华南师大附中2021届高三综合测试(三)(数学)

数 学

满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和答卷上。

2．选择题在选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．函数f(x)32x11的定义域是（ ） A．[1,)

B．,

12

C．(,1)

D．(,2)

2．平面向量a与b的夹角为60°，a(2,0),|b|1，则|a2b|等于（ ） A．22

B．23

C．12

D．10

3．在ABC中，cosCA．5

2, AC4, BC3，则tanB=（ ） 3B．25

C．45

D．85

4．己知等差数列{an}满足a52a17, a35，则数列A．

1 的前10项的和为（ ）

aann1

D．

22 23 B．

11 23 C．

20 2110 215．己知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点，若

ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A．

3 3 B．

2 3

1

C．

2 2 D．

3 26．己知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．

B．

3 4 C．

 2 D．

 47．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂

1131000100021000，222131392小时后，细胞总数约为1000100021000，问当细胞总数超

22224成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为

过10个时，所需时间至少为（ ）小时。（参考数据：lg30.477,lg20.301，本题答案取整）

A．36

229B．35 C．34 D．33

8．己知圆C:x(y2)16．若动点M在直线y60上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B。若直线AB恒过定点N，点N的坐标为（ ） A．(－1，－1) B．(0，0) C．(1，1) D．(0，6)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．己知函数f(x)cosx，则（ ） 6A．2为f(x)的一个周期 B．yf(x)的图象关于直线xC．f(x)在4对称 3,上单调递减 2D．f(x)的一个零点为

 310．在公比为q等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a11, a527a2, 则下

列说法正确的是（ ） A．q3

B．数列{Sn2}是等比数列 D．2lganlgan2lgan2(n3)

C．S5121

11．设正实数a、b满足ab1，则下列结论正确的是（ ）

A．

11有最小值4 ab

C．ab有最大值2

1 2122D．ab有最小值

2B．ab有最小值

2

12．在边长为2的等边三角形ABC中，点D,E分别是边AC,AB上的点，满足DE//BC，

且

AD,((0,1))，将ADE沿直线DE折到A'DE的位置，在翻折过程中，AC下列结论不成立的是（ ） ．．．

A．在边A'E上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面A'CD B．存在0,1，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC平面BCDE 2C．若

101

，当二面角A'DEB为直二面角时，|A'B|

42

23 9D．在翻折过程中，四棱锥A'BCDE体积的最大值记为f(),f()的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

x2y21x2y213．已知椭圆221(ab0)与双曲线22(a0,b0)的焦点相同，则

abab3该双曲线的渐近线方程为 。

y3y14．若变量(x,y)满足约束条件x4，则z的最大值为 。

xxy5015．己知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，a3, b73, sinA，则

72B 。

16．已知当xR时，均有不等式ae1ae2x0成立，则实数a的取值范围

为 。

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）

*己知等差数列{an}，记Sn为其前n项和(nN)，且a33, S315.

xx(1)求该等差数列{an}的通项公式；

(2)若等比数列{bn}满足b14, b3S4，求数列{bn}的前n项和Tn.

3

18．（12分）

给出以下三个条件：①直线xx1, xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且

|x1x2|的最小值为

，②f0，③对任意的xR, f(x)f；请从这

124243, 03, . 2三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.

己知函数f(x)sinxcosx3cos(1)求f(x)的表达式； (2)将函数f(x)的图象向右平移

2x个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原8来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递增区间以及在区间

0,2上的值域。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

19．（12分）

己知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB2, AA14,

BAD60,E为BC中点，C1在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．

(1)求证：BDA1H;

(2)求二面角D1BB1C的余弦值.

4

20．（12分）

己知抛物线C:y4x的焦点为F,O为坐标原点，过点F的直线l与抛物线C交于

2A,B两点．

(1)若直线l与圆O:xy221相切，求直线l的方程； 9(2)若直线l与y轴的交点为D．且DAAF, DBBF，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 21．（12分）

某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分 转换分 人数 91 90 89 88 87 85 83 82 100 99 97 95 94 91 88 86 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36)．若

Y~N(,2)，令Y，则~N(0,1)，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(k)取得最大值时k的值.

附：若~N(0,1)，则P(0.8)0.788, P(1.04)0.85.

5

22．（12分）

已知函数f(x)alnx(aR). x(1)当函数f(x)与函数g(x)lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的值； (2)证明：当a0,1时，函数h(x)f(x)ax有两个零点x1,x2，且满足21x11a. 1x2

6

数学参考答案

一、单选题

1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 二、多选题

9．AD 10．ACD 11．ACD 12．ABC

12．对于A．在边A'E上点F，在A'D上取一点N，使得FN//ED，在ED上取一点H， 使得NH//EF，作HG//BE交BC于点G，如图所示， 则可得FN平行且等于BG，即四边形BGNF为平行四边形，

NG//BE，而GN始终与平面ACD相交，

因此在边A'E上不存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面

A'CD，A不正确.

对于B，0,1，在翻折过程中，点A'在底面BCDE的射影 2不可能在交线BC上，因此不满足平面A'BC平面BCDE，因此 B不正确.

1，当二面角A'DEB为直二面角时，取ED的中 2点M，如图所示：可得AM平面BCDE，则

对于C．|A'B|AM2BM2(32111010，因此C)1()221cos12022422不正确；

对于D．在翻折过程中，取平面AED平面BCDE，四棱锥A'BCDE体积

13可得时，函数f()f()SBCDE33, (0,1), f'()132，

33取得最大值f()3123，因此D正确. 1393综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC.

三、填空题 13．y2x 214．

3 215．

5或

66 16．(,]{e}

2e

16．当a0时，不等式为2x0，不恒成立；

7

xx当a0时，ae10，令f(x)ae2x, f'(x)ae2,

x由f'(x)0得xln(),

2a22aa22xln()时，f(x)max22ln()，要使命题成立，

aa22则22ln()0, a;

ae1x当a0时，函数g(x)ae1是增函数，在唯一零点xln,

a当xln()时，f'(x)0, f(x)递增，xln()时，f'(x)0, f(x)递减，

f(x)aex2x, f'(x)aex20，即f(x)增函数，f(0)a0，但当x时，

所以f(x)有唯一零点x0，要使不等式f(x)g(x)0恒成立，只有x0lnf(x)，

1, a12ln120, ae, 综上a的取值范围是(,]{e}. ae

四、解答题

17．（10分）(1)设等差数列{an}的公差为d，则

, Snna1(n1)nd, 2a12d3,a17由题意，得，解得, 323a1d15d22{an}的通项公式an72(n1)2n9, nN*.

(2)设等比数列{bn}的公比为q，由(1)得S4(7)443216, 2b3S416, q2b3164, q2或-2， b14b1(1qn)4(12n)当q2时，Tn42n2,

1q124[1(2)n](2)n24当q2时，Tn.

31(2)3

18．(12分) 因为f(x)sinxcosx3cosx2313sin2xcos2x 222 8

sin2x,

3(1)若选条件①，直线xx1, xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为

2，则T2，解得2，则f(x)sin4x;

34422若选条件②，则fsin0，则k,kZ, 363126因此26k, kZ，又03，所以2，则f(x)sin4x; 3若选条件③，对任意的xR, f(x)f; 24则有

1232k,kZ，解得212k,kZ,

又03，所以2，则f(x)sin4x; 综上，f(x)sin4x 33(2)将函数f(x)的图象向右平移

个单位，得ysin4(x)sin4x,

8368再将ysin4x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到6g(x)sin2x, 由2k2x2k,k, 得kxk,k

632626即函数g(x)sin2x的单调递增区间为k,k,kZ,

366又x0,递减；

x,上单调g(x)sin2x0,，所以函数在上单调递增，在6332211, g1, g, 2362因为g(0)1g(x)在0,的值域为,1.

22

9

19．(12分)

(1)连接A1C1,AC,A1B,BH，由于E为BC中点，且HC//AB,

CHCE1, CHAB ABEB故四边形CBHA为平行四边形， AC//BH且ACBH

又在菱形ABCD中，BDAC, BDBH 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中

AA1//CC1且AA1CC1，即四边形A1C1CA为平行四边形，

故AC//A1C1且ACA1C1,

A1C1//BH且A1C1BH，即四边形A1C1BH为平行四边形， BA1//HC1

又C在面ABCD的投影是H，即C1H面ABCD

A1B平面ABCD, A1BBD,

A1B平面A1BH,BH平面A1BH, A1BBHB

故BD平面A1BH,A1H平面A1BH, BDA1H.

(2)由(1)知BDBH, A1B平面ABCD，故BA1BD,BA1BH两两垂直， 如图，以B为原点，以BH,BD,BA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

B(0,0,0),C(3,1,0),D1(3,1,23),B1(3,1,23)

D1B1(0,2,0), D1B(3,1,23), CB1(0,2,23), CB(3,1,0)

设平面D1BB1的法向量为n(x,y,z),

nD1B12y0故， nD1B3xy23z0令x2，则z1，故n(2,0,1) 设平面CBB1的法向量为m(x,y,z),

10

nCB12y23z0故, nCB3xy0令y3，则x1,z1，故m(1,3,1)

二面角D1BB1C为锐角，

故所求二面角的余弦值是|cosm,n||

20．(12分)

(1)由题意知：F(1,0)且圆O的半径为r3|.

|m||n|5mn1，圆心O(0,0)，即有F在圆O外， 3|k|1,

1k23设直线l为yk(x1)，则圆心O到直线l的距离d解之得：k22，即直线l的方程为y(x1). 44(2)由过F(1,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点，与y轴的交点为D，即斜率存在且

k0，设直线l为yk(x1)，有D(0,k),

y24x2222联立直线方程与椭圆方程，有，可得kx2(k2)xk0,

yk(x1)设A(x1,y1), B(x2,y2)，即有x1x21,

DA(x1,y1k), AF(x1,y1), DB(x2,y2k), BF(x2,y2),

由DAAF, DBBF，可得x11, x21,

x1x21，即可得1为定值

(1)(1)

21．(12分)

(1)随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3．

0312C5C5101C5C5505P(X1)由题意可得：P(X0), , 33C10C101201212012130C52C5505C5C5101P(X2)3, P(X3), 3C10C101201212012 11

随机变量X的分布列为 15 121215513数学期望E(X)0123.

121212122X P 0 1 2 3 5 121 12(2)①设该划线分为m，由Y~N(75.8,36)得75.8,6, 令YY75.8，则Y675.8, 6m75.80.85, 6由题意，P(Ym)0.85，即P(675.8m)P~N(0,1), P(1.04)0.85, P(1.04)0.85,

m75.81.04, m69.56，取m70．即该划线分大约为70分。 6②由①讨论及参考数据得

P(Y71)P(675.871)P(0.8)P(0.8)0.788,

即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，

k0.788k(10.788)800k. ~B(800,0.788), P(k)C800P(k)P(k1),由

P(k)P(k1),kk800kk1C8000.788k1(10.788)801k,C8000.788(10.788)即

kk800kk1k1799kC8000.788(10.788),C8000.788(10.788)解得630.188k631.188, kN, k631,

当k631时，P(k)取得最大值．

22．(12分)

解：(1)解法1：设公切线l与函数g(x)lnx的切点为(x0,y0)，则公切线l的斜率

kg'(x0)11(xx0)，，公切线l的方程为：yy0将原点坐标(0，0)代入，得y01，x0x01x e1alnx设公切线l:yx与函数f(x)的切点为(x1,y1)，则

ex解得x0e，公切线l的方程为：y

12

2x1alnx1x1alnx1exe12 1f'x1alnx1x11alnx11x12ee所以alnx1e11,aln2 ，代入可得x1222解法2：设公切线l与函数g(x)lnx的切点为(x0,y0)，则公切线l的斜率

kg'(x0)11(xx0)，，公切线l的方程为：yy0将原点坐标(0，0)代入，得y01，x0x01x, ealnx12将它与f(x)联立，整理得axlnx.

xe解得x0e，公切线l的方程为：y2x2e12令m(x)xlnx，对之求导得：m'(x)，令

exe当x(0,，解得xe. 2eln2)时，m'(x)0,m(x)单调递减，值域为,, 22eln2,)时，m'(x)0,m(x)单调递增，值域为,, 22当x(由于直线l与函数f(x)相切，即只有一个公共点，故a的值为

1ln2. 2alnxax22k(x)axlnxa有两(2)证明：h(x)，要证有两个零点，只要证h(x)x个零点即可. k(1)0，即x1时函数k(x)的一个零点. 对k(x)求导得：k'(x)2ax111，令k'(x)0，解得x．当x时，x2a2ak'(x)0,k(x)单调递增；

当0x11时，k'(x)0,k(x)单调递减. 当x时，k(x)取最小值，

2a2a1kk(1)0, 2a 13

k(x)ax2lnxaax2(x1)aax2x1aax2x在使得二次函数u(x)ax0x0211，必定存x022a10, 2即k(x0)u(x0)0．因此在区间上1,x0必定存在k(x)的一个零点. 2a1,上． 2a综上所述，h(x)有两个零点，一个是x1，另一个在区间下面证明

111．由上面步骤知h(x)有两个零点，一个是x1，另一个在区间x1x2a11111112a，下面证明x1,x上. 不妨设则,12x1x2x22a2a12a11110, 即可. 令v(a)2a1，对之求导得v'(a)2aaa2a1112a1v0，即12a. aa2故v(a)在定义域内单调递减，v(a)

14