2018-2019学年上学期武汉市江岸区八年级期中数学试卷附答案详析

2018-2019学年上学期武汉市江岸区

八年级期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共12分） 1．以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．1，2，3

B．2，3，4

C．3，4，5

D．5，6，7

3．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8

B．AB＝5，BC＝6，AC＝13

D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°

4．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）

A．40° B．30° C．50° D．60°

5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）

A．5 B．4 C．10 D．8

6．规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能： ①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1； ②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1； ③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1； ④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1． 其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等有（ ）个．

- 1 -

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 ．

8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若MN＝5cm，CN＝2cm，则BM＝ cm．

9．AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，如图，在△ABC中，则DE长是 ．

10．如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长是 ．

11．如图，△ABC，△ADE均是等腰直角三角形，BC与DE相交于F点，若AC＝AE＝1，则四边形AEFC的周长为 ．

- 2 -

12．D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，如图，△ABC是边长为6的等边三角形，则AE＝ ．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，AD＝4，线段CE的长为 ．

14．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝ ．

15．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程． 已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P 作法：如图， （1）在直线l上任意两点A、B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ，所以直线PQ就是所求作的垂线．该作图的依据是 ．

- 3 -

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ ．

三、解答题（共6小题，满分52分）

17．（9分）（1）请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．

（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） （2）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．

18．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船向南偏东45°方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度向南偏西45°方向航行，2小时后两艘轮船之间的距离为50海里，问甲轮船平均每小时航行多少海里？

19．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置） （3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

- 4 -

20．（7分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，且DF＝6，求BE的长．

21．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；

（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．

22．（12分）概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成

- 5 -

两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用 （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°． 求证：CD为△ABC的等角分割线．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

- 6 -

参与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共12分） 1．以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、有四条对称轴，B、有六条对称轴，C、有四条对称轴，D、有二条对称轴， 综上所述，对称轴最少的是D选项．故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．1，2，3

B．2，3，4

C．3，4，5

D．5，6，7

222

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b＝c，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 222

【解答】解：A、1+2≠3，不能组成直角三角形，故此选项错误；

B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误； C、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确； D、52+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 3．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8

B．AB＝5，BC＝6，AC＝13

D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°

【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有C能画出唯一三角形．

【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误； B、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC， ∴不能画出△ABC； 故本选项错误；

C、已知两角和夹边，能画出唯一△ABC，故本选项正确；

D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握

- 7 -

全等三角形的判定方法是解题的关键．

4．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）

A．40° B．30° C．50° D．60°

【分析】根据邻补角的定义求出∠AED，再根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠AEC＝110°，

∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°， ∵△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE，

∴∠DAE＝180°﹣2×70°＝180°﹣140°＝40°． 故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）

A．5 B．4 C．10 D．8

【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵AB＝5，AD＝3， ∴BD＝

∴BC＝2BD＝8， 故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6．规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提

- 8 -

＝4，

出以下几种可能：

①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1； ②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1； ③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1； ④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1． 其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据条件能证明△ABC≌△A1 B1 C1，和△AC D≌△A1 B1 C1，的条件． 【解答】解：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等，故①②③正确． 故选：C．

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是注意：多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全等的问题． 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 5 ．

【分析】根据勾股定理求CD，根据角平分线性质得出DE＝CD，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，

过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

- 9 -

∴DE＝CD＝5，

即点D到AB的距离为5， 故答案为：5．

【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等． 8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若MN＝5cm，CN＝2cm，则BM＝ 3 cm．

【分析】只要证明MN＝BM+CN即可解决问题； 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，

∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN， ∴BM＝MO，ON＝CN，

∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN， ∵MN＝5cm，CN＝2cm， ∴BM＝5﹣2＝3cm， 故答案为3cm．

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO，△CNO是等腰三角形． 9．AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，如图，在△ABC中，则DE长是

．

- 10 -

【分析】由△ABC的三边长，可证明△ABC为直角三角形，作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得DH＝DE，根据三角形的面积公式得×DE•AB+×DH•AC＝AB•AC，于是可求出DE的值． 【解答】解：作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴DH＝DE，

∵AB＝4，AC＝3，BC＝5， ∴△ABC为直角三角形，

∴DE•AB+DH•AC＝AB•AC， ∴DH＝DE＝故答案为：

，

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及角平分线的性质，能够证明ABC为直角三角形，得到DE•AB+

DH•AC＝AB•AC是解题的关键．

10．如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长是 ．

【分析】延长BC交HG于点M，延长HG交DE于点N，先计算出不规则铁皮的面积，再计算面积相等的正方形的面积．

- 11 -

【解答】解：如图所示，延长BC交HG于点M，延长HG交DE于点N， 则四边形ABMH、CDNM为矩形，四边形GFEN为正方形． 所以“Z”字形的铁皮的面积＝S矩形ABMH+S矩形CDNM+S正方形GFEN ＝AH•AB+CD•DN+GF•EF ＝3×1+3×2+1×1 ＝10．

∴正方形的边长＝故答案为：

．

【点评】本题考查了矩形、正方形的判定和面积及算术平方根．解决本题的关键是利用割补的办法计算出不规则铁皮的面积． 11．如图，△ABC，△ADE均是等腰直角三角形，BC与DE相交于F点，若AC＝AE＝1，则四边形AEFC的周长为 2 ．

【分析】根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的判定得到BE＝EF＝CF＝CD，于是得到四边形AEFC的周长＝AB+AC． 【解答】解：∵△ABC，△ADE均是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠D＝45°，∠BEF＝∠DCF＝90°， ∴△BEF，△DCF均是等腰直角三角形， ∴BE＝EF＝CF＝CD，

∴四边形AEFC的周长＝AE+EF+AC+CD＝AB+AC， ∵AC＝AE＝1， ∴AB＝AD＝

，

，

∴四边形AEFC的周长＝AE+EF+AC+CD＝AB+AC＝2故答案为：2

．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．

- 12 -

12．D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，如图，△ABC是边长为6的等边三角形，则AE＝ 2 ．

【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题； 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝90°，∵BD＝2， ∴EB＝2BD＝4，

∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2， 故答案为2

【点评】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，AD＝4，线段CE的长为 1.4 ．

【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，求得AB，根据相似三角形的性质得到结论． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AB＝2AD＝8，∠ADE＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△ACB，

- 13 -

∴，

∴AC＝6.4， ∴CE＝1.4， 故答案为：1.4．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握的线段垂直平分线性质是解决问题的关键． 14．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝

．

【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BD为中线，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB， ∴∠E＝30°＝∠DBC， ∴BD＝DE，

∵BD是AC中线，CD＝1， ∴AD＝DC＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝即DE＝BD＝故答案为：

， ．

＝

，

【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．

- 14 -

15．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程． 已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P 作法：如图， （1）在直线l上任意两点A、B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ，所以直线PQ就是所求作的垂线．该作图的依据是 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ． 【分析】由AP＝AQ、BP＝BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l． 【解答】解：由作图可知AP＝AQ、BP＝BQ，

所以点A、B在线段PQ的中垂线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 所以PQ⊥l，

故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ 22° ．

【分析】根据折叠的性质即可得到AD＝PD＝BD，可得CD＝AB＝AD＝BD，根据∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，即可得出∠BCP＝2∠BCD＝112°，即可得出∠ACP＝112°﹣90°＝22°． 【解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD， ∴D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD＝BD，

∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°， ∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，

- 15 -

∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°， 故答案为：22°．

【点评】本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°． 三、解答题（共6小题，满分52分）

17．（9分）（1）请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．

（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） （2）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．

【分析】（1）根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可； （2）根据直角三角形的全等判定证明即可． 【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， 在Rt△ADB与Rt△BCA中，∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）， ∴BC＝AD．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据直角三角形的全等判定即可．18．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船向南偏东45°方向航行，乙轮船以每小时15

海里的速度向南偏西45°方向航行，2小时后两艘轮船之间的距离为50海里，问甲轮船平均每小时航行多少海里？

，

- 16 -

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可． 【解答】解：根据题意知∠AOB＝90°， OB＝2×15＝30海里，AB＝50海里， 由勾股定理得，OA＝则甲轮船每小时航行

＝

＝20海里．

＝

＝40海里，

答：甲轮船每小时航行20海里．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 19．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置） （3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，使得PB＝PC； （3）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC，代入数据求解即可． 【解答】解：（1）所作图形如图所示：

- 17 -

（2）如图所示，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P， 此时PB＝PC；

（3）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC ＝×5×2+×5×1 ＝

．

【点评】本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接． 20．（7分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，且DF＝6，求BE的长．

【分析】由折叠的性质可知BE＝EF，设BE＝EF＝x，然后再依据勾股定理的逆定理可证明△ADF为直角三角形，则E、D、F在一条直线上，最后，在Rt△CED中，依据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处， ∴∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF＝8，BE＝FE． 在△ADF中，

22

∵AF+DF 22＝6+8

＝100

- 18 -

22＝10＝AD，

∴△ADF是直角三角形，∠AFD＝90°． ∴D，F，E在一条直线上．

设BE＝x，则EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x， 在Rt△DCE中，∠C＝90°，

222

∴CE+CD＝DE，

222

即 （10﹣x）+8＝（6+x）．

∴x＝4． ∴BE＝4．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理的定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 21．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；

（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C＝∠AED＝35°；

（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝7cm， 即2DE+2EC＝7cm，

- 19 -

∴DE+EC＝DC＝3.5cm．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． 22．（12分）概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成

两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用 （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°． 求证：CD为△ABC的等角分割线．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

【分析】（1）根据“等角三角形”的定答；

（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝“等角三角形”的定义证明；

（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”； （2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60° ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80° ∵CD为角平分线，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA，

∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，

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∠ACB＝40°，根据

∴∠BDC＝∠ACB，

∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B，

∴CD为△ABC的等角分割线；

（3）当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°， ∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，

当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∠BCD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝69°+42°＝111°，

当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°， ∴∠ACB＝92°，

当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+42°＝x， 解得，x＝74°，

∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°， ∴∠ACB＝106°，

∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．

【点评】本题“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

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