用lingo求解线性规划问题

中国石油大学胜利学院

程兵兵

摘 要 食物营养搭配问题是现代社会中常见的问题，其最终的目的是节省总费用。本文通过对营养问题的具体剖析．构建了一般的线性规划模型。并通过实例应用Lingo数学软件求解该问题。并给出了价值系数灵敏度分析，得出蔬菜价格的变动对模型的影响。

关键词 线性规划，lingo，灵敏度分析。

一、问题重述与分析

营养师要为某些特殊病人拟订一周的菜单，可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这类病人每周所需各种营养成分的最低数量如下表1所示。有以下规定：一周内所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。

问题一：若病人每周需要14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份，可使生活费用最小。 问题二：当市场蔬菜价格发生怎样波动时，所建模型的适用性。

表 1 所需营养和费用 每份蔬菜所含营养成分 蔬菜 铁(mg) 青豆 胡萝卜 花菜 卷心菜 甜菜 土豆 每周营养 最低需求量 0.45 0.45 1.05 0.4 0.5 0.5 6.0 磷(mg) 10 28 50 25 22 75 325 VA(单位) 415 9065 2550 75 15 235 17500 VC(mg) 8 3 53 27 5 8 245 费用 烟酸(mg) （元/份） 0.3 0.35 0.6 0.15 0.25 0.8 5.0 1.5 1.5 2.4 0.6 1.8 1.0 营养搭配是一个线性规划问题，在给定蔬菜的情况下，要求菜单所需的营养成分必须达到要求，并在此条件下求出什么样的搭配所花费的费用最少。

第一个要求是满足各类营养的充足，根据表中数据列出不等式。第二要求为问题一中，蔬菜的份数必须为14，第三要求为在一周内，卷心菜不多于2份，其他不多于4份，根据以上条件列出各类蔬菜份数的限定条件，并可表示出费用的表达式。

对于第二问，就是价值系数的变化对总费用的影响，模型的适用范围。

三、模型假设

第一,假设各蔬菜营养成分保持稳定，满足题干要求。 第二，假设各蔬菜价格在一定时间内保持相对稳定。 第三，假设各类蔬菜供应全部到位，满足所需要求量。 第四，假设所求出最优解时不要求一定为整数。

四、符号约定

（1）Z代表目标函数，此题即为费用。

（2）ci为价值系数，此题即为每份蔬菜的价格。下标i代表蔬菜的种类。 （3）xi为决策变量，表示各种蔬菜的数量。 （4）bi为最低限定条件，表示蔬菜最低营养需要。

五、模型建立

根据以上各种假设和符号约定，建立模型如下。所求的值就是min，也就是最优化结果。

min Zcixii16aixibi6s.t xi14i1xi0,x1,x2,x3,x5,x64,x42

六、模型求解

1.根据模型可以列出以下方程：

目标函数：

min Z=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6; 约束条件：

0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>6.0; 10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*f>325;

415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>17500; 8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>245;

0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>5.0;

x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;

x4<=2;x1<=4;x2<=4;x3<=4;x5<=4;x6<=4;

得到的最终运行结果见附录。根据lingo程序结果可得出下表2

表 2 lingo运行结果

Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6 Objective value: Value 4.00 1.70 2.30 2.00 0 4.00 Reduced Cost 0 0 0 0 0.20000 0 19.27000

七、结果分析

1.问题一解答

目标函数值为19.27，即若病人每周需要14份蔬菜，生活费用最小为19.27元。此时各蔬菜份数如下表3：

表 3 蔬菜的份数 蔬菜 份数 青豆 4 胡萝卜 1.7 花菜 2.3 卷心菜 2.0 甜菜 0 土豆 4.0

2.问题二解答

当市场蔬菜价格发生怎样波动时，所建模型的适用性。Lingo里面可以直接求出目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，结果见附录。分析如下表4：

表 4 价值系数的变化结果

Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6 Current Coefficient 1.50 1.50 2.40 0.60 1.800000 1.000000 Allowable Increase 0.0900 0.2750 6.6000 1.3320 Inf 0.5900000 Allowable Decrease Inf 0.10 0.90 Inf 0.2 Inf 分析如下：

目标函数x1原来的费用系数为1.50，允许增加0.09，允许减少到无穷大。说明当它在[0，

1.50+0.09]=[0,1.59]范围变化时，最优基保持不变，但价值系数发生了改变，而约束条件不变，所以最优值发生变化。即此时青豆价格在0到1.6之间时，总费用最优基不变，最小费用发生变化。

目标函数x2原来的费用系数为1.50，允许增加0.275，允许减少0.1。说明当它在[1.4，1.775]范围变化时，最优基保持不变，但价值系数发生了改变，而约束条件不变，所以最优值发生变化。即此时胡萝卜价格在1.4到1.775之间时，总费用最优解不变，最小费用发生变化。

同理可知，x3在[1.5,9]，x4在[0,1.932]，x5在[1.536,]，x6在[0,1.59]范围内最优基不变，但由于价值系数发生改变，最优解发生改变。

以上为问题二答案，结果列表5如下：

表 5 价值系数变化范围 蔬 菜 青 豆 胡萝卜 花 菜 卷心菜 甜 菜 土 豆 范围 [0,1.6] [1.4，1.775] [1.5,9] [0,1.932] [1.536,] [0,1.59] 八、模型的改进和推广

1．模型中使用的是软件lingo求解线性规划问题，实际上我们还可以用图解法求解线性规划问题，,单纯形法，此类方法会使得整个模型更加直观明了。但linggo最为简便，分析更加轻松，节省时间。

2．在该问题的求解中，考虑的方面较为简略，还有很多因素可以考虑。其中的决策变量，常数项的灵敏度分析也可简单读出，此模型还可用于产品的开发与组建，例如人工奶粉，人工营养液等等。

九、模型的评价

优点：

1.建立的模型的原理简单易懂，lingo编程简单，时间很快。

2.可移植性好，对于类似的营养搭配问题都可以根据此模型来求解。

缺点：这种模型中要将变量的值一一输入，对于数值比较大且较多的题目而言，工作量会很大，应寻找更优的解决方案。

参 考 文 献

1 牛映武.运筹学. 西安：西安交通大学出版社， 1994 5. 2 魏国华，王芬. 线性规划. 北京：高等教育出版社，19 3 郎艳怀，经济数学方法教程.上海:上海财经大学出版社，2004

4 袁新生，邵大宏，郁时炼，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007

5 姜启源,谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2006

附录： 运行结果1

Global optimal solution found.

Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations:

Model Class:

Total variables: Nonlinear variables: Integer variables:

Total constraints: Nonlinear constraints:

Total nonzeros: Nonlinear nonzeros:

Variable Value X1 4.000000 X2 1.700000 X3 2.300000 X4 2.000000 X5 0.000000 X6 4.000000 F 0.9653333 A 0.000000 B 0.000000 C 0.000000 D 0.000000 E 16.91093

Row Slack or Surplus 1 19.27000 2 1.780000 3 0.000000 19.27000 0.000000 2

LP

12 0 0

13 0

48 0

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.20000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000

4 6525.500 0.000000 5 0.000000 -0.1800000E-01 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 -1.446000 8 0.000000 1.332000 9 0.000000 0.9000000E-01 10 2.300000 0.000000 11 1.700000 0.000000 12 4.000000 0.000000 13 0.000000 0.5900000

运行结果2：

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease X1 1.500000 0.9000000E-01 INFINITY X2 1.500000 0.2750000 0.1000000 X3 2.400000 6.600000 0.9000000 X4 0.6000000 1.332000 INFINITY X5 1.800000 INFINITY 0.20000 X6 1.000000 0.5900000 INFINITY F 0.000000 0.3341584 0.000000 A 0.000000 INFINITY 0.000000 B 0.000000 INFINITY 0.000000 C 0.000000 INFINITY 0.000000 D 0.000000 INFINITY 0.000000 E 0.000000 0.000000 0.000000

Righthand Side Ranges:

Current Allowable Allowable

Row RHS Increase Decrease 2 6.000000 1.780000 INFINITY 3 325.0000 396.3500 72.40000 4 17500.00 6525.500 INFINITY 5 245.0000 50.08058 115.0000 6 5.000000 INFINITY 4.227733 7 14.00000 2.169811 0.6900982 8 2.000000 1.113035 2.000000 9 4.000000 0.8158405 2.555556 10 4.000000 INFINITY 2.300000 11 4.000000 INFINITY 1.700000

12 4.000000 INFINITY 4.000000

13 4.000000 0.7978847 2.39