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(完整版)八年级数学上册同步练习题及答案

来源：意榕旅游网

12.1.1平方根（第一课时）

◆随堂检测

1、若x=a，则叫的平方根，如16的平方根是，2、2

72的平方根是 93表示的平方根，12表示12的

3、196的平方根有个，它们的和为 4、下列说法是否正确？说明理由（1）0没有平方根；（2）—1的平方根是1；（3）的平方根是8；（4）5是25的平方根；（5）366 5、求下列各数的平方根

（1）100（2）(2)(8)（3）1.21（4）115 49◆典例分析

例若2m4与3m1是同一个数的平方根，试确定m的值

◆课下作业

●拓展提高

一、选择

1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（）

A、49B、441C、7或21D、49或441 2、(2)的平方根是（）

A、4B、2C、-2D、2 二、填空

3、若5x+4的平方根为1，则x= 4、若m—4没有平方根，则|m—5|= 5、已知2a12的平方根是4，3a+b-1的平方根是4，则a+2b的平方根是

三、解答题

6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解（1）求a的值（2）a的平方根 7、已知

2x1+∣x+y-2∣=0求x-y的值

●体验中考

1、（09河南）若实数x，y满足

x2+(3y)2=0，则代数式xyx2的值为

2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有个 3、（08荆门）下列说法正确的是（）

A、的平方根是8B、-1的平方根是1 C、-8是的平方根D、(1)没有平方根

◆随堂检测

1、

9的算术平方根是；81的算术平方根_____ 25x2有意义，则x的取值范围是，若a≥0，则a0 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3、若4、下列叙述错误的是（）

A、-4是16的平方根B、17是(17)的算术平方根 C、

211的算术平方根是D、0.4的算术平方根是0.02

8◆典例分析

例：已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足a3|b4|0，求c的取值范围

分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围

◆课下作业

●拓展提高

一、选择

1、若m22，则(m2)的平方根为（）

A、16B、16C、4D、2 2、16的算术平方根是（）

A、4B、4C、2D、2 二、填空

3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是 4、若2x2+(y4)2=0，则yx=

三、解答题

5、若a是(2)的平方根，b是16的算术平方根，求a+2b的值 6、已知a为170的整数部分，b-1是400的算术平方根，求

22ab的值

●体验中考

．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（） A．a1

B．a1

2 C．a21

D．a1

2、（08年泰安市）88的整数部分是；若a<573、（08年广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，

化简a2b2(ab)2= 2

4、（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.

12.1.2立方根

◆随堂检测

1、若一个数的立方等于—5，则这个数叫做—5的，用符号表示为，—的立方根是，125的立方根是；的立方根是—5.

2、如果x=216，则x=. 如果x=，则x=. 3、当x为时，

333x2有意义.

4、下列语句正确的是（）

A、的立方根是2B、3的立方根是27 C、

822的立方根是D、(1)立方根是1 273典例分析例若

32x135x8，求x2的值.

●拓展提高

一、选择

1、若a(6)，b(6)，则a+b的所有可能值是（）

A、0B、12C、0或12D、0或12或12

22332、若式子

A、a二、填空

2a131a有意义，则a的取值范围为（）

11B、a1C、a1D、以上均不对 223、的立方根的平方根是

4、若x16，则（—4+x）的立方根为三、解答题

5、求下列各式中的x的值（1）125(x2)=343（2）(1x)323163 6、已知：3a4，且(b2c1)2c30，求3ab3c3的值

●体验中考

1、（09宁波）实数8的立方根是 2、（08泰州市）已知a0，a，b互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组是（）

A、3a与3bB、a+2与b+2C、

a2与b2D、3a与3b

3、（08益阳市）一个正方体的水晶砖，体积为100cm，它的棱长大约在（） A、4～5cm之间B、5～6cm之间C、6～7cm之间D、7～8cm之间

12.2实数与数轴

◆随堂检测

••2231、下列各数：32，，27，1.414，，3.12122，9，3.1469中，无理数有个，

73有理数有个，负数有个，整数有个. 2、33的相反数是，|33|=

75的相反数是，12的绝对值=

3、设3对应数轴上的点A，5对应数轴上的点B，则A、B间的距离为 4、若实数aA.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数 C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.

◆典例分析

例：设a、b是有理数，并且a、b满足等式a2b2b52，求a+b的平方根

◆课下作业

●拓展提高

一、选择

1、如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的实数为（）

A．2－1B．1－2C．2－2D．2－2 2、设a是实数，则|a|-a的值（）

A．可以是负数B．不可能是负数C．必是正数D．可以是整数也可以是负数二、填空

3、写出一个3和4之间的无理数 4、下列实数

7，，0，49，21，311…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m1903个有理数，n个无理数，则nm= 三、解答题

5、比较下列实数的大小（1）|8|和3（2）25和0.9（3）

517和 286、设m是13的整数部分，n是13的小数部分，求m-n的值.

●体验中考

．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1和3，

点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（） A．23 C．23

B．13 D．1

C A O B 3 （第46题图）

．（2011年湖南长沙）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1a|a2的结果为（）

a 0 A．1

C．12a

D．2a1

B．1

3、（2011年江苏连云港）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）

A．ab0 C．ab0

B．ab0 D．

b 10 0 a 1 （第8题图）

a0 b4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（）

A.2B.2C.

11D. 22§13.1幂的运算

1.同底数幂的乘法

试一试

()（1）2×２＝（）×（）＝２

34；

（2）53×５4＝5

()；（3）a

3·a4＝a()．

概括：am·an＝（）（）

＝＝amn．

可得am·an＝amn这就是说，同底数幂相乘，．

例1计算：

（1）103×１０4；（2）a·a3；（3）a·a3·a5．

练习

1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．

（1）a·a

2＝a2；（2）a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．

2.计算：

（1）102×105；（2）a3·a7；（3）x·x5·x7．

3．填空：

（1）a叫做a的m次幂，其中a叫幂的________，m叫幂的________；

（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c，指数为3，这个数为________；

m （3）(2)表示________，2表示________；

（4）根据乘方的意义，a＝________，a＝________，因此a34344a4＝()()()

同底数幂的乘法练习题

1．计算：（1）a4a6（2）bb5

2 （3）mm （5）a （7）qmm3（4）cc3c5c9

anap（6）tt2m1 q（8）nn2p1np1

n1 2．计算：（1）b3b2（2）(a)a3

2 （3）(y) （5）34(y)3（4）(a)3(a)4

32（6）(5)7(5)6

2n （7）(q) （9）23(q)3（8）(m)4(m)2

（10）(2)4(2)5

9 （11）b(b)6（12）(a)3(a3)

25336 3．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）236；（2）aaa；（3）yy2y22nn2n3；（4）mmm；

224 （5）(a)(a)a；（6）a333a4a12；

6 （7）(4)4；（8）7777；（9）a4；（10）nnn． 4．选择题：（1）a2m222323可以写成（）．A．2am1B．a2ma2C．a2ma2D．a2am1

44 （2）下列式子正确的是（）．A．334B．(3)3C．33D．34 （3）下列计算正确的是（）．

A．aaaB．aaa

4444844443C．aa2aD．a4444a4a16

2.幂的乘方

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝×＝２()；（2）（32）3＝×＝３()；（3）（a3）4＝×××＝a()．

概括

（am）n＝（n个）＝（n个）=amn

可得（am）n＝amn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，．

例2计算：

（1）（103）5；（2）（b3）4．

练习

1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．

（1）（a3）5＝a8；（2）a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9． 2.计算：

（1）（2）；（2）（y）；（3）（x）；（4）（y）·（y）． 3、计算:

22233223（1）x·（x2）3（2）（xm）n·（xn）m（3）（y4）5－（y5）4

（4）（m3）4+m10m2+m·m3·m8（5）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2 （6）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2（7）（m3）4+m10m2+m·m3·m8

幂的乘方

一、基础练习

1、幂的乘方,底数_______,指数____.（am）n=___(其中m、n都是正整数) 2、计算：（1）（23）2=_____；（2）（－22）3=______；（3）－（－a3）2=______；（4）（－x2）3=_______。 3、如果x2n=3，则（x3n）4=_____． 4、下列计算错误的是（）．

A．（a5）5=a25B．（x4）m=（x2m）2C．x2m=（－xm）2D．a2m=（－a2）m

5、在下列各式的括号内，应填入b4的是（）．

A．b12=（）8B．b12=（）6C．b12=（）3D．b12=（）2

6、如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（）．

A．（1－2b）6B．（1－2b）9C．（1－2b）12D．6（1－2b）6

7、计算（－x5）7+（－x7）5的结果是（）．

A．－2x12B．－2x35C．－2x70D．0

二、能力提升

1、若xm·x2m=2，求x9m=__________2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。 3、已知am=2,an=3,求a2m+3n=______，4、若4×83=2x，求x的值。

5、已知a=2，b=3，求（a）－（b）+a·b的值． 6、若2=4，27=3，试求x与y的值．

7、已知a=3，b=4，c=5，请把a，b，c按大小排列． 8．已知：3=2，求39．已知x·x

m+n

m－nx

x+2

y+1

x-1

的值．

=x9，求m的值．10．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值．

3.积的乘方

试一试

（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．

概括（ab）n＝（）·（）…（）（n个）＝（）·（）

＝anbn．可得（ab）n＝anbn（n为正整数）．积的乘方，等于，再．

例3计算：

（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．

练习

1.判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3． 2.计算：

（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．

3、计算：

（1）（2×10）（2）（－2ay）

(3)a3a4a(a2)4(2a4)2（4）2(x3)2x3(3x3)3(5x)2x7 （5）（－2ab）·（－2ab）（6）[（－3mn·m）]

积的乘方

一、基础训练

32343

1．（ab）2=______，（ab）3=_______．

2．（a2b）3=_______，（2a2b）2=_______，（－3xy2）2=_______．

3.判断题（错误的说明为什么）

（1）(3ab2)2=3a2b4（2）(-x2yz)2=-x4y2z2 （3）(xy2)2=x2y4（4）(a2c3)2a4c6 (5)(a3+b2)3=a9+b6（6）(-2ab2)3=-6a3b8

4．下列计算中，正确的是（）

23431214A．（xy）3=xy3B．（2xy）3=6x3y3C．（－3x2）3=27x5D．（a2b）n=a2nbn

5．如果（ab）=ab，那么m，n的值等于（） A．m=9，n=4B．m=3，n=4C．m=4，n=3D．m=9，n=6 6．a（ab）的结果是（）

A．a11b3B．a12b3C．a14bD．3a12b

1222n()()()

7．（－abc）=______，4×8=2×2=2．

3二、能力提升

1．用简便方法计算：

（4）（－0.125）×（－12）×（－8）×（－）

3352．若x

=－8ab，求x的值。3．已知x=5，y=3，求（xy）的值．

4.同底数幂的除法

69nn3n

试一试

用你熟悉的方法计算：

（1）25÷２2＝；（2）107÷103＝；（3）a7÷a3＝（a≠0）．概括

25÷２2＝＝；107÷103=＝；a7÷a3＝＝

一般地，设m、n为正整数，m＞n，a≠0，有am÷an＝amn．

这就是说，同底数幂相除，．am÷an＝amn．

例4计算：

（1）a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．

（2）你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗? 练习

1.填空：

（1）a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3）x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7． 2.计算：

（1）a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3）m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．

3.计算：

（1）x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（－a2）3．

习题13.1

1.计算（以幂的形式表示）：

（1）93×95；（2）a7·a8；（3）35×２7；（4）x2·x3·x4．

2.计算（以幂的形式表示）：

（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5． 3.判断下列等式是否正确，并说明理由．

（1）a2·a2＝（2a）2；（2）a2·b2＝（ab）4；（3）a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7． 4.计算（以幂的形式表示）：

（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4）a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．

5.计算：

（1）x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（－a2）3．

6.计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；

（3）x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．

§13.2整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

计算：例2x3·5x2（1）3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．

概括单项式与单项式相乘，只要将它们的、分别相乘，对于只在一个单项式

中出现的字母，则作为积的一个因式．

例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米

/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少? 你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?

练习

1.计算：

（1）3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；

（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．

2.光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?

单项式与单项式相乘随堂练习题

一、选择题

1．式子x4m+1可以写成（）

A．（xm+1）4B．x·x4mC．（x3m+1）mD．x4m+x 2．下列计算的结果正确的是（）

A．（-x2）·（-x）2=x4B．x2y3·x4y3z=x8y9z

C．（-4×103）·（8×105）=-3.2×109D．（-a-b）4·（a+b）3=-（a+b）7

3．计算（-5ax）·（3x2y）2的结果是（） A．-45ax5y2B．-15ax5y2C．-45x5y2D．45ax5y2

二、填空题

4．计算：（2xy2）·（

13x2

y）=_________；（-5a3bc）·（3ac2）=________． 5．已知am=2，an=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．

6．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算．三、解答题 7．计算：

①（-5ab2x）·（-

3a2bx3

y）②（-3a3bc）3·（-2ab2）2 10③（-1x2）·（yz）3·（x3y2z2）+4x3y2·（xyz）233·（yz3）

④（-2×103）3×（-4×108）2 8．先化简，再求值：

-10（-a3b2c）2·

1a·（bc）35-（2abc）3·（-a2b2c）2，其中a=-5，b=0.2，c=2。 9．若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？四、探究题

10．若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子表示c．

2.单项式与多项式相乘

试一试

计算：2a2·（3a2－5b）．（－2a2）·（３ab2－5ab3）．

概括单项式与多项式相乘，只要将，再．练习

1.计算：（1）3x3y·（2xy2－3xy）；（2）2x·（3x2－xy＋y2）．2.化简：x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．

3、计算：

①（

xy-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1） 21xy-y2）-3x·（xy2-2x2y） 2③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1） ④-4x2·（

单项式与多项式相乘随堂练习题

一、选择题

1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（） A．-6x2-15x2-3xB．-6x3+15x2+3x C．-6x3+15x2D．-6x3+15x2-1 2．下列各题计算正确的是（）

A．（ab-1）（-4ab2）=-4a2b3-4ab2B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2

C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x

3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（）• A．6x3y2+3x2y2-3xy3B．6x3y2+3xy-3xy3C．6x3y2+3x2y2-y2D．6x3y+3x2y2

4．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（） A．2xy-2yzB．-2yzC．xy-2yzD．2xy-xz 二、填空题

5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________． 6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________．

7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________．三、解答题 8．计算：

①（

xy-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1） 21xy-y2）-3x·（xy2-2x2y） 2③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1） ④-4x2·（

9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。四、探究题

10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4

如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值．

3.多项式与多项式相乘

回忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb 概括

这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用，再把．

例4计算：

（1）（x＋2）（x－3）（2）（3x－1）（2x＋1）．

例5计算：

（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．

练习

1.计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）

（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．

2.小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?

习题13.2

1.计算：

（1）5x3·8x2；（2）11x12·（－12x11）；

（3）2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．

2.世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?

3.计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2）5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)． 4.化简：

（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）． 5.一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少? 6.计算：

（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；

（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．

13.5因式分解（1）

一、基础训练

1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（） A．-1-3x+4yB．1+3x-4yC．-1-3x-4yD．1-3x-4y 2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（） A．-6ab2cB．-ab2C．-6ab2D．-6a3b2c 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（）

A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y） C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x） 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2）B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b） C．ma-mb+c=m（a-b）+cD．（a+b）2=a2+2ab+b2 5．下列各式从左到右的变形错误的是（） A．（y-x）2=（x-y）2B．-a-b=-（a+b） C．（m-n）3=-（n-m）3D．-m+n=-（m+n）

6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（） A．-14B．-6C．6D．4

7．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________． 8．因式分解：

（1）3x2-6xy+x；（2）-25x+x3；

（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）；（4）（x-2）（x-4）+1．二、能力训练

9．计算×99+45×99+99=________．

10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______． 11．若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为（） A．

1111B．-C．D．- 4422m的值． 2n12．若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求

13．利用整式的乘法容易知道（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是：

如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢？用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解．

14．由一个边长为a的小正方形和两个长为a，宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式． 15．说明817-299-913能被15整除．

参

1．D点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）．

2．C点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，•字母指数找最低的． 3．C点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2，D中括号内少项．

4．B点拨：分解的式子必须是多项式，而A是单项式；•分解的结果是几个整式乘积的形式，C、D不满足．

5．D点拨：-m+n=-（m-n）．

6．C点拨：因为（x-3）（x-2）=x2-5x+6，所以m=6． 7．（1）x（x+2）（x-2）；（2）axy（x+y）． 8．（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）；

（2）-25x+x3=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）；（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）=9x2（a-b）-4y2（a-b） =（a-b）（9x2-4y2）=（a-b）（3x+2y）（3x-2y）；（4）（x-2）（x-4）+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3）2．

9．9900点拨：×99+45×99+99=99（+45+1）=99×100=9900．

10．1点拨：∵a2+b2+5=4a-2b，

∴a2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0，所以a=•2，b=-1，（a+b）2006=（2-1）2006=1．

11．A点拨：因为x2-x+

111=（x-）2，所以k=． 42412．解：m2+2mn+2n2-6n+9=0，（m2+2mn+n2）+（n2-6n+9）=0，（m+n）2+（n-3）2=0， m=-n，n=3， ∴m=-3．

m31==-． n232313．解：m3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n2（m-n）=（m-n）（m2+n2）． 14．a2+2ab=a（a+2b），a（a+b）+ab=a（a+2b），a（a+2b）-a（a+b）=ab， a（a+2b）-2ab=a2，a（a+2b）-a2=2ab等．点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来．

15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13

=328-327-326=326（32-3-1）=326×5 =325×3×5=325×15，故817-279-913能被15整除．

13.5因式分解（2）

1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________． 2．把下列多项式进行因式分解

（1）9x2-6xy+3x；（2）-10x2y-5xy2+15xy；（3）a（m-n）-b（n-m）． 3．因式分解：

（1）16-

121m；（2）（a+b）2-1；（3）a2-6a+9；（4）x2+2xy+2y2． 2524．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（） A．（x+2）（x-2）=x2-4B．x2-2x+1=x（x-2）+1

C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b） 5．因式分解：

（1）3mx2+6mxy+3my2；（2）x4-18x2y2+81y4；（3）a4-16；（4）4m2-3n（4m-3n）．

6．因式分解：

（1）（x+y）2-14（x+y）+49；（2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）． 7．用另一种方法解案例1中第（2）题． 8．分解因式：

（1）4a2-b2+6a-3b；（2）x2-y2-z2-2yz．

9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式ac-bc+a2-ab的值．

参

1．3a3b2

2．（1）原式=3x（3x-2y+1）；

（2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）；（3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）．

点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，•一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号． 3．（1）16-

111221m=4-（m）2=（4+m）（4-m）；

55525（2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）；（3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2；（4）

12111x+2xy+y2=（x2+4xy+4y2）=[x2+2·x·2y+（2y）2]=（x+2y）2． 2222点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，•则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）•符合完全平方公式的形式．

4．C点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C．

5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2；（2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2

=（x2-9y2）2=[x2-（3y）2]2 =[（x+3y）（x-3y）]

=（x+3y）2（x-3y）2；

（3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）；

（4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．

点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式． 6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2；（2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；（3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2 =（2m-3n）2．

7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2．

8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）；（2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）．

9．∵a-b=3，b+c=-5，

∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a）=3×（-2）=-6．

因式分解方法研究系列

三、十字相乘法(关于x1、因式分解以下各式：

1、x5x6；2、x6x5；3、xx6；4、x2x15 2、因式分解以下各式： 1、x3222222pqxpq的形式的因式分解)

5x36；2、x46x45；

223、2a3b2a3b6；4、x42x215

2、因式分解以下各式：

1、x3x10；2、x5x6；3、x4xy12y；4、xxy2y 3、挑战自我：

1、

2422222x24x2x4x15；2、xx14x2x24

2222数学当堂练习(1)姓名

计算(1)(-2a)2(3ab2-5ab3)(2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5) (3)3(m+n)(m+n)4+3(-m-n)3(m+n)2

数学当堂练习(2)姓名

计算(1)(x-y)3÷(y-x)2= (2)3a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1)(3)5xy[4xy-6((4)(2x-3)(x+4)(5)(3x+y)(x一2y)

11xy-xy2)]

32数学当堂练习(3)姓名

计算(1)(3x-5)(2x+3)(2)5x(x-2)-(x-2)(x+4) 解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y2-(3y-1)(y+3)-11

数学当堂练习(4)姓名

计算（1）（1-xy）(-1-xy)(2)(a+2)(a-2)(a2+4) (3)(x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y)(4)6

12×5 33数学当堂练习(5)姓名

计算(1)(2x-1)2-(2x+1)2(2)(2x-1)2(2x+1)2 (3)(2x)2-3(2x+1)2(4)(2x+y–3)2 (5)(m–2n+3)(m+2n+3)

数学当堂练习(6)姓名

计算(1)(1+x+y)(1-x–y)(2)(3x-2y+1)2

（3）已知(x+y)2=6(x-y)2=8求(1)(x+y)2(2)xy值（4）（x-2）(x2+2x+4)(5)x(x-1)2-(x2–x+1)(x+1)

数学当堂练习(7)姓名

计算(1)(-2m-1)2(2)(3x-2y+1)2

(3)(3s-2t)(9s2+6st+4t2)(4)-21a2b3c÷7a2b2 (5)(28a4b2c-a2b3+14a2b2)÷(-7a2b)(6)(x2y-

xy-2xy)÷xy 2数学当堂练习(8)姓名

一．计算(1)(16x3-8x2+4x)÷(-2x)(2)(x2x3)3÷(-x3)4 二。因式分解(1)2x+4x

12(2)5(a-2)–x(2-x)

(3)

-12m2n+3mn2

18.1勾股定理

1.在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（） A．c=a+bB．a=（b+c）（b-c）C．a=c-bD．b=a+c 知识点：勾股定理

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。答案：B

详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b=a+c。a=（b+c）（b-c）可变形为b=a+c，所以选B

1.下列说法正确的是（）

A.若a、b、c是△ABC的三边，则a＋b＝c； B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a＋b＝c；

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a＋b＝c；

D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则c-b＝a。

答案：D

详细解答：A是错的，缺少直角条件；

B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方； C也是错的，既然A90，那么a边才是斜边，应该是a＝c＋b

D才是正确的，C90，那么c＝a+b，即c-b＝a.

2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是()

A.9英寸(23cm)B.21英寸(cm)C.29英寸(74cm)D.34英寸(87cm) 知识点：勾股定理的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。答案：C 详细解答：

如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即46cm，即AB=46cm。在直角三角形

ABC

中，BC=58cm,AB=46cm,那么

BC=58cm；宽为

AC=BC+AB=57+46=5365，所以AC=74cm，选C。

2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距()

A.50cmB.80cmC.100cmD.140cm 答案：C 详细解答：

如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，由题意可知两个方向互相垂直，

所以AC=AB+BC=60+80=10000，所以AC=100cm

3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比A.1:1:2B.1:1:2C.1:2:3D.1:4:1 知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形

知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。答案：A 详细解答：

三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、45°，如

222

答图，假设AB=1，那么BC=1，AC=AB+BC=1+1=2，所以AC=2，三条边的比

22222

是()

是1:1:2。 3．已知△ABC中，∠A=

11∠C=∠B，则它的三条边之比为（）．

32A．1：1：2B．1：3：2C．1：2：3D．1：4：1 答案：B

详细解答：△ABC中，∠A=∠B=90°，画出答图。

假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB=AC-BC=4-1=3，所以因此三边的比为1：3：2。

4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（）

（A）15°

（B）30°

（C）45°

（D）不能确定

11∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠

32C=60°，

AB=

3，

知识点：勾股定理在数学中的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C

详细解答：由勾股定理得AC2

=BC2

+AB2

，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2

=2AB×BC，所以BC2

+AB2

=2AB×BC，得（BC-AB）2

=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。 4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP•′重合,如果AP=3,那么PP′长为（）

（A）4 （B）5 （C）6

（D）18 答案：D

详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP•′重合”知，△ABP≌△ACP•′，所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，

在直角三角形APP′中，PP′2=AP′2+AP2=32+32

=18，所以PP′=18 5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）

A．2B．-2C．2D．-2 知识点：认识长度为无理数的线段

知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段答案：B

详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2

=2，所以CD=2，CA=CD=2，因此点A所表示的数

为-2

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A.0B.1C.2D.3 A

答案：C

详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么C

AB2

=AD2

+BD2

=26，AB=26

在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么222B BC=BE+CE=13，BC=13 在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2

=25，AC=5 所以边长为无理数的边是：AB和BC

6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（） A．5

B．25

C．7

D．5或

知识点：两解问题

知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。答案：D

详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为

7。

6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是() A.42B.32C.42或32D.37或33 答案：C

详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，

在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD=AB-AD=81，BD=9 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD=AC-AD=25，CD=5 所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42 若高AD在△ABC外部，如图，

在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD=AB-AD=81，BD=9 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD=AC-AD=25，CD=5 所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32 所以选C.

7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，至少飞行（）（A）6m

（B）8m

（C）10m

（D）18m

知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题

知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题答案：C

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=8m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD=AE+DE=6+8=100，所以AB=10m。 7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险()

A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断答案：B

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，

AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD=AE+DE=3+3.9=24.21。由题意知AF=5，所以AF=25，显然AD小于AF，有危险。

8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（）. A．10mB．11mC．12mD．15m

知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题

A 2

. D 知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。答案：C

B C 详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，

∴(x+10)+5=(15-x)，解得x=2，∴10+x=12（米）所以树高12m。

8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为(). A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m 答案：A

详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹是水面，

由题意知：CD=1.5m，AD=0.5m,假设河水的深度BD为xm，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）

竿，CD

=x+1.5，解得x=2，所以河水的深度为2m

9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（）

（A）24

（B）4

（C）6

（D）12

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。答案：A（2

6也行）

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度详细解答：作AB边的高CD,如图，

在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=12；

在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以

ADBCBC=4，

AD=CD=12，

222

那么利用勾股定理得AC=AD+CD=24,所以AC=24；

小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)

9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（）。

（A）20 （C）63

（B）103 （D）16

答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到248-12就可以了)

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。

详细解答：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

22222

∴BE=AE-AB=8-4=48，BE=48=43。

ADEBC 22222

∵DE=CE-CD=4-2=12，∴DE=12=23。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

1111AB·BE-CD·DE=×4×48-×2·12=248-12=63 2222小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。

10.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）

AECDBA.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用

知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。答案：B

详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。

因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),

在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm，那么（8-x）=x+4，解得x=3 所以CD=3cm

10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长()．

（A）3cm （C）5cm 答案：A 详细解答：

由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF＝AF－AB

（B）4cm （D）6cm

＝10－8＝6，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．

在Rt△CEF中，EF＝CF＋CE，用这个关系建立方程:(8－x)＝4＋x 解得x＝3，即CE的长为3cm．

18.2勾股定理的逆定理

1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于() A.22B.23 C.6D.2

236 知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C

详细解答：作BC边上的高AD,

△ ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3，利用勾股定理可得AC=6。

CD=

C1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，线段AB长为（）。 A.2B.3 C.4D.33 答案：C

BA3，

D分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由ABAC2BC2，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。

详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，

小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足ac－bc=a－b，则它的形状为

A．直角三角形

B．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形

知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状

知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。答案：D

222244

详细解答：∵ac－bc=a－b，∴左右两边因式分解得c(ab)(ab)(ab)

2222222∴(ab)(cab)0∴ab0或cab0，

2222222222即ab或c2a2b2，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)+︱a-b-c︱=0，则△ABC是（）

（A）等腰三角形

（B）直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形

（C）等腰直角三角形答案：C

详细解答：∵(c-b)+︱a-b-c︱=0，∴c-b=0且a-b-c=0即c2

b且c2a2b2，

所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案：C

详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。 3．在下列说法中是错误的（）

A．在△ABC中，ACmn、BC=2mn、AB=mn（m、n为正整数，且mn），则△ABC为直角三角形.

B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形. C．在△ABC中，若abc，则△ABC为直角三角形. D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形. 答案：B

详细解答：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝

不是直角三角形。

△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a＋b＝25k＋144k＝169k，c＝(13k)＝169k，所以，a＋b＝c，△ABC是直角三角形． 4.下列各命题的逆命题不成立的是()

A.两直线平行,同旁内角互补；B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

222222251800750 12C.对顶角相等D.如果a=b,那么a=b 知识点：互逆命题

知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。答案：C

详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。 4．下列命题的逆命题成立的是（）

（A）若a=b，则ab （B）全等三角形的周长相等（C）同角（或等角）的余角相等（D）若a=0，则ab=0 答案：C

详细解答：（A）的逆命题是：若ab，则a=b。不一定成立，也可能a=-b

（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。

5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，

离开港口2小时后，两船相距（）

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里知识点：勾股定理的实际应用题

知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。答案：D

详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形， AC=32海里，AB=24海里，

根据勾股定理得BC=AC+AB=32+24=1600，所以BC=40（海里）

5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细

木条

（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）

A．

41cmB．34cmC．50cmD．53cm

答案：C

详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm

在Rt△ACB中，AC和BC是直角边，AB是斜边，AB=AC+CB=41, 在Rt△ADB中，AB和BD是直角边，AD是斜边，AD=AB+BD

D木条的

B=41+9=50,所以AD=50cm

6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（） A．直角三角形B．锐角三角形

CBAC．钝角三角形D．以上答案都不对知识点：网格问题，勾股定理和逆定理

A知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形答案：A

详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。在Rt△BCD中，CD=1，DB=8，那么CB=CD+BD=65，在Rt△ACE中，AE=2，CE=3，那么AC=AE+CE=13，在Rt△ABF中，AF=6，BF=4，那么AB=AF+BF=52，所以，在△ABC中，AC+AB=13+52=65，

又CB=65，所以，AC+AB=CB，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形 6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是() A.25B.12.5 C.9D.8.5 答案：B 详细解答：S=5×5-四边形EFGH

AD2

CB=SABCD-S△DEF-S△CFG-S△BGH-S△AEH

1111×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.5 22227.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（）

A.36B.25 C.24D.30

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应

用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A

分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形. 详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，

AC=AB＋BC=3＋4=25，∴AC=5. 在△ACD中，∵AC＋CD=25＋12=169，

又∵AD=13=169，

∴AC＋CD=AD，∴∠ACD=90°．

故S=

四边形ABCD

=S△ABC＋S△ACD=1AB·BC＋

21AC·CD 211×3×4＋×5×12=6＋30=36. 227．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是()。

A.10B.56 C.4答案：B

详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝5

5D.65 BA22222所以ACABBC＝2＋(5)＝9

所以AC＝3

C22D22222又因为ACAD3425，CD525

22所以ACADCD 所以∠CAD＝90° 所以

S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

11×2×5＋×3×4＝56 228.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。那么四边形ABCD的面积是()。 A.24B.36 C.18D.20

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：C

详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，

3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

AD1利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=18

2BEC8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得()。 A.15B.16C.17D.18 答案：C

详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm

∴BD＝8cm

∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm 则有：BDADAB

∴∠ADB＝90°

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm 根据勾股定理得：AC＝

B D C 222A AD2CD2＝17（cm）

9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD=AD·BD，△ABC是()。 A.直角三角形B.等腰三角形 C.不等边三角形D.等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

BDAC知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A

详细解答：∵AC=AD+CD，BC=CD+BD

∴AC+BC=AD+2CD+BD又∵CD=AD·BD

22222

∴AC+BC=AD+2AD·BD+BD=（AD+BD）=AB 所以△ABC是直角三角形。

2222

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数

（）． A.115°B.125° C.135°D.120° 答案：C

详细解答：如答图，

将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC, ∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE=PC+CE=8. 又∵PB=1，BE=9，

∴PE+PB=BE,则∠BPE=90°， ∴∠BPC=135°.

10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝A.直角三角形B.等腰三角形 C.不等边三角形D.等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

C P A B 1DC，判断△BEF为（）。 4EDFCAB知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A

详细解答：设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。

在Rt△ABE中，BE＝AB＋AE＝（4a）＋(2a)＝20a在Rt△DEF中，EF＝DE＋DF＝（2a）＋a＝5a 在Rt△BCF中，BF＝BC＋CF＝（4a）＋(3a)＝25a 所以BE＋EF＝BF 所以∠BEF＝90° 所以△BEF为直角三角形。

10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝A.直角三角形B.等腰三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A

13。△ABC为（） 2CA详细解答：

延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE ∵CD＝

DB13，DE＝CD 2∴CE＝13

∵在△ADE和△BDC中 ∴△ADE≌△BDC ∴AE＝BC＝5

在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13 即AE＋AC＝CE，∴∠EAC＝90° ∵∠EAB＝∠CBA

∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90° ∴∠ACB＝90° ∴△ACB为直角三角形

第十八章勾股定理

1.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A．a:b:c=8∶16∶17B．a-b=cC．a=(b+c)(b-c)D．a=26b=10c=24 知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案:A

详细解答:A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，

a＋b＝k＋256k＝320k，c＝(17k)＝2k，所以，a＋b≠c，这个三角形不是直角三角形．

B．a-b=c即a=c+b，这个三角形是直角三角形．

222C．a=(b+c)(b-c)即a=b-c，所以a+c=b，这个三角形是直角三角形．

D．a=26，b=10，c=24，那么c+b=10+24=676，a=26=676，所以a=c+b，这个三角形是直角三角形． 1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请

你帮他找出来，是（）．（A）13、12、12 答案:C

详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。 2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（） A、8B、10 C、12D、16

知识点：勾股定理在数学上的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边

的平方和

（B）12、12、8

（C）13、10、12

（D）5、8、4

2222222

等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。答案:D

详细解答:在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD=AC-AD=，CD=8. △ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=16

2、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（） A、3B、18C、4D、5 答案:B（32也可）

详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，由A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道 AC=3,BC=3,所以AB=AC+BC=9+9=18

因此AB=18

3、王英同学从C地沿北偏东60方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（）

A、10米B、12米C、15米D、300米知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。答案:D（103也可）

详细解答:根据题意画出如图所示的示意图，由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=30,

CE东0

北B在Rt△BCE中，CB=10米,∠BCE=30,那么BE=5米，因为BC=BE+CE，所以CE=75。

在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD=DE+CE=75+225=300，所以CD=300米.

3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长的木棒为()

A.20cmB.50cm C.40cmD.45cm 答案:C

详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，

D32cm

24cm 由题意知在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=32cm，那么AB=AC+BC=24+32=1600，所以AB=40cm

4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．

A．

32335B．3C．D． 222知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。

知识点的描述:含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1：3：2，应用它来解决问题方便快捷。答案:D

详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，那么BC=

11,根据勾股定理求出AC=223,

所以周长1+

11+223=33 24．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于()

A．1∶1 C．3∶2 答案:D

详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE,∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°, ∵CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶3

5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a+b+c+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状()。

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

知识点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。答案:A

详细解答:∵a+b+c+338=10a+24b+26c,∴a-10a+25+b-24b+144+c-26c+169=0 ∴(a-5)+（b-12）+（c-13）=0∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。

5、△ABC的三边a,b,c满足abcabbcac则△ABC是（） A、等边三角形B腰底不等的等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案:A

详细解答:∵abcabbcac

∴2a2b2c2ab2bc2ac

∴a2abbb2bcca2acc0 ∴(ab)(bc)(ac)0 ∴abc

∴△ABC是等边三角形

6.一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（）Ａ.100B.110C.120D.150

知识点:对比值处理的一般方法。

2222

B．1∶2

D．2∶3

222222222222222知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便

于计算。答案:C

详细解答:∵△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵它的周长为60cm，∴5k+12k+13k=60，k=2， ∴△ABC的三边分别为a＝10cm，b＝24cm，c＝26cm， ∴a＋b＝10＋24＝676，c＝26＝676， ∴a＋b＝c，△ABC是直角三角形．

∴它的面积是

×10×24=120（cm） 26.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）

A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、10 答案:D

详细解答:斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k+12k+13k=60，解得k=2，

∴△ABC的三边分别为a＝10，b＝24，c＝26。

7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝23，BC＝2，则S△ABC等于()

A．23

知识点:多解问题

知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是

学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。答案:C

详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：

（1）若高CD在△ABC的内部，如图

在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝23，那么CD=3，利用勾股定理得AD=3 在Rt△BDC中，BC＝2，CD=3，那么利用勾股定理得BD=1 ∴S△ABC=

B．3C．3或23

D．23或43

11AB×CD=（3+1）×3=23 22（2）若高CD在△ABC的外部，如图

在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝23，那么CD=3，利用勾股定理得AD=3

在Rt△BDC中，BC＝2，CD=3，那么利用勾股定理得BD=1 则S△ABC=

11AB×CD=（3-1）×3=3 22∴S△ABC=3或23

7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为()

A．30°

答案:B

详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论：

（1）若高BD在△ABC的内部，如图在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2， ∴

B．150°B．30°或150°

D．60°或120°

BD1=，∴∠A＝30° AB2（2）若高CD在△ABC的外部，如图

在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°

BD1=， AB2∴三角形的顶角为30°或150°

8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）

A.24cm

B.36cm

C.48cm

D.60cm

知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

知识点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。答案:A

详细解答:Rt△ABC中，∠C=90°，那么a+b=c，又c=10cm，所以a+b=100 由已知a+b=14cm，得（a+b）=196，即a+b+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48 则Rt△ABC的面积是

112

ab=×48=24（cm） 228．直角三角形中一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（）

A．121 答案:B

详细解答:假设另一直角边为a，斜边为c，根据勾股定理得：c=a+11，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1 因为c+a＞c-a，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。

9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30千米/时的速度向北偏西60°的

B．132 C．100 D．不能确定

BF方向移动，距台风中心300•千米范围内是受台风影响的区域．A市是否会受到台风的影响？如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（）Ａ.8小时B.10小时

北C.12小时D.A市不会受到台风影响知识点：勾股定理在实际问题中的应用

FAB东知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。答案:C

详细解答:过A作AC⊥BF于C，则AC=∴A市会受到台风影响．过A作AD=300km，交BF于点D．

∴DC=AD2AC230022402=180（km），

FCDB东1AB=240<300， 2北A∴该市受台风影响的时间为：

1802=12小时． 309．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？Ａ.15kmB.16km C.17kmD.18km 答案:C

详细解答:如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线. 在Rt△A′DB中，A′D=AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），由勾股定理求得A′B=A'D2DB215282=17（km）

M A′ P N

牧童 A 小河

北东

B 小屋 A 10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，•已知水渠的造价为10元/米，问点多远处时，水渠D D点在距AB 的造价最低？最低造价是多少？（）

Ａ.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元 B.D点在距A点50米的地方，最低造价为300元 C.D点在距A点米的地方，最低造价为480元

D.D点在距A点米的地方，最低造价为400元知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。答案:C

详细解答:∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，那么根据勾股定理得AB=100米

当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价，作AB边的高CD ∵CD·AB=AC·BC∴CD=∴AD=ACBC8060==48（米）

AB100AC2CD2802482=（米）

∴D点在距A点米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A.450a元答案:C

B.225a元

C.150a元

20m

D.300a元

30m

150°

详细解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150°∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，

∴AD=10m，

∴三角形空地的面积为10m =150m

∵这种草皮每

种草皮至少需要150a元

11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，形ABCD的面积为()

A．47 C．53

B．49 D．60

AD＝CD＝52，则四边平方米a元，则购买这

11BC·AD=×30m×22知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。答案:B

详细解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°

∴AC=AB2BC2826210 在△ADC中，AD＝CD＝52 ∴AD+DC=（52）+（5又∵AC=10=100 ∴AD+DC=AC 所以∠ADC=90°

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

2）

=100

1111AB·BC+AD·DC=×8×6+·52·52=24+25=49 2222小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。

11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（）

A、4B、6C、8D、210

答案:B

详细解答:∵AC=10，DC=2，∴AD=8 在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，∴BD=6

12．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．

A．5B．3 C．1D．

1 2知识点:方程的思想

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。答案:B

详细解答:∵AD=2BD，∴可设BD=k，AD=2k Rt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC-AD=DC； Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC-BD=DC， ∴AC-AD=BC-BD，得方程5-（2k）=4-k 解得k=3，所以BD的长为3。

12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A.56 答案:B

详细解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，

在Rt△ADC中，AD+DC=AC ∵AD＝8，CD＝x，AC=16-x ∴8+x=（16-x）解得x=6

三角形的面积为

B.48 C.40 D.32

ABDC11AD·BC=×8×12=48 2213．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是() A.20cm;B.10cm;

AC.14cm;D.无法确定.

知识点：勾股定理在实际问题中的应用

B知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。答案:B

详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图，蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB，由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝

1×2×2=6，∠C＝90° 2∴AB=AC2BC2826210（cm）

13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能保持联系吗？（）Ａ.能B.不能答案:A

分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．

详细解答:如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，

走了12千米，即OA=12（千米）．

乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，

走了5千米，即OB=5（千米）．

在Rt△OAB中，AB=12十5＝169，∴AB=13（千米），因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．

∵15＞13，

∴甲、乙两人还能保持联系．

B O A 14、如图，∠AOB=45，点P在∠AOB的内部，OP=2，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1P2的长

（）。

A、23B、3C、22D、2 知识点：勾股定理在数学上的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。答案:C（8也可）

详细解答:∵P1与P关于OA对称，∴OP1=OP=2，∠AOP=∠AOP1 ∵P2与P关于OB对称，∴OP2=OP=2，∠BOP=∠BOP2 ∵∠AOB=45，即∠AOP+∠BOP=45， ∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=2×45=90， ∴在Rt△P1OP2中，P1P2=OP1+OP2=8 ∴P1P2=822

14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（）。（A）100π-24 （C）100π-48 答案:B

详细解答:∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10 则阴影面积为π×5-2

边的平方和条线段长度勾股定理。

（B）25π-24 （D）25π-48

1×6×8=25π-24 215．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（）

A．10

B．410

C．13

D．213

知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

知识点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。答案:D（52也可以）

详细解答:如图所示，不妨设中线AD=210，中线BE=5 假设AC=b，BC=a

在Rt△ADC中，AC+DC=AD，即b+（

化简为4b+a=160，

在Rt△BEC中，BC+EC=BE，即a+（化简为4a+b=100，

两式相加得4b+a+4a+b=160+100，即5（a+b）=260，

所以a+b=52，根据勾股定理得AB=52=213

122

a）=（210）， 2122

b）=5， 215、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（）。

A、答案:A

详细解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得

AB=17k，

4132B、C、D、

17171717又已知AB=1，所以k=

117，BC=

117，AC=

417

AB·CD=AC·BC得CD=

4 170

16、如图，△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长为（）

25B、3 81516C、D、

45A、

知识点:方程的思想和折叠问题

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用

得最多，还要特别注意利用相等的线段。答案:A

详细解答:连结AD，△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，那么AB=5 ∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD 假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x，

△ADC中，∠C=90，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴3+（4-x）=x，解得x=

25 816．已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为

EF，则△ABE的面积为（）

A.6cm B.8cm

C.10cmD.12cm 答案:A

B 详细解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x 在Rt△ABE中，3+x=（9-x），解得x=4 △ABE的面积为

2222A E D F

C 12

×3×4=6（cm） 217．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.（）Ａ.

141cmB.53cmC.53cmD.42cm 33知识点:方程的思想

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。答案:B

详细解答:由BD+DC=12+16=20=BC得CD⊥AB

又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC=AD+DC，

A D 14即(12+AD)=AD+16，解得AD=，

31故△ABC的周长为2AB+BC=53cm

B C 17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（）Ａ.10时41分B.10时30分C.10时51分D.11时答案:A

分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.

详细解答:设MN交AC于E，则∠BEC=90.

又AB+BC=5+12=169=13=AC， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90.

又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，则CE+BE=144，（13-CE）+BE=25，得26CE=288，

144. 13144144÷13=≈0.85（小时），0.85×60=51（分）. 13169∴CE=

9时50分+51分=10时41分.

答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.

B N

18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（） A.直角三角形B.等腰三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形

知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学知识和方法，设比值

为k、方程的思想、勾股定理以及逆定理，还有代数中的一些变形技巧都可能用到，要综合利用。答案:A

详细解答:在△ABP与△CBQ中，

∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60° ∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴AP＝CQ

由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60° ∴△PBQ为等边三角形 ∴PQ＝4a

222222 于是在△PQC中，PQQC16a9a25aPC

∴△PQC是直角三角形

18.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC，

Q是AB边上的一个点,AQ15,△PCQ是（）

4A.直角三角形B.等腰三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形答案:A

详细解答:设AP=x，则PD=8－x，PC=x，8x42x2，解得x=5

215=625, 在Rt△APQ中，QP=AP+AQ=5+1642

2在Rt△CBQ中，CQ=BQ+BC=415+8=,

12

21025∵QP+PC=

625210252

+5==CQ∴QPPC

1616所以△PCQ是直角三角形

◆随堂检测

1、下列几种运动属于平移的是（）

（1）水平运输带上的砖的运动；（2）啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动；（3）升降机上下做机械运动；（4）足球场上足球的运动 A．一种B．两种C．三种D．四种

2、下列图形中，由原图平移得到的图形是（）

原图 A．B．C． D．

3、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是()

A．B．C．D．

４、如图所示，△ABC平移后成为△EFB,下列说法正确的个数有：（）

EA F C B ①线段ＡＣ的对应线段是ＢＥ；②点Ｂ的对应点是点Ｃ；③点Ｂ的对应点是点Ｆ；④平移的距离是线段ＣＦ的长度。

Ａ１个Ｂ２个Ｃ３个Ｄ４个

5、卷帘门上有A、B两点，（B点在A点下方）当A点向上移1m,那么B点向移动了 m。

６、如图，经过平移圆心点O平移到了点o，你能作出平移后的圆吗？

O•O

◆ 典例分析

ABC平移后得到△DEF，如图所示，若∠A=80O,∠E=60O,你知道∠C的度数吗？说明理由。

A D B E O C F ◆课下作业

●拓展提高

1、火车在笔直的铁路上开动，火车头以100千米/时的速度前进了半小时，则车尾走的路程是（） A、100千米B、50千米C、200千米D、无法计算

2、将线段AB平移1cm,得到的线段是AB,则A到点A的距离是。

3、如图所示，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中有两个小等边三角形，其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到，则平移的方向是，平移的距离为。

A //

F EB ＤC 4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到，你能作出△ABC吗？ D EF

5、如图所示，长方形ABCD，对角线AC,BD相交于O,DE∥AC,CE∥BD,那么△EDC可以看作由平移得到的，平移的距离是线段的长度。

AOBDE C●体验中考

1、（2009年广东广州）将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（） 2、（2009年青海）如图，请借助直尺按要求画图：（1）平移方格纸中左下角的图形，使点P1平移到点P2处．（2）将点P1平移到点P3处，并画出将原图放大为两倍的图形．

P2 P3 P1

◆随堂检测

1、在下面的六幅图案中，平移（1）可得到（2）、（3）、（4）、（5）、（6）中的哪个图案？ (1)(2)(3)(4)(5)(6)

2、在下列说法中，①四边形在平移过程中，对应线段一定相等；②四边形在平移过程中，对应线段一定平行；③四边形在平移过程中，周长不变；④四边形在平移过程中，面积不变，、其中正确的是：（） A、①②③B、①②③④C、②③④D、①③④

3、平移不改变图形的和，只改变图形的

4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印（填能或不能）通过平移与右手手印完全重合。

5、将线段AB向右平移3cm得到线段CD，如果AB=5cm，则CD=cm.

6、将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG=°，BF=cm.

◆典例分析

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向

到△A’B’C’的位置。

（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；（2）若平移距离为x（

），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分

的面平移

积y，并写出y与x的关系式。

●拓展提高

1、下图中，ABC平移到了A'B'C'位置，下列结论不成立的是 A．BC(

)

B'C' B．CC'

C．AA'

D．ABA'C'

2、如图，△ABC沿着点A到A1的方向平移到△A1B1C1的位置，如果AB=5cm,BC=4cm,∠A=60∠B=50,则∠C1=,B1C1=.

A A1 B C 2

B1 C1 2

3、将面积为30cm的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是三角形，它的面积是cm. 4、如图，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长． 5、如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？ 6、△ABC经过平移后得到△DEF,(1)指出平移的方向和距离；（2）写出图中相等的线段和平行的线段(包括虚线)；（3）写出图中相等的角。 A

E F C D B

●体验中考

1、（2009年，广东）将线段AB平移1cm，得到线段AB,则点A到点A的距离是

2．(2009年福建宁德)在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是()

A．B．C．D．

///◆随堂检测

1、如右图，甲图案可以看作是乙图案通过怎样变换而得到？（）

A．先按逆时针旋转90°再平移； B．先按逆时针旋转90°再作轴对称图 C．先平移再作轴对称； D．先平移再作逆时针旋转90°

2．将字母“T”按顺时针方向旋转90°后的图形是（） 3、现象中属于旋转的有()个

①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动； ⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.

A.2B.3C.4D.5

4、如图，线段MO绕点O旋转90得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是，旋转角是，它等于度.

（第4题）（第5题）

5、如图，长方形ABCD是长方形EFGD绕旋转中心________•沿_______•旋转______度得到的，对角线AC与

EG的关系是________，理由是_________．

◆典例分析

如图，将△ABC绕点A旋转得到△AEF，指出图中的旋转中心、旋转角度及线段、对应角。

分析:旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应

所在点。对应

◆课下作业

●拓展提高

1、如图1，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB，连接PQ，则⊿PBQ的形状是（）

（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）等腰直角三角形

（第1题）（第2题）（第A 3题） F C D C450　O

　D　2．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）

A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠AOF 0

B E O 3、如图，ABO绕点O旋转45后得到DCO，则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.△AOB的边OB的中点M的对应点在 . 4、图中的两个等腰三角形是全等的，且∠AOD=45°，OB=4㎝，OA= 1㎝．怎样将右边的三角形变为左边的三角形?

5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？

A D O 第4题

B C M·AB（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

M E

C D

6、如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？

A E B C F ●体验中考 1、（2009年，陕西）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角的大小可以是（） A、30°B、45°C、60°D、90° （第1题）（第2题）

2、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，如果∠A′DC=90°，那么

∠A的度数是多少？

◆随堂检测

1、你玩过万花筒吗？它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。下图是看到的万花筒的一个图形，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（） A．顺时针旋转60得到 B．顺时针旋转120得到 C．逆时针旋转60得到 D．逆时针旋转120得到

000

G F A E B D 0

2、如图，在△ABC中，∠B=90，∠C=30，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180，点C落在C1处，则CC1的长C 为（） A．42 B．4 C．23 D．25

3、如图所示，图形①经过变化成图形②，图形②经过变化成图形③。图①图②图③

4、如图，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A=，∠B=,AB=, AC=

A E B1 A C

B C1

B C D 0

5、如图，△ABC中，∠ACB=120，将它绕着点C旋转30后得到△DCE，则∠ACE= ∠A+∠E=

D A B E C 6、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点A′，•试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形．

◆典例分析

如图所示，△ACD和△BCE都是等边三角形，△DCB经过旋转后得到△ACE。 ⑴指出旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？

⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗？

◆课下作业

●拓展提高

1、下列关于图形旋转特征的说法不正确的是（） A.对应线段相等B.对应角相等

C.图形的形状与大小都保持不变D.旋转中心平移了一定的距离 2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90A.15B．20C．25D．无法确定

A D O,AH⊥BC于H,AH=5,则四边形ABCD的面积是（）

B H C 0

3、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形A1B1C1D1B ，图中阴影部分的面积为（）

C B31A．B． 1 32C1 D1 04、将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转40后得到△ADE(点B与点D是对应点)，则∠BAE的度数为_____. 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C•为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，求∠BDC的度数．

33C．1-D．1-

34D A

6、如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．试求∠APB的度数．（提示：可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△BP′C，连PP′，从而求出∠PP′C的度数）．

●体验中考

1、（2009年，泸州）如图l，P是正△ABC内的一点，若将△BCP绕点B旋转到△BAP’，则∠PBP’的度数是（）

A、45°B、60°C、90°D、120°

2、（2008年，长沙）如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。连结AE。求证：⑴AE∥BC；

⑵图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。

◆随堂检测

1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转90,把圆分成四部分,则()

A．这四部分不一定相等B．这四部分相等 B．前一部分小于后一部分D．不能确

（第1题）（第A 2题)

2、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）

O 0

A．30°B．60°C．120°D．180°

3、如图3所示的图形是旋转对称图形，•它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的？

（第3题）(第4题)（第5题）

4、如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为

可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？ 5、如上图案

◆典例分析

我们在生活中可以看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后重合，如下图所示，这四个图形都是旋转对称图形。 ⑴⑵⑶⑷

请大家观察上面的图形，然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合？

◆课下作业

●拓展提高

1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（）

（A）（B）（C）（D）

2、如图所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是

( )

A．30°

B．60° C．90° D．120°

A B C （D （

第2题）（第3题）（第4题）

3、如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，则旋转的角度为（） A．45°或90°B．90°或180°

C．180°或270°D．n·45°（1≤n≤8，且n为正整数）

4、如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC，以图中的某个点为旋转中心，旋转△DBC与△ABC重合，则旋转中心为（写出所有满足条件的点）。

5、如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，•将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，•你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！ 6、已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF:

(1)FDC与EBC相等吗？（2）△DCF能与△BCE重合吗？（3）BE与DF垂直吗？

A D E B C ●体验中考

1、（2009年，天津）如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．

15.3中心对称

◆随堂检测

1、如图，不是中心对称图形的是（）

2、给出下列图形：（1）角；（2）直角三角形；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）圆。其中为中心对称图形的是（）

A．（4）（5）B．（2）（3）(5)C．(3)(4)D.(1)(3)(4)(5) 3、在数字0至9中，哪些是中心对称图形。

4、世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。

一石激起千层浪方向盘铜钱

5、如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO＝，BO＝，CO＝，点A关于对称中心

O的对称点是，点B关于对称中心O的对称点是，点C关于对称中心O的对称点是．

A O B F E ,那么ΔABC绕点O旋转后能与ΔABC重合. 6、若ΔABC和ΔABC关于点O成中心对称◆典例分析 C A．4个

B．3个

D 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

C．2个

D．1个

◆课下作业

●拓展提高

1、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（） A．N B．AＣ．MD．E 2、下列说法错误的是 (

)

A．中心对称图形一定是旋转对称图形 B．轴对称图形不一定是中心对称图形

C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。 D．旋转对称图形一定是中心对称图形。

3、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是()．

(A)平行(B)相等(C)平行且相等(D)相等且平行或在同一直线上

4、．已知点O是ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有对,它们分别是.

5、如图,ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则ABCD(填位置关系),与ΔAOD

成中心对称的是，由此可得ADBC(填位置关系)．

A O B 6、如图，在正方形网格上有一个△ABC．

（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．

●体验中考

1、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A．等腰梯形

B．平行四边形

C．正三角形

D．矩形

2、（2009年山东济宁）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B． C．D．

15.4图形的全等

◆随堂检测

1、下列命题正确的是：（） A．形状相同的两个图形叫做全等形 B．大小相同的两个多边形叫做全等多边形

C．“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点，点B与点F是对应点，点C与点E是对应点 D．全等三角形是能够完全重合的两个三角形

2、判断如图（1）（2）（3）所示的两个图形是不是全等图形。

（1）（2）（3）

3、如图，如果所画的两个三角形是全等的，那么可以写成________≌________． 4、下列8个图形中的全等图形：

5．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC•各内角的度数．

◆典例分析

已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长.

◆课下作业

●拓展提高

1、下列说法正确的是：() A．全等图形的面积一定相等 B．面积相等的两个多边形一定全等

C．轴对称的两图形一定全等，全等的两个图形一定关于某条直线对称 D．面积相等的两个圆不一定全等

2、如图，ABC≌AEF,ABAE,BE，则对于结论①

ACAF；②FABEAB；③

EFBC；④EABFAC，其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3、（2009年广东省清远市）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且A110°，B40°，则C1=．

C B1

4．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？

5、如图所示，△ABD≌△ACE,且E在BD上，CE交AB于F,若∠CAB=20,求∠DEF的度数。

A C D B E O

6、如图，△ABC与△DCB全等，写出它们的对应边和对应角，你认为图中还有没有全等的三角形？如果有，请你把它们写出来。

A E D B C ●体验中考

1.（2009年海南省）已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

2.（2009山西省太原市）如图，△ACB≌△ACB，BCB=30°，则ACA的度数为（） A．20°

B．30°

A B C

C．35° D．40°

16.1.1平行四边形的性质

◆随堂检测

1、ABCD的周长为40cm，ABC的周长为25cm，则AC得长为（）

A．5cmB．6cmC．15cmD．16cm 2、平行四边形不具有的性质是（）

A．对角线互相垂直B．对边平行且相等 C．对角线互相平分D．对角相等 3、如图，在4、在5、在ABCD 中，∠ACB=∠B=50°，则∠ACD =．

ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD=．

ABCD中，AD边与BC边的长度之和恰好是边AB与CD边长之和的2倍，又知AB=3，求该平行四边形

的周长．

◆典例分析

如图，在ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．

◆课下作业

●拓展提高

1、如图所示，在ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点O，则该图中的平行四边形的个数为（）

A．7B．8C．9D．11

2、如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于（）

A．60°B．50°C．70°D．65°

3、如图，在ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，

∠E+∠F等于（）

A．110°B．30°C．50°D．70° 4、

如

图，等腰三角形ABC的一腰AB=4cm，过底边BC上的任

一两

点腰

第4题

AEDF的周长是.

5、如图，在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=.

D作两腰的平行线，分别交与E、F，则平行四边形

6、如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD=8，AB=10，BD=6，求BC、CD及此平行四边形的面积. ●体验中考

1、（2009年山东省东营市）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝，AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（） A．2cm

B．4cm C．6cm

D．8cm

2、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图，需添加一个条件：．

ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BFDE，D

参： ◆随堂检测

1、A．平行四边形的周长为40cm，所以AB+BC=20cm，所以AC=25-20=5cm. 2、A．平行四边形的性质.

3、80°根据三角形内角和为180°可得. 4、40°平行四边形的性质. 5、18在

ABCD中，CD=AB=3，AD+BC=(3+3)×2=12，AB+BC+CD+DA=3+3+2=18.

◆课下作业 ●拓展提高

1、C.平行四边形的性质. 2、A．在

ABCD中，BC∥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵∠EAF=60°，∴∠FAD=30°，

在Rt△ADF中，∠D=90°-∠FAD=60°=∠B.

3、D．由∠B=110°可得∠ADC=∠B=110°，∴∠EDF=∠ADC=110°，∴∠E+∠F=70°. 4、8cm在AEDF中，DE∥AF，∠BDE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE，同理FD=FC，∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm. 5、3易求AE=AB=4，DE=DF=3.

6、解：在

ABCD中，BC=AD=8，CD=AB=10，∵ADBD8610AB，

222222∴AD⊥BD，S平行四边形ABCD=AD·DB=48. ●体验中考

1、A.平行四边形的性质. 2、BEDF或BF∥DE；AFCE;BFDBED；AFBADE等

16.1.2平行四边形的性质

◆随堂检测

1、已知O是ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，•则△BOC的周长

是_______．

2、如图，已知O是ABCD的对角线的交点，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，那么OBC的周长等于mm. 3、条角条

若一边长线长

个平行四边形的一为10cm，一条对为16cm，则另一

对角线长a的取值范围为.

第4题

4、如图，AF∥BG，AB∥CD，CE⊥BG，FG⊥BG，则下列说法错误的是（）

A．AB=CDB．点C到直线BG的距离就是线段CE的长 C．EC=FGD．直线AF与直线BG的距离就是线段CD的长

◆典例分析

如图所示，已知ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求ABCD的面积．

◆课下作业

●拓展提高

1、已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以其中的两条线段为平行四边形的对角线，剩下的一条为平行四边形的一边，可以画出个平行四边形.

2、已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么??ABCD的面积

为_______．

3、在??ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（?）． A.AB=4，AD=4B.AB=4，AD=7

C.AB=9，AD=2D.AB=6，AD=2

4、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（?）．

A.8cm和14cmB.10cm和14cm?? C.18cm和20cm??D.10cm和34cm

5、平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为()

A.66、已知平行四边形ABCD的周长为28cm，对角线AC、BD相交于点O，且△OAB的周长比

△OBC的周长大4cm，求平行四边形的边长． ●体验中考

1、（2009年广西省桂林市、百色市）如图，ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，

BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）． A．3B．6C．12D．24

A D B 2、（2009年内蒙古呼和浩特）如图，在

C ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的

延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4A．8B．9.5C．10D．11.5 参： ◆随堂检测

1、26cm平行四边形对角线相互平分.

2，则ΔCEF的周长为（）

2、45由AC=38mm，BD=24mm，可得OC=19mm，OB=12mm，又AD=14mm，所以BC=AD=14mm. 3、4cm﹤a﹤36cm

4、D.平行线及平行四边形的性质可得. ◆课下作业 ●拓展提高

1、2平行四边形的性质.

2、8根据三角形等底同高面积相等，可得平行四边形的面积为△AOB的面积的4倍. 3、B.根据三角形任意两边之和大于第三边可得. 4、C.同上.

5、D.平行四边形对角线的性质.

6、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，OB=OD，

∵△ABC的周长比△OAB的周长小4cm，∴(AD+AO+OD)-(AO+OB+AB)=AD-AB=4cm，又∵ABCD的周长为28cm，AD+AB=14cm，故而求得AD=9cm，AB=5cm， ∴这个平行四边形各边的长为9cm，5cm，9cm，5cm.

●体验中考

1、C.平行四边形有关的计算. 2、B.平行四边形的性质.

16.2.1矩形的性质

◆随堂检测

1、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．

3、如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．

A.98B.196C.280D.284 （1）(2)(3)

4、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．

5、如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．•若矩形ABCD•的周长为48cm，•则矩形ABCD的面积为_______cm2．

6、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边

落在BC边的F处，折痕为AE，求CE的长．

AD，使点D

◆典例分析

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，求∠COD与∠COE的度数．

◆课下作业

●拓展提高

1、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角和为12，则对角线长为，短边长为． 2、在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，作AE为E．ED=3EB，则∠AOB得度数为（）

⊥BD，垂足线与短边的

A.30°B.45°C.60°D.90°

3、矩形中，对角线把矩形的一个直角分成1︰2两部分，则矩形对角线所夹的锐角为

A.30°B.45°C.60°D.不确定

4、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积为()

A.8B.6C.4D.5

5、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=10cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，则四边形AEFD的面积为（）

A.28cmB.26cmC.24cmD.20cm

6、在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°. （1）△AOB为等边三角形，说明理由；（2）求∠AOE的度数.

2222● 体验中考

1、（2009年山东济南）如图，矩形

ABCD中，

交

过对角线交点O作OEACAB3，BC5．则AE的长是（）

A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4

AD于E，2、（2009年湖北仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）． A.3B.2C.3D.23 参： ◆随堂检测

1、2矩形的对角线有2条. 2、16cm矩形的对角线互相平分.

3、C.可设小矩形的长为x，宽为y，则2（x+y+2x）=68，又2x=5y，联立得x=10，y=4，所以小矩形的面积为40，故大矩形的面积为40×7=280. 4、a（m-b） 5、108

6、解：由题可知，设CE=x，则DE=8-x，所以EF=8-x，因为AD=10，AB=8，所以BF=6，所以FC=10-6=4，根据勾股定理得，x=3. ◆课下作业 ●拓展提高

1、8，4矩形的对角线性质.

2、C.通过ED=3EB，AE⊥BD，可得△ABO为等边三角形，可得∠AOB=60°. 3、C.同上.

4、A.因为E、F是AC的三等分点，根据同底等高面积相等可得△BEF的面积为△ABC的三分之一. 5、C.因为AB=4cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，所以四边形AEFD的面积为矩形的面积减去边长为4的正

方形的面积.

6、证明：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∵∠CAE=15°，∴∠BAC=60°，

又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形.

（2）∵△AOB为等边三角形，∴BO=AB，又∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO, 又∵∠OBE=90°-60°=30°,∴∠BOE=∠BEO=75°,

∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°.

● 体验中考

1、D.矩形的性质和勾股定理可得. 2、C.矩形的性质.

16.2.2菱形的性质

◆随堂检测

1、在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为.

2、菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为. 3、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为.

4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数为.

5、如图，菱形花坛DEFG的边长为6，∠E＝60度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种花部分的周长（粗线部分）为.

6、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6.求这个菱形的周长与两条对角线的长度.

◆典例分析

如图，在菱形ABCD中，∠ACD=30°，求∠BDA、∠ABC的度

数.

◆课下作业

●拓展提高

1、菱形的两个邻角的比是1︰2，两条对角线长分别为a、b，则菱形的周长为（）

A.4aB.4bC.2a-bD.4a+4b

2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则

∠CDF等于（）

A.80°B.70°C.65°D.60°

b，且a＞

3、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，MP+NP的最小值是（） A.2B.1C.2D.

1 24、在菱形ABCD中，对角线BD上一点O到AD的距离为2，则点O到另一边CD的距离为.

5、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3︰4，则面积为. 6、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：（1）∠BAD的度数；

（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长. ●体验中考

1、(2009年河北)如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠角线AC等于（）

A．20

B．15

BCD=?120°，则对

C．10 D．5

2、（2009年广西河池）则菱形的面积为（）

A.3cm

2已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，

B.4cm C.3cm

22D．23cm

23、（2009年江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离则∠ABBC16cm，1度．

A 1

参： ◆随堂检测

1、24.菱形的面积等于对角线乘积的2倍.

2、2.4.由题可得较短对角线和菱形两边组成等边三角形，所以较短对角线为9.6÷4=2.4. 3、50°40°90°

4、100°设∠BAE=x，则∠DAF=x，所以∠BAD=2x+60°，所以2∠B=360°-2（2x+60°），又2∠B=180°-x，联立得x=20°. 5、20

6、周长为4×10=40，两条对角线的长度分别为16，12. ◆课下作业 ●拓展提高

1、B.菱形的对角线的性质.

2、D.连接FB，易证AF=FB，∠FAB=∠FBA=

1∠BAD=40°，∠ABC=100°，∠CBF=60°， 2将△CDF沿CF对折，△CDF≌△CBF，所以∠CDF=∠CBF=60°.

3、B.作N关于AC的对称点N′，连接MN′，易证N′为CD中点，MN′=AD=1. 4、2 5、96cm

6、解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形，∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠BCD=120°.

(2)AC=AB=2，周长为：4×2=8.

●体验中考

1、D.菱形和等边三角形的性质. 2、D.菱形的对角线的性质. 3、120菱形的对角线的性质.

216.2.3正方形的性质

◆随堂检测

1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是()

A.内角和为360°B.对角线相等

C.对角线平分内角D.对角线互相垂直平分 2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是()

A.四个角都相等B.四条边相等 C.对角线相等D.对角线互相平分 3、下列结论中，正确的有()

①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质； ③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴； ⑤正方形有四条对称轴.

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4、一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，则这个正方形的面积为()

A.24cmB.36cmC.48cmD.cm

22225、如图，E为正方形ABCD内的一点，且△BCE为等边三角形，则∠ABE=，

∠AEB=，∠AED=. 6、已中，

点E

知，如图，在正方形ABCD在对角线AC上，求证：BE=DE.

◆

第5题

典

第6题

例分析

如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且AC=CE，交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数. .

◆课下作业

●拓展提高

1、已知正方形ABCD中，AC=20cm，M点在AD上，MN⊥AC，MP⊥BD.则MN+MP的值为()

A.5cmB.10cmC.20cmD.8cm

2、一个三角形与一个正方形的面积相等，三角形的底边长是正方形边长的4倍，则三角形的高与正方形的边长的比为()

A.1︰4B.1︰2C.1︰1D.2︰1

3、如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB.

则∠EBC的度数是. 4、如ABP为等

那么5、如

图，P边三角∠图，正

2是正方形ABCD内一点，如果△形，DP的延长线交BC于C， PCD=.

方形ABCD的面积等于9cm，

2第3题第4题

正方形DEFG的面积等于4cm，则阴影部分的面积为多少？ ●体验中考

1、（2009年湖北孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为:若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（） A．仅小明对

B．仅小亮对

C．两人都对

D．两人都不对

第5题

2、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=

;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则A′N=

（用含有n的式子表示）

参： ◆随堂检测

1、B.正方形的性质. 2、B.正方形的性质. 3、D.正方形的性质.

4、D.由等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，可以求得等腰三角形的周长为32cm，故而正方形的周长

为8cm，所以正方形的面积为cm.

5、30°75°150°.由正方形的性质和等边三角形的性质可得. 6、证明：证△BEC与△DEC完全重合.

2◆课下作业

●拓展提高

1、B.令AC与BD相交于点O，由MN⊥AC，MP⊥BD，可得四边形MNOP为矩形，所以MP=NO，又因为∠

11AC=×20=10cm. 221122、B.设三角形的高为x，正方形的a，则由面积相等可得，·4a·x=a，x=a.

22DAC=45°，所以MN=AN，所以MN+MP=

3、22.5°.由AE=AB可得，△ABE为等腰三角形，又因为∠EAB=45°，

所以∠ABE=∠AEB=77.5°，所以∠EBC=22.5°.

4、15°.易求∠ABP=60°，∠PBC=30°，∠BPC=∠BCP=75°，所以∠PCD=15°.

5、解：因为正方形ABCD的面积等于9cm，正方形DEFG的面积等于4cm，EF=2cm，BC=3cm，

2211922×2×3=3cm，三角形ABC的面积为×3×3=cm， 222972所以阴影部分的面积为4+9－3－=cm.

22所以三角形EFC的面积为●体验中考 1、C.正方形的性质.

2、

32n1，（n2，且n为整数） 2n16.3梯形的性质

◆随堂检测

1、等腰梯形的两腰，同一底上的两个角，对角线.

2、如图，在梯形ABCD中，∠B=50°，∠C=80°，则∠D=，∠A.

3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=2，BC=6，∠B=60°，则CD=. 4、一等腰梯形的上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为（）

A.8cmB.9cmC.8.5cmD.7cm

5、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则其底角的度数为（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.75°或105°

6、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC交AB于点E，梯形周长为30cm，CD=5cm，

则△ADE的周长为多少？

◆典例分析

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠ABCD的面积.

DBC=45°，求梯形

◆课下作业

●拓展提高

1、下列说法正确的是（） A.对角线相等的四边形是等腰梯形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C.两组对角分别互补的四边形是等腰梯形

D.等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴

2、如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是（）

A.60°B.30°C.45°D.15°

3、等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm，一底边长为4cm，则另一底边长为（）

A.3cmB.2cmC.1cmD.1cm或7cm

4、已知直角梯形的一条腰长为5cm，这腰与底边成30°角，则这梯形另一腰的长为（）

A.10cmB.5cmC.2.5cmD.7.5cm

5、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，则AB等于（）

A.abaB.b 22C.abD.a2b

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠

C=80°，试说明

CD=BC-AD.

7、（2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥＝DC,∠B＝60o.

(1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积. 参： ◆随堂检测 1、相等相等相等.

2、100°130°.根据梯形上底和下底平行，可知∠C与∠D互补.

3、2.过A点作AE∥CD交BC于E，可得四边形AECD为平行四边形，所以∠AEC=∠C.

又因为∠B=60°，所以∠AEC=∠B=60°，所以CD=AB=2.

4、A.可以等腰梯形上底的一顶点向下底作垂线，这样垂线和腰还有下底构成直角三角形，再根据30°的直

角边等于斜边的一半即可求得.

5、B.要分为上底较长和下底较长两种情况去考虑.

6、20cm.解：因为梯形周长为30cm，所以AB+BC+CD+DA=30cm，又因为DE∥BC，

所以四边形DEBC为平行四边形，所以EB=CD=5cm，

所以△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AE+BC=AB+BC+CD+DA-2CD=30-2×5=20cm.

◆课下作业 ●拓展提高

1、D.根据等腰梯形的性质可得.

2、A.根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得. 3、D.要分底边长4cm为上底和下底两种情况来做. 4、C.根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得.

5、C.过D作DE∥CB交AB于E，则四边形DEBC为平行四边形，所以∠DEB=∠B，

又因为∠D=2∠B，所以∠ADE=∠AED，所以AD=AE，所以AB=AD+CD=a+b.

6、解：过点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形，AD=BE，

因为∠DEC=∠B=50°，∠C=80°，所以∠EDC=50°，所以以∠EDC=∠DEC，所以DC=EC.因为EC=BC-BE，所以DC=BC-AD.

●体验中考

1、C.根据等腰梯形的性质可得.

∠A与∠B互补，

第6题

BC,AB＝AD

2、证明：（1）∵AD∥BC，AB=DC∠B=60°∴∠DCB=∠B=60°

600∠DAC=∠ACB.又∵AD=DC∴∠DAC=∠DCA∴∠DCA=ACB==30°

2∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB⊥AC

（2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6∴BE=3 ∴AEAB2BE236933 ∵∠ACB=30°，AB⊥AC ∴BC=2AB=12

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