先将方程（组）写成等价的迭代形式：

fx0xgx （７）

由此确定了相应的迭代法:

xn1gxn （８）

xa,b0 对于非线性方程（组）的迭代法来说，同样面临收敛性问题，为说明收敛性条件，先看下面的例子：

例2：

让我们来求如下方程的根

fxx2.3x32xsinx0.30

下面，我们采用迭代法求方程 （１）位于区间[1，0]中的根，为此构造迭代算法如下：

xgx0.3xsixnx2.3x （９）

n1，2， （１０）

xn1gxn0.3xnsixnnxn2.3xn，

在区间[1，0]中任取一个迭代初值x0，如取初值x0EqutIteration.m:

open EqutIteration.m

0.8．执行下面的程序：

EqutIteration N = 29

ITERATION EXAMPLE FOR SOLVING EQUATION-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.80510152025300.50-0.5-1-1.5051015202530 　图3 下面欲求１．５附近的根，为此分别取初值x01.4，x01.9，迭代的结果如下：open Ex_IteraConv01 Ex_IteraConv01

N = 31

说明迭代收敛性条件的例子543210-1-2-3-1.5-1-0.500.511.522.53 　图4 收敛性定理：（收敛的充分性条件） 设方程fx0在[a，b]上存在唯一解，xgx是方程的等价形式，如果１、gx在[a，b]上连续可微；

２、对任何x[a，b]，gx[a，b]； ３、gx则对任何x0L1，

[a，b]，由迭代算法

xn1gxn，

（１１）

生成的序列xn收敛于方程fx0在[a，b]上的唯一解。 注1：满足方程x*gx*的点称为映射ygx的不动点；

注2：具有性质gxL1的映射ygx称为压缩映射；

因为x*gx*，xn1gxn，

xx*gx*gx*n1ngxxnx*x**n1xgx*xxLxnx*1nLnx*，

0x一点注释：当方程（组）为线性方程（组）时，gx就是迭代格式 中的矩阵M，而gx就对应着矩阵M的范数M． 例3: Ex_IteraConv01.m

open Ex_IteraConv01

x=[-1:0.01:2];

y=(0.3+x.*sin(x))/(x.*(2.3-x)); plot(x,y,x,x) hold on m=1; z=1.4;

while m<15

y=(0.3+z*sin(z))/(z*(2.3-z));;

plot([z z],[z y],'r',[z y],[y y],'r') z=y; m=m+1; pause end

例4: Ex_IteraConv02.m

open Ex_IteraConv02

Ex_IteraConv02

xMxf

检验非线性迭代的收敛性条件举例-0.6-0.7-------------- Differential Curve of g(x)-0.8-0.9-1-1.1-1.211.11.21.31.41.51.61.71.81.92 　图7 1.5039上面的例子表明了两点：在根x0附近，迭代法（１０）不满足gx1的条

件，导致迭代法序列xn不收敛于此根；在根x00.4148附近，迭代法（１０）尽管也不满足gx1的条件，但所生成的序列xn收敛于此根．

迭代收敛的图像解释

例5 在用迭代法求解方程f(x)2x30的正根时，构造迭代函数

2(x)xc(x3),试选取适当的c使迭代计算收敛.

解： 由于根x3,(x)12cx,故取c使112c31.

为使收敛速度快，取c使

123c0,c1412314，

因此迭代公式为x果如下：

x1214k1xk(xk3),k0,1,2.取初值x=2,迭代计算，数值结

0(23)1.75,14(1.7522x21.753)1.7343750,(1.73437502

x31.7343750143)1.73420923.显然，这里选取的迭代公式收敛，并且收敛速度较快.

收敛速度：如果有

limxn1xxnx**pnc（当p1时，要求0c1） （２９）

则称迭代的收敛速度是p阶的。特别地，p1时称为线性收敛(Linear Convergence)，p1时称为超线性收敛，p2时称为平方收敛(Quadratic Convergence).

注：（1） 若压缩因子0（2） 若压缩因子LL1，则迭代过程xk1(xk)为线性收敛.

0，则迭代过程xk1(xk)为超线性收敛.

（3） 一般地，收敛阶p越大，迭代过程收敛越快.

关于收敛速度的一个重要定理：

如果

１、gx在区间a，b上p2次连续可微；

２、对任何x[a，b]，gx[a，b]； ３、gxL1；

[a，b]处，

４、在gx的不动点x*

p1***x0gxgxg p*gx0

则对任何x0[a，b]，由迭代算法xn1gxn生成的序列xn具有p阶收敛速度。

3xk)例如，在求解方程x2(x)0，(x)6/x*330正根的时，对于迭代格式xk130，所以由定理

12(xk，因为

，(x*)2/5可知p2，该迭代过

程为2阶收敛.

常用的迭代法

１ 牛顿迭代法 （Newton Iteration）: １）一个方程的场合：

xn1xnfxnfxn， （１３）

牛顿迭代法构造说明：设方程右端的函数fx在所确定的包含唯一根x*的区间a,b内具有一阶连续导数fx，x0a,b，那么由一阶微分的性质，有

fxfxfxx*00*x00

 （１４）

由式（１４），可得

xx0*fx0fx0 （１５）

从而得到迭代格式

xgxxfxfx （１６）

以及牛顿迭代法（１４）．

牛顿迭代法的几何解释

例４： open NewtonIter01

２）方程组的场合：

对于给定的非线性方程组

f1x1,x2,,xnfx,x,,x212nFx0 （１７） fx,x,,xnn12记

f1x1f2Fx1Txfnx1f1x2f2x2fnx2f1xnf2xnfnxn （１８）

式（１８）的右端称为向量值函数Fx的Jacobian矩阵．

设n元向量值函数FxRn在其定义域Rn内的一点x0的邻域内具有二阶连续偏导数，则对于该邻域内的任意一点x*，

FxFx*0FxxTx0*x0

（１９）

举例说明：以二元函数为例，

fx,yfx0,y0fx,yfx0,yfx0,yfx0,y0fx0,yxxx0fx0,y0yyy0fx0,y02fx0,y0fx0,y0yy0xx0yy0 xxyyfx0,y0x （２０）

xx0fx0,y0yyy0fx0,y0xfx0,y0xx0yyy0fx0,y0fx,yfx0,y0xfx0,y0xx0 （２０） yyy0进而，对于一般的n元函数有

fxfx0fxxxx

00T （２１）

将上述结论应用于n元向量值函数Fx的每一个分量，既有公式（１９）所述的结论。

进一步地，当该邻域内的点x*是方程组（１７）的根时，有

FxFx*0FxxTx01*x00

（２２）

Fx0*0xxTxFx

0 （２３）

这表明：

x0Fx0*0xxxTx1Fxx0* （２４）

由此得到如下迭代算法：

xn1FxnxnTx1FxnxnFxnFxn （２５）

xn1xnxn

NEWTON 迭代法的几何意义

2 弦位法

xfxnn1xnfxnxn1 nfxn1x例５: SecantIter01.m ３关于Aitken加速法

xngx 1nxn1gxn1 xxx21n1n1nxn1xn12xn1xn算法（２７）能够加速的根据是

xn1x*Lxnx*x*n1xnx*x*xn1x*Lxn1x*xn1xx* n1xNewton迭代法的收敛速度是２阶的；

弦位法的收敛速度是超线性的。

MATLAB 求解方程（组）功能简介

（２６）

（２７）

（２８）

fzero: Find zero of a function of one variable

例7： Solvefun1zero.m % FUN1ZERO.m Solvefun4zero.m % FUN4ZERO.m

fsolve: Solve a system of nonlinear equations

例8： SolveNLE01.m % NLE01.m SolveNLE02.m % NLE02.m SolveNLE03.m % NLE03.m

roots: Polynomial roots

例９： polyRoot01.m

SOLVE: Symbolic solution of algebraic equations 例10： SymSolEqu01.m