2019年南京市中考数学试题与答案

（试卷满分120，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1． 2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（ ） A．0.13×10

2

35

B．1.3×10

4

C．13×10

3

D．130×10

2

2．计算（ab）的结果是（ ） A．ab

23

B．ab

53

C．ab

6

D．ab

63

3．面积为4的正方形的边长是（ ） A．4的平方根 C．4开平方的结果

B．4的算术平方根 D．4的立方根

4．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A．C．

5．下列整数中，与10﹣A．4

B．D．

最接近的是（ ） B．5

C．6

D．7

6．如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①④

B．②③

C．②④

D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．﹣2的相反数是 ；的倒数是 ．

1

8．计算﹣的结果是 ．

2

9．分解因式（a﹣b）+4ab的结果是 ． 10．已知2+

是关于x的方程x﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．

2

11．结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴a∥b．

12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．

13．为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ． 14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．

15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长 ．

2

16．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算（x+y）（x﹣xy+y） 18．（7分）解方程：

﹣1＝

．

2

2

19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； （2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

3

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ． 22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

23．（8分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3． （1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度． （参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用2000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

4

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点

A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直

角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

5

2

参

一、选择题

1.B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.D 二、填空题

7． 2，2．8． 0．9．（a+b）．10． 1．11．∠1+∠3＝180°．12． 5．13． 7200． 14． 219°．15．

．16． 4＜BC≤

．

2

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（x+y）（x﹣xy+y）， ＝x﹣xy+xy+xy﹣xy+y， ＝x+y．

18．解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，

3

33

2

2

2

2

3

2

2

x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，

即x+x﹣x+1＝3， 解得x＝2

检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0， ∴x＝2是原方程的解， 故原分式方程的解是x＝2． 19．证明：∵DE∥BC，CE∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形， ∴BD＝CE， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝EC， ∵CE∥AD，

∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E， ∴△ADF≌△CEF（ASA）．

2

2

6

20．解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

＝方差分别是

＝

＝0.8，

＝24，

＝

＝18，

＝∴

＜

，

＝8.8，

∴该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．

21．解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，

∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为

＝；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三）， ∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是； 故答案为：．

22．证明：连接AC， ∵AB＝CD， ∴

＝，

7

∴+＝+，即＝，

∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC．

23．解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2， 根据题意得﹣2x+2＞x﹣3， 解得x＜；

（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4， 当﹣4≤k＜0时，y1＞y2； 当0＜k≤1时，y1＞y2． 24．解：延长AB交CD于H， 则AH⊥CD，

在Rt△AHD中，∠D＝45°， ∴AH＝DH，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝

，

∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH， 在Rt△BHC中，tan∠BCH＝∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH， 由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33， 解得，CH＝300，

∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120， ∴AH＝AB+BH＝153， ∴DH＝AH＝153， ∴HF＝DH﹣DF＝103， ∴EF＝EH+FH＝323，

8

，

答：隧道EF的长度为323m．

25．解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，

依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝2000 解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）． 所以3x＝90，2x＝60，

答：扩充后广场的长为90m，宽为60m． 26．（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形， ∵DG＝DE，

∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝

＝5，

则CD＝x，AD＝x， ∵AD+CD＝AC， ∴+x＝3， ∴x＝

，

9

∴CD＝x＝，

观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DG∥AB， ∴＝

，

∴

＝，

解得m＝， ∴CD＝3﹣＝，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB， ∴＝

，

∴＝， ∴n＝

，

10

∴CG＝4﹣∴CD＝

＝，

＝，

或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD观察图象可知：当0≤CD＜≤时，菱形的个数为1，当

＜CD≤时，菱形的个数为2．

27．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴， 解得：

，

∴B（1，2），

故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

根据题意，得，

∵x＞0， ∴，，

∴

，

∴x2

+4＝3x， ∴x2

﹣3x+4＝0， ∴△＝b2

﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y），

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2

﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2

﹣5x+7|， ∵，

又x≥0，

11

∴d（O，D）＝|x|+|x﹣5x+7|＝x+x﹣5x+7＝x﹣4x+7＝（x﹣2）+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿

2222

HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点

P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．

12