专题八 坐标系中的全等问题

专题 期中复习八 坐标系中的全等问题 1、 已知直线l1、l2经过K（2、2)

（1） 如图1，直线l1 ⊥l2于K，直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点．直线l2分别交x

轴、y轴于C点、D点．求证OB＋OC的值．

【解】：过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN，垂足分别为M、N，△KCM≌△KBN，OB＋OC＝OM＋ON＝4．

⑵在第⑴问的条件下，求S△ACK－S△OCD的值．

y【解】：△AMK≌DNK，∴S△ACK－S△OCD＝S正OMKN＝4．

l2Bl1

KN

xOCMA

D

图1

⑶在第⑵问的条件下，如图2，点J为AK上任一点（J不于点A、K重合)，过A作AE⊥DJ于E，连接EK．求∠DEK的度数．

【解】：由⑵知△AMK≌DNK．AK＝DK，在DE上截取DF＝AE．

△DFK≌△AEK（SAS),∴△EFK为等腰直角三角形，∴∠DEK＝45°．

y

l1

KE

J xAO FD 图2

2、如图，在平面直角坐标系中，A（a、0),B(0、b)，且a、b满足（a4)2b40,点C、B关于x轴对称． ⑴求A、C两点坐标； 【解】：⑴ A(4、0),C（0、4)

⑵点M为射线OA上A点右侧一动点，过点M作MN⊥CM交直线AB于N，连BM，是否

存在点M，使S△AMN＝

3S△AMB？若存在．求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 2 y

N C AMOEx

B

【解】：OM垂直平分BC．连AC．AB＝AC、MB＝MC，∠MBA＝∠MCA，∵∠CAN＝∠CMN，∴∠MCA＝∠N＝∠MBA，∴MN＝MB＝MC，作BE⊥x轴于E，则△OCM≌△NEM，∴NE＝OM，设AM＝x，NE＝4＋x,∵S△AMN:S△AMB＝3:2,∴(x＋4)：x＝3:2，∴x＝2，∴M（6、0)．

⑶点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30°交x轴于点Q,连PQ,在点P运动过程中．当∠BPQ＝45°时，求BQ的长． y P OxQ

B

【解】：作PF⊥x轴于F，PG⊥y轴于G，则PF＝PG，作PH⊥PQ交y轴于H，则△PGH≌△PFQ，再证∠BPH＝45°＝∠BPQ，∴△BHP≌△BQP，∴∠OBP＝∠PBQ＝30°．∠OQB＝30°，∴BQ＝2OB＝8．