高中数学 集合中的含参问题(难点专题)

【考查角度1元素与集合的关系中的含参问题】已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用方法导入分类讨论思想求解第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；步骤第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入反思集合进行检验【例1】已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．【练1.2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2}，已知5∈A，且5∉B．求a的值．【练1.3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．1河北省重点中学尖子生培优专用讲义【考查角度2集合中元素个数的含参问题】此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判方法导入别式求解.第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；步骤第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.【例2】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【练2.1】设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；（3）求：A中各元素之和．【练2.2】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【练2.3】已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}．（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．2河北省重点中学尖子生培优专用讲义【考查角度3集合基本关系中的含参问题】由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化方法导入为解方程(组)或不等式(组)求解.第1步确定两个集合中谁是谁的子集;第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为步骤解方程(组)求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式(组)求解;第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互反思异性及端点值能否取到.【例3】已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．【练3.1】设集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（1）当a＝0时，求集合A，B；（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．【练3.2】方程x2﹣x﹣m＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m组成的集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．【练3.3】已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（Ⅰ）若4∈A，5∉A，求a的取值范围；（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范围．3河北省重点中学尖子生培优专用讲义【考查角度4集合基本运算中的含参问题】这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式方法导入组求解.第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;步骤第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.【例4】已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}【练4.1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜5}，C＝{x|x＜m}，全集为R．（1）求A∩（∁RB）；（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．【练4.2】设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≥0}，B＝{x||x﹣6|＜6}．（Ⅰ）求A∩∁RB；（Ⅱ）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C∪B＝B，求实数a的取值范围．【练4.3】已知全集U＝R，集合A＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，B＝{x|﹣2﹣x≤0≤5﹣x}．（1）求A∩B，B∪（∁UA）．（2）已知集合C＝{x|a≤x≤2﹣a}，若C∪（∁UB）＝R，求实数a的取值范围．4河北省重点中学尖子生培优专用讲义【趁热打铁】1.已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，求x的值．2.已知不等式3x+2＞0的解集为M．（1）试判断元素﹣1，0与集合M的关系；（2）若a﹣1是集合M中的元素，求a的取值范围．3.已知集合M＝{x∈R，|px2﹣2x+3＝0，x∈R}．（1）若M中只有一个元素，求实数p的值，并求出相应的集合M；（2）若M中最多有一个元素，求实数p的取值范围．4.已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}，a为实数．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．5.已知命题A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝x（1）若A∩B＝（2，4），求m的值；（2）若B⊆A，求m的取值范围．xm30，mR．xm6.已知集合M＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，N＝{x|1＜x＜3}，且M⊊N，求实数a的取值范围．7.已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}（1）当a＝0时，求A∪B；（2）若B⊆（A∩B），求实数a的取值范围．8.已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|a+1＜x≤2a﹣1}（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围（2）若B≠∅，（∁UA）∩（∁UB）＝∁UA，求a的取值范围5