lingo例题

解：设两种产品的生产量分别为x1和x2，则 目标函数 maxz200x1300x2

x1100,x120,2约束条件 

x2x160,21xi0,i1,2.例1.1.2 基金的优化使用（2001年数学建模竞赛C题）

假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金，打算将其存入银行，校基金会计划在n年末仍保留原基金数额.银行存款税后利率见表

银行存款税后利率表 存期 1年 2年 3年 5年 税后年利率% 1.8 2.16 2.592 2.88 校基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额,请在M5000万元,n5年的情况下设计具体存款方案.

解:分析：假定首次发放奖金的时间是在基金到位后一年，以后每隔一年发放一次，每年发放的时间大致相同，校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额，且在n年末仍保留原基金数额M，实际上n年中发放的奖金额全部来自于利息。如果全部基金都存为一年定期，每年都用到期利息发放奖金，则每年的奖金数为50000.01890万元，这是没有优化的存款方案。显然，准备在两年后使用的款项应当存成两年定期，比存两次一年定期的收益高，以此类推。目标是合理分配基金的存款方案，使得n年的利息总额最多。 （本金+利息）/本金。 定义：收益比a于是存2年的收益比为a212.16%21.0432。按照银行存款税后利率表计算得到各存款年限对应的最优收益比见表

各存款年限对应的最优收益比 存期年限 1年 2年 3年 4年（3+1） 5年 最优收益比 1.018 1.0432 1.07776 1.09715968 1.144 经分析得到两点结论： （1） 一次性存成最长期，优于两个（或两个以上）比较短期的组合（中途转存） （2） 当存款年限需要组合时，收益比与组合的先后次序无关。

建立模型 把总基金M分成5+1份，分别用x1,x2,x3,x4,x5,x6表示，其中

x1,x2,x3,x4,x5分别存成15年定期，到期后本息合计用于当年发放奖金，x6存5年定期，到期的本息合计等于原基金总数M。用S表示每年用于奖励优秀师生的奖金额，用ai表示第i年的最优收益比。 目标函数式每年的奖金额最大，即maxS

约束条件有3个：（1）各年度的奖金数额相等；（2）基金总数为M；（3）n年末保留原基金总额为M。 模型如下： maxS

aixiS,i1,2,3,4,5,6 s..txiM,i1a5x6M.

例1.2.1 某公司有6个供货栈（仓库），库存货物总数分别为60,55,51,43,41,52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35,37,22,32,41,32,43,38。各供货栈到8个客户处的单位货物运输价见表 客户 货栈 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 9 2 3 1 5 3 W1 6 2 6 7 4 2 5 W2 4 9 5 3 8 5 8 W3 5 2 1 9 7 4 3 W4 7 6 7 3 9 2 7 W5 2 3 9 5 7 2 6 W6 5 5 2 2 8 1 4 试确定个货栈到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。 解：引入决策变量xij，代表从第i个货栈到第j个客户的货物运量。用符号cij表示从第i个货栈到第j个客户的单位货物运价，ai表示第i个货栈的最大供货量，

dj表示第j个客户的订货量。

目标函数是总费用最少。 约束条件有三条：（1）各货栈运出的货物总量不超过其库存数；（2）各客户收到的货物总量等于其订货量；（3）决策变量非负。 数学模型为：minzcijxij

i1j1688xijai,i1,2,6j16s..txijdij,j1,2,8 i1xij0,i1,2,6,j1,2,8例1.5.2 员工时序安排模型。某项工作一周7天都需要有人上班，周一至周日所需的最少人数为分别20、16、13、16、19、14和12。要求员工一周连续工作5天然后休息2天，试求每周所需最少总人数，并给出安排（注意这是稳定后的情况）

解：设周一至周日分别安排xi(i1,2,,7)个人上班，其中周一上班的人必在周五、周六休息，以此类推。合理安排轮休可使既满足每天所需的最少人数，又使总人数最少。

设总人数为z，在周一有多少人上班呢？除了周二和周三开始上班的人正在休息中，其他人都在上班，在岗人数为：zx2x3，应满足不等式：zx2x3r1 其中r1是周一所需最少上岗人数，以此类推。 建立数学模型：

目标函数：minzxi

i17约束条件：zxi1xi2rii1,2,,5

当i6时，上述不等式写成zx7x8r6，同理，当i7时，不等式写成由于一周七天的工作日在周而复始地轮转，故x8相当于x1，x9相zx8x9r7，当于x2，利用@wrap(i1,7)和@wrap(i2,7)可以把8转换为1，把9转换为2，于是约束条件可以写成zx@wrap(i1,7)x@wrap(i2,7)ri,i1,2,,7。

例1.5.4 整数规划。在例1.5.2的员工时序安排模型中，如果周一至周日所需的最少人数改为20、12、18、16、19、14和12，重新求解。

例1.5.5 背包问题。某人打算外出旅游并登山，路程比较远，途中要坐火车和飞机，考虑要带许多必要的旅游和生活用品，如照相机、摄像机、食品、衣服、雨具、书籍等，共n件物品，重量分别为ai，而受航空行李重量，以及个人体力所限，能带的行李总重量为b，n件物品的总重量超过了b，需要裁减，该旅行者为了决策带哪些物品，对这些物品的重要性进行了量化，用ci表示，试建立

该问题的数学模型。这个问题成为背包问题。

解：若引入0-1型决策变量xi，xi1表示物品i放入背包中，否则不放，则背包问题等价于如下0-1线性规划：

maxzcixi

i1naixib,s..t xi1or0,i1,2,,n假设现有8件物品，他们的重量分别为1，3，4，3，3，1，5，10（kg），价值分别为2，9，3，8，10，6，4，10（元），假如总重量不超过15kg，试决策带哪些物品，使所带物品的总价值最大。

例1.5.6 生产计划安排问题（@if函数的应用）。某企业用A,B两种原油混合加工成甲、乙两种成品油销售。数据见下表，表中百分比是成品油中原油A的最低含量。 甲 乙 现有库存量 最大采购量 A >=50% >=60% 500 1650 B 800 1200 成品油甲和乙的销售价与加工费之差分别为5和5.6（单位：千元/吨），原油A，B的采购价分别是采购量x（单位：吨）的分段函数f(x)和g(x)（单位：千元/吨），该企业的现有资金限额为7200（千元），生产成品油乙的最大能力为2000吨。假设成品油全部能销售出去，试在充分利用现有资金和现有库存的条件下，合理安排采购和生产计划，使企业的收益最大。

0x500,x,0x400,4x,3.2f(x)5003x,500x1000, g(x)2402x.6,4x00 800,15002x,x1000.8801x.8,x800.解：设原油A,B的采购量分别为x,y，原油A用于生产成品油甲、乙的数量分别为x11,x12，原油B用于生产成品油甲、乙的数量分别为x21,x22，则采购原油A，B的费用分别为f(x)和g(x)，目标函数是收益最大，约束条件有采购量约束，生产能力约束、原油含量约束、成品油与原油的关系、资金约束。建立规划模型

如下：

maxz5(x11x21)5.6(x12x22)f(x)g(x)

x1650,y1200,xx2000,1222x11x21,x121.5x22,s..t

xxx500,1112x21x22y800,f(x)f(y)7200.