运用Lingo和Matlab软件求解线性规划问题的比较研究

摘要：本文就一个给定的线性规划模型，通过介绍优化软件lingo和科学计算软件matlab中求解线性规划问题的命令和函数，指出lingo软件在求解线性规划问题上占有一定优势。 关键词：线性规划 lingo软件 matlab软件 最优解

线性规划由前苏联经济学家康托洛维奇提出，它主要研究的是在线性等式（或不等式）约束条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。随着计算机技术的发展，借助软件可以快速对线性规划问题进行求解和分析。目前，能够求解规划问题的数学软件比较多，常见的有优化软件lingo和科学计算软件matlab。 本文以如下线性规划为例，分别利用这二种软件来求解，并就它们在求解线性规划上的差异进行对比分析。

minz=10.8x11+10.95x12+11.1x13+11.25x14+11.1x22+ 11.25x23+11.4x24+11x33+11.15x34+11.3x44； s.t.x11+x12+x13+x14”“x（3，1） 0.000000 x（3，2） 0.000000 x（3，3） 25.00000 x（3，4） 5.000000 x（4，1） 0.000000 x（4，2） 0.000000 x（4，3） 0.000000 x（4，4） 10.00000

显然最优解同上，只是输出格式不同而已。 2 matlab求解线性规划

2.1 matlab软件简介 目前，matlab提供了四十多个工具箱，这些工具箱专门针对某些具体应用领域。matlab优化工具箱中提供了linprog函数来求解线性规划问题。

2.2 matlab求解线性规划的命令介绍 matlab中一般使用“[ ]”、 “，”或空格以及“；”来创建数组，“[ ]”中给出数组的所有元素，同行间的元素用“，”或者空格隔开，不同行之间用分号“；”隔开，并且用符号“■”置于矩阵右上角表示矩阵的转置运算。 linprog函数的常见形式如下： 形式1：x=linprog（f，a，b）

用于求解目标函数为minf′*x ，约束条件为a*x≤b的线性规划问题。其中x表示最优解，f 表示价值列向量，a表示约束不等式中的系数矩阵（二维数组），b（列向量）表示约束不等式中右端资源常数向量。

形式2：[x，fval]=linprog（c，a，b，aeq，beq）

相比较上面的问题，增加了等式约束，即aeq*x=beq。其中x、c、a、b含义同上，fval表示最优解对应的目标函数值。若没有不等式存在，则令a=[]、b=[].

形式3：[x，fval]=linprog（c，a，b，aeq，beq，vlb，vub） 增加了决策变量的上下界约束，即vlb≤x≤vub，其中vlb、vub分别以列向量形式存储。如果没有不等式约束，令a=[]和b=[]；

若没有等式约束，则令aeq=[]、beq=[]. 2.3 matlab求解上述线性规划的具体实现 matlab程序如下： >> clear

c=[10.8 10.95 11.1 11.25；0 11.1 11.25 11.4；0 0 11 11.15；0 0 0 11.3]；

a=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]； b=[25；35；30；10]；

aeq=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1]； beq=[10；15；25；20]； f=c（：）； %把f变成列向量

vlb=zeros（16，1）； %确定决策变量的下界

vub=[inf 0 0 0 inf inf 0 0 inf inf inf 0 inf inf inf inf]； %通过取上下界值都为0，保证决策变量x21=x31=x41 =x32=x42=x43=0

[x，fval]=linprog（f，a，b，aeq，beq，vlb，vub）

运行后，得结果： x =10.0000 0 0 0 12.5784 2.4216 0 0 1.6173 1.5529 21.8299 0 0.8044 1.0255 8.1701 10.0000 fval =773.0000

即最优解为x11=10，x12=12.5784，x13=1.6173，x14=

0.8044，x22=2.4216，x23=1.5529，x24=1.0255，x33=21.8299，x34=8.1701，x44=10，最优值为773。 3 小结

通过以上介绍，我们发现不管是使用lingo还是matlab软件，计算的最优值都是一样的，但最优解有些差异，而且求解的程序在形式上有较大差异。lingo程序中，第一种方法的结构形式简单，符合原规划问题中的书写习惯，初学者容易上手，但可拓展性不强，而且对于规模较大、变量数较多的问题编程比较费时费力，对于非线性规划问题使用更是不便。第二种方法使用集合的概念，程序易于扩展，尤其在求解规模较大的问题时优势明显。相比较而言，matlab中的矩阵（二维数组）的输入规律稍难理解些，而且输出结果也不如lingo那么直接明了。另外，linprog命令只能求一般的线性规划，而不能求整数线性规划，因为matlab没有内置命令求解整数线性规划，如果要解，需要自己编算法实现。这种算法的编制，对普通的软件使用者来说受到一定的约束。总的来说，尽管matlab功能很强大，但lingo在求解线性规划模型的计算上还是相对简便的，而且可以得到内容丰富的结果输出，在关于线性规划的实际问题分析中lingo应用得更为多些。 参考文献：

[1]田维.用matlab与lindo求解线性规划[j].德宏师范高等专科学校学报，2006，1：107-111.

[2]滕飞.应用sas/or与lingo求解优化问题的比较研究[j].吉林师范大学学报（自然科学版），2011，3：36-38.

[3]叶向.实用运筹学[m].北京：中国人民大学出版社，2006. [4]王正林，刘明.精通matalb7[m].北京：电子工业出版社，2007.