数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 下面的计算正确的是( )
A. 𝑎4⋅𝑎3=𝑎12 B. 𝑎4÷𝑎3=𝑎 C. 𝑎4+𝑎3=𝑎7 D. (𝑎4)3=𝑎7
2. 下列图形中一定是轴对称图形的是( )
A.
直角三角形
B.
四边形
C.
平行四边形
D.
矩形
3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (𝑥−𝑦)(−𝑦−𝑥) C. (4𝑥2−𝑦2)(4𝑥2+𝑦2)
B. (−𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) D. (3𝑥+1)(3𝑥−1)
4. 如图，𝑙1//𝑙2，则∠1、∠2、∠3关系是( )
A. ∠2>∠1+∠3 B. 无法确定 C. ∠3=∠1−∠2 D. ∠2=∠1+∠3
5. 已知4−8𝑥+𝑚𝑥2是关于x的完全平方式，则m的值为( )
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线BD与∠𝐴𝐶𝐵的外角平
分线CD相交于点D，∠𝐷=30°，则∠𝐴等于( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
7. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量
得∠1=70°，∠2=152°，则∠𝐴为( )
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A. 40° B. 42° C. 30° D. 52°
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度𝑦(𝑐𝑚)与所挂的物体的质量𝑥(𝑘𝑔)间有
下面的关系(弹簧的弹性范围𝑥≤10𝑘𝑔)： x y 0 10 2 10.5 4 11 6 11.5 8 12 10 12.5 下列说法不正确的是( )
A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为10cm
C. 所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25𝑐𝑚 D. 所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到11.25𝑐𝑚
9. 如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一
次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是( )
A. 2<𝑥≤4 B. 2≤𝑥<4 C. 2<𝑥<4 D. 2≤𝑥≤4
10. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=4，D是边BC上的点，连接𝐴𝐷.如果将
△𝐴𝐵𝐷沿直线AD翻折后，点B恰好在边AC的中点处，则点D到AC的距离是( )
A. 2
B. 3
4
C. 3
8
D. 3
11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90°，AD平
分∠𝐵𝐴𝐶，与BC相交于点F，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，交AC延长线于E，且垂足为D，H是AB边的中点，连接CH与AD相交于点G，则下列结论：
①𝐴𝐹=𝐵𝐸；②𝐴𝐹=2𝐵𝐷；③𝐴𝐺=𝐵𝐷；④𝐴𝐶+𝐶𝐹=𝐴𝐵；⑤𝑆△𝐴𝐶𝐺=𝑆△𝐴𝐻𝐺正确的有( )
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A. 1个
𝑥−2(𝑥−1)≥3
3
B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 关于x的方程3−2𝑥=3(𝑘−2)的解为非负整数，且关于x的不等式组
{2𝑘+𝑥
≤𝑥
无解，则符合条件的整数k的值的和为( )
A. 5 B. 2 C. 4 D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
13. 目前所知病毒中最细微的是一级口蹄疫病毒，其最大颗粒直径为23纳米，即
0.000000023米，请将0.000000023用科学记数法表示______． 14. 若2𝑎+3𝑏+3=0，则9𝑎×27𝑏的值为______．
15. 从长度为2cm、4cm、6cm、8cm的4根木棒中随机抽取一根，能与长度为3cm和
5cm的木棒围成三角形的概率为______．
5𝑥+2𝑦=30
16. 若关于x，y的方程组{的解都是正数，则m的取值范围是______．
𝑥+𝑦−𝑚=017. 如图，P为△𝐴𝐵𝐶内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N
分别在PA、PC的中垂线上．若∠𝐴𝐵𝐶=80°，则∠𝐴𝑃𝐶的度数为______．
18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中D、F为BC上的点，且F为BC
的中点，BD：𝐶𝐷=3：4，连接AD，E是AD上的AE：3，EF、EC，𝐸𝐷=1：一点，连接BE、若𝑆△𝐷𝐸𝐹=3，则△𝐴𝐵𝐶的面积是______．
B两驿站出发向对方所在的驿站配送包裹，19. 小李和小王分别从相距2570米的A、相
向而行，已知小李先出发5分钟后，小王才出发，他们两人在A、B驿站之间的某地相遇，相遇后，小李发现自己有需配送的包裹遗留在A驿站，于是立即返回拿取(反应时间忽略不计)小王继续向A驿站前行．小李和小王到达A驿站均停止行走，在整个行走过程中，小李小王两人均保持各自的速度匀速行走，两人相距的路程𝑦(米)与小李出发的时间𝑥(分钟)之间的关系如图所示，则小王到达A驿站时，小李与A驿站相距的路程是______米．
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20. 巴蜀中学初一年级老师为同学们购买《平凡的世界》，《朝花夕拾》和《钢铁是怎
样炼成的》供大家借阅，已知三本书单价之和为120元，计划购买三种书数量总共不超过125本，其中《平凡的世界》单价为50元，计划购买25本，《朝花夕拾》至少购买15本，《钢铁是怎样炼成的》数量不少于《朝花夕拾》的2倍．在做预算时将《钢铁是怎样炼成的》和《朝花夕拾》的单价弄反了，结果实际购买三种书的总价比预算多了116元，若三本书的单价均为整数，则实际购买这三种书最多需要花费______元．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分） 21. 计算：
(1)(−1)2015+|−3|−(3.14−𝜋)0÷(−2)−2； (2)(−2𝑥2𝑦)3⋅(−3𝑥𝑦2)÷(4𝑥𝑦3)； (3)(2𝑥+1)2−(3−𝑥)(𝑥+3)；
−3(𝑥+1)−(𝑥−3)>8
(4)解不等式组：{2𝑥+11−𝑥．
−≤134
△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹在线段BE两侧，𝐴𝐶//𝐷𝐹且𝐵𝐶=𝐷𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐴𝐵=22. 如图，求证：
𝐸𝐹．
1
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23. 学校为了了解我校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取我校七年级部分学生进行
问卷调查(每人只选一种书籍).如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)这次活动一共调查了______名学生； (2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占的圆心角是______度；
(4)若七年级共有2800名学生，请你估计七年级喜欢“其他”类学生人数约为多少名？
24. 先化简，再求值：[(𝑚−𝑛)2−𝑚(𝑚−2𝑛)+(𝑚𝑛−2)(−2−𝑚𝑛)−4]÷(−2𝑛)，
其中m，n满足3|𝑚+2|+2(𝑛−1)2=0．
1
1
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25. 小明和小强在同一直线跑道AB上进行往返跑，小明从起点A出发，小强在小明前
方C处与小明同时出发，当小明到达终点B处时，休息了100秒才又以原速返回A地，而小强到达终点B处后马上以原来速度的3.2倍往回跑，最后两人同时到达A地，两人距B地的路程记为𝑦(米)，小强跑步的时间记为𝑥(秒)，y和x的关系如图所示．
(1)𝐴，C两地相距______米； (2)小强原来的速度为______米/秒；
(3)小明和小强第一次相遇时他们距A地______米； (4)小明到B地后再经过______秒与小强相距100米？
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26. 如图：在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，点D在AB边上，连接CD；
(1)如图1，若CD是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，且𝐴𝐷=𝐶𝐷，探究BC与AC的数量关系，说明理由；
(2)如图2，若𝐵𝐶=𝐵𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于点F，交CD于点G，点E在AB的延长线上且𝐴𝐷=𝐵𝐸.连接GE，求证：𝐵𝐺+𝐸𝐺=𝐴𝐶．
27. 若一个三位正整数m，将各数位上的数字重新排列后得到一个新的三位数𝑎𝑏𝑐(𝑎≥
𝑏，且𝑎𝑏𝑐≠0，𝑎𝑏𝑐与m不相同)，当所有重新排列的数中<𝑎,𝑐>最小时，则称𝑎𝑏𝑐为m的“倍约数”，并规定此时𝐹(𝑚)=𝑐2−(𝑎+𝑏)2；其中[𝑎,𝑏]表示a、b的最小公倍数，<𝑎，𝑐>表示a、c的最大公约数． 例1：当𝑚=238时，重新排列为328、823、832． 故：<3,8>=1=6，<8,3>=1=8，<8,2>=
[3,2]
6
[8,2]
8
[8,3]
242
−
[𝑎,𝑏]
−−
=12；
因为6<8<12，所以328是𝑚=238的“倍约数”，此时：𝐹(238)=82−(3+2)2=39
例2：当𝑚=521时，重新排列为512、215． 故：<5,2>=1=5，<2,5>=1=2；
因为2<5，所以215是𝑚=521的“倍约数”，此时：𝐹(521)=52−(2+1)2=16； 例3：当𝑚=522时，重新排列为225．
所以225是𝑚=522的“倍约数”，此时：𝐹(522)=52−(2+2)2=9； 请根据以上材料，解决下列问题：
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[5,1]
5
[2,1]
2
(1)求𝐹(618)=______；
(2)若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：𝐹(𝑚)是一个完全平方数；
(3)已知：三位正整数m、n均为小于300的完全平方数，且𝑚−𝑛=𝑝(𝑝为质数)，当m最大时，求𝐹(𝑚)的值．
28. 已知等腰直角△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸，其中∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸=90°，A在DB上，E在AC
上．
(1)如图1，若∠𝐷𝐶𝐴=25°，求∠𝐸𝐵𝐶的度数；
(2)如图2，点P为CA延长线上的动点，将△𝑃𝐴𝐵沿PB翻折得到△𝑃𝐴′𝐵，当𝐶𝐴′的长度取得最大值时，求∠𝐴𝑃𝐵的度数；
(3)如图3，∠𝐴𝐵𝐸=30°，将当△𝐴𝐷𝐶绕点A逆时针转动一定角度𝛼(0<𝛼<180°)得到△𝐴𝐷′𝐶′，在旋转过程中，直线𝐷′𝐶′与射线BE交于点M，直线𝐷′𝐶′与射线BC交于点N，是否存在这样的旋转角𝛼，使得△𝐵𝑀𝑁为等腰三角形？若存在，求出此时的旋转角𝛼；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：𝐴.𝑎4⋅𝑎3=𝑎7，故本选项不合题意； B.𝑎4÷𝑎3=𝑎，故本选项符合题意；
C.𝑎4与𝑎3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D.(𝑎4)3=𝑎12，故本选项不合题意； 故选：B．
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项合题意． 故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．
3.【答案】B
【解析】解：A、(𝑥−𝑦)(−𝑦−𝑥)=(−𝑦+𝑥)(−𝑦−𝑥)=(−𝑦)2−𝑥2=𝑦2−𝑥2，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此题不符合题意；
B、(−𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=−(𝑥−𝑦)(𝑥−𝑦)=−(𝑥−𝑦)2=−𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2，此题不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、(4𝑥2−𝑦2)(4𝑥2+𝑦2)=(4𝑥2)2−(𝑦2)2=16𝑥4−𝑦4，原式能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、(3𝑥+1)(3𝑥−1)=(3𝑥)2−12=9𝑥2−1，原式能用平方差公式计算，故此选项不符合题意， 故选：B．
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利用平方差公式的结构特征判断即可．
(𝑎+本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2.关键是掌握平方差公式的特征：两个二项因式中有一项相同，有一项互为相反数．
4.【答案】D
【解析】解：过∠2的顶点，作如图所示的射线l，使𝑙//𝑙1， ∵𝑙1//𝑙2，𝑙//𝑙1， ∴𝑙1//𝑙2//𝑙．
∴∠1=∠𝛼，∠2=∠𝛽． ∵∠𝛼+∠𝛽=∠2， ∴∠1+∠3=∠2．
故选：D．
过∠2的顶点，作射线l，使𝑙//𝑙1，利用平行线的性质得到∠1、∠2与∠𝛼、∠𝛽的关系，从而得出∠1、∠2、∠3关系．
本题考查了平行线的性质，作l与𝑙1平行并利用平行线的性质是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵4−8𝑥+𝑚𝑥2是关于x的完全平方式， ∴−8=−2×2√𝑚， 解得：𝑚=4， 故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】B
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【解析】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示．
∵∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐷，CD平分∠𝐴𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐷． ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐶．
又∵∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴+∠𝐴𝐹𝐵=180°，∠𝐷𝐶𝐹+∠𝐷+∠𝐶𝐹𝐷=180°，∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐶𝐹𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐹+∠𝐷，即∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐷+∠𝐷， ∴∠𝐴=2∠𝐷=2×30°=60°． 故选：B．
设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，利用角平分线的定义及三角形的外角性质可得出∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐷及∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐷𝐵，由三角形内角和定理及对顶角相等，可得出∠𝐴=2∠𝐷，进而可得出∠𝐴的度数．
本题考查了三角形的外角性质、对顶角以及三角形内角和定理，利用三角形内角和定理及对顶角相等，找出∠𝐴=2∠𝐷是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠1=70°，∠2=152°，
∴∠𝐵+∠𝐶=360°−∠1−∠2=360°−70°−152°=138°， ∴∠𝐴=180°−(∠𝐵+∠𝐶)=180°−138°=42°， 故选：B．
利用四边形的内角和定理求出∠𝐵+∠𝐶，再利用三角形的内角和定理可得结果． 本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出∠𝐵+∠𝐶的度数．
8.【答案】D
【解析】解：𝐴.𝑥与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A不符合题意； B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B不符合题意；
C.所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25𝑐𝑚，故C不符合题意； D.所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到12.25𝑐𝑚，故D符合题意． 故选：D．
根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得
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到答案．
本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．
9.【答案】A
3(3𝑥−2)−2≤28
【解析】解：依题意，得：{，
3[3(3𝑥−2)−2]−2>28解得：2<𝑥≤4． 故选：A．
根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸=45°， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，
由题意𝐴𝐵=𝐴𝐵′=𝐶𝐵′=4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=2⋅(𝐴𝐵+𝐴𝐶)⋅𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸=3，
∴点D到AC的距离是3． 故选：C．
如图，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，利用面积法求解即可．
本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8
8
1
1
11.【答案】C
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【解析】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐸， ∴∠𝐹𝐷𝐵=∠𝐹𝐶𝐴=90°， ∵∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐶， ∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐹𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐹=90°，𝐵𝐶=𝐴𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐸𝐶=𝐶𝐹，𝐴𝐹=𝐵𝐸，故①正确，
∵∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐸=90°， ∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝐷𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐸， ∴𝐴𝐹=2𝐵𝐷，故②正确， 连接BG，
∵𝐶𝐵=𝐶𝐴，𝐵𝐻=𝐴𝐻， ∴𝐶𝐻⊥𝐴𝐵， ∴𝐺𝐴=𝐺𝐵， ∵𝐵𝐺>𝐵𝐷，
∴𝐴𝐺≠𝐵𝐷，故③错误，
∵𝐵𝐶+𝐶𝐹=𝐴𝐶+𝐸𝐶=𝐴𝐸=𝐴𝐵，故④正确， 作𝐺𝑀⊥𝐴𝐶于M．
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐸，𝐺𝐻⊥𝐴𝐵，𝐺𝑀⊥𝐴𝐶， ∴𝐺𝐻=𝐺𝑀，
∵𝑆△𝐴𝐶𝐺=×𝐴𝐶×𝐺𝑀，𝑆△𝐴𝐻𝐺=×𝐴𝐻×𝐻𝐺，且𝐴𝐶>𝐴𝐻，
22∴𝑆△𝐴𝐶𝐺≠𝑆△𝐴𝐻𝐺，故⑤错误， 故选：C．
①②④只要证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸即可解决问题； ③错误，只要证明𝐺𝐵=𝐺𝐴即可；
⑤作𝐺𝑀⊥𝐴𝐶于𝑀.利用角平分线的性质定理即可证明．
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1
1
本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
12.【答案】C
【解析】解：解方程3−2𝑥=3(𝑘−2)得𝑥=∵方程的解为非负整数， ∴
9−3𝑘2
9−3𝑘2
，
≥0，即𝑘≤3，即非负整数𝑘=1，3，
𝑥≤−1
不等式组整理得：{，
𝑥≥𝑘由不等式组无解，得到𝑘>−1， ∴−1<𝑘≤3，即整数𝑘=0，1，2，3， 当𝑘=0时，𝑥=4.5，不是整数；
当𝑥=2时，𝑘=1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，𝑘=1，3，
则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：C．
表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式无解，确定出k的值即可． 此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
13.【答案】2.3×10−8
【解析】解：0.000000023=2.3×10−8． 故答案为：2.3×10−8．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】27
1
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【解析】解：由2𝑎+3𝑏+3=0可得2𝑎+3𝑏=−3， ∴9𝑎×27𝑏=32𝑎×33𝑏=32𝑎+3𝑏=3−3=故答案为：27．
由2𝑎+3𝑏+3=0可得2𝑎+3𝑏=−3，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
1
133
=
127
．
15.【答案】2
【解析】解：∵两根木棒的长分别是3cm和5cm， ∴第三根木棒的长度大于2cm，小于8cm， ∴能围成三角形的是：4cm、6cm的木棒， ∴能围成三角形的概率4=2， 故答案为2．
根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
2
1
1
16.【答案】6<𝑚<15
𝑥=35𝑥+2𝑦=30【解析】解：解方程组{得{5𝑚−30， 𝑥+𝑦−𝑚=0𝑦=
3
30−2𝑚
3根据题意，得：{5𝑚−30
3
30−2𝑚
>0①>0②
，
解不等式①，得：𝑚<15， 解不等式②，得：𝑚>6， ∴6<𝑚<15，
故答案为：6<𝑚<15．
𝑥=3
解方程组得出{5𝑚−30，根据题意列出不等式组，解之可得．
𝑦=3
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
30−2𝑚
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大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】130°
【解析】解：∵∠𝐴𝐵𝐶=80°， ∴∠𝐵𝑀𝑁+∠𝐵𝑁𝑀=100°，
∵𝑀、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴𝑀𝐴=𝑀𝑃，𝑁𝑃=𝑁𝐶，
∴∠𝑀𝑃𝐴=∠𝑀𝐴𝑃=2∠𝐵𝑀𝑁，∠𝑁𝑃𝐶=∠𝑁𝐶𝑃=2∠𝐵𝑁𝑀， ∴∠𝑀𝑃𝐴+∠𝑁𝑃𝐶=2×100°=50°， ∴∠𝐴𝑃𝐶=180°−50°=130°， 故答案为：130°．
根据线段的垂直平分线的性质得到𝑀𝐴=𝑀𝑃，𝑁𝑃=𝑁𝐶，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11
1
18.【答案】56
【解析】解：∵𝐹为BC的中点， ∴△𝐵𝐸𝐹的面积=△𝐶𝐸𝐹的面积， 设△𝐵𝐸𝐹的面积=△𝐶𝐸𝐹的面积=𝑆， ∵𝐵𝐷：𝐶𝐷=3：4，𝑆△𝐷𝐸𝐹=3， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=4，即=，
𝑆+34
△𝐶𝐷𝐸
𝑆3𝑆−33
解得𝑆=21，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=21−3=18，𝑆△𝐶𝐷𝐸=21+3=24， ∵𝐴𝐸：𝐸𝐷=1：3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=3×18=6，𝑆△𝐴𝐸𝐶=3×24=8， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=6+18+8+24=56， 故答案为56．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，以及根据不同底等高的三角形面积的比等于底的比即可即可求解．
本题考查的是三角形面积的计算，熟知不同底等高的三角形面积的比等于底的比是解答
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1
1
此题的关键．
19.【答案】
13283
【解析】解：由图可得，
小李的速度为：(2570−2070)÷5=100(米/分钟)，
小王的速度为：(2070−70)÷(13−5)−100=150(米/分钟)， 小王和小李相遇时用的时间为：5+2070÷(100+150)=小王从B到A用的时间为：2570÷150=
25715
33225
(分钟)，
(分钟)，
332
257
100×(25×2−5−则小王到达A驿站时，小李与A驿站相距的路程是：)， 故答案为：
13283
)=15
13283
(米
．
根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出小李的速度，然后即可计算出小王的速度，再根据函数图象中的数据，可以求得小王从B地到A地用的时间，然后即可计算出小王到达A驿站时，小李与A驿站相距的路程．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】4808
【解析】解：设购买x本《朝花夕拾》，y本《钢铁是怎样炼成的》，《朝花夕拾》的单价为m元，则《钢铁是怎样炼成的》的单价为120−50−𝑚=(70−𝑚)元， 依题意，得：𝑥𝑚+𝑦(70−𝑚)−[𝑥(70−𝑚)+𝑦𝑚]=116， 整理，得：𝑦−𝑥=70−2𝑚． ∵𝑦≥2𝑥，𝑥≥15， ∴
11670−2𝑚
116
≥15．
又∵𝑥，y，m均为正整数， ∴70−2𝑚=2或70−2𝑚=4， ∴𝑚=34或𝑚=33． ∵𝑥+𝑦+25≤125， ∴𝑥+𝑦≤100．
当𝑚=34时，70−𝑚=36，𝑦−𝑥=58，
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𝑥≥15∴{𝑥≤58， 𝑥+𝑥+58≤100
∴15≤𝑥≤21，此时实际购买这三种书最多需要的费用为50×25+21×34+(21+58)×36=4808(元)；
当𝑚=33时，70−𝑚=37，𝑦−𝑥=29， 𝑥≥15∴{𝑥≤29， 𝑥+𝑥+29≤100
∴15≤𝑥≤29，此时实际购买这三种书最多需要的费用为50×25+29×33+(29+29)×37=4353(元)． ∵4808>4353，
∴实际购买这三种书最多需要花费4808元． 故答案为：4808．
设购买x本《朝花夕拾》，y本《钢铁是怎样炼成的》，《朝花夕拾》的单价为m元，则《钢铁是怎样炼成的》的单价为(70−𝑚)元，依题意得出𝑥𝑚+𝑦(70−𝑚)−[𝑥(70−𝑚)+𝑦𝑚]=116，可得出m的值，当𝑚=34时，70−𝑚=36，𝑦−𝑥=58，由购买三种书数量总共不超过125本及x，y之间的关系，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，利用总价=单价×数量求出此时实际购买三种书花费最多的费用；当𝑚=33时，70−𝑚=37，𝑦−𝑥=29，同理可求出此时实际购买三种书花费最多的费用．再将两种情况下花费最多的费用比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
21.【答案】解：(1)(−1)2015+|−3|−(3.14−𝜋)0÷(−2)−2
1
=(−1)+3−1÷ 4=(−1)+3−1×4 =(−1)+3−4
=−2；
1
(2)(−2𝑥2𝑦)3⋅(−𝑥𝑦2)÷(4𝑥𝑦3)
31
=(−8𝑥6𝑦3)⋅(−𝑥𝑦2)÷(4𝑥𝑦3)
3=3𝑥6𝑦2；
(3)(2𝑥+1)2−(3−𝑥)(𝑥+3) =4𝑥2+4𝑥+1−(9−𝑥2)
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2
=4𝑥2+4𝑥+1−9+𝑥2
=5𝑥2+4𝑥−8；
−3(𝑥+1)−(𝑥−3)>8①(4){2𝑥+11−𝑥，
−≤1②
3
4
由不等式①，得 𝑥<−2， 由不等式②，得 𝑥<1，
故原不等式组的解集是𝑥<−2．
【解析】(1)根据有理数的乘方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题； (2)根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题； (3)根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题； (4)根据季节不等式组的方法可以解答本题．
本题考查整式的混合运算、绝对值、零指数幂和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
22.【答案】证明：∵𝐴𝐶//𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐹𝐷𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐷𝐸， 在△𝐴𝐶𝐵和△𝐹𝐷𝐸中， 𝐴𝐶=𝐷𝐹
{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐷𝐸， 𝐵𝐶=𝐷𝐸
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐹𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐸𝐹．
【解析】由“SAS”可证△𝐴𝐶𝐵≌△𝐹𝐷𝐸，可得𝐴𝐵=𝐸𝐹．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
23.【答案】200 72
【解析】解：(1)这次活动一共调查的学生数为80÷40%=200人 (2)喜欢科普的学生数为200×30%=60人，如图
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(3)在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是200×360°=72°， (4)喜欢“其他”的学生人数为2800×200=280(名)． 故答案为：200，72．
(1)利用这次活动一共调查的学生数=喜欢小说的学生数÷对应的百分比即可， (2)先求出喜欢科普的学生数，再作图即可，
(3)利用喜欢漫画的部分所占圆心角=喜欢漫画的百分比×360°计算即可． (4)利用喜欢“其他”的学生人数=总人数×喜欢“其他”的百分比即可．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是能从条形统计图，扇形统计图准确找出数据．
20
40
24.【答案】解：原式=(𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2−𝑚2+2𝑚𝑛+4−𝑚2𝑛2−4)÷(−2𝑛)
1
=(𝑛2−𝑚2𝑛2)÷(−𝑛)
2=−2𝑛+2𝑚2𝑛，
∵3|𝑚+2|+(𝑛−1)2=0，
21
1
∴𝑚+2=0，𝑛−1=0， 解得：𝑚=−2，𝑛=1， 则原式=−2+8=6．
【解析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出m与n的值，代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】300 1.5 480
2003
或
140011
或175
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【解析】解：(1)由图可得，
A，C两地相距800−500=300(米)， 故答案为：300；
(2)小强原来的速度为a米/秒，
500𝑎
+
8003.2𝑎
=300+(300−100)，
解得，𝑎=1.5， 故答案为：1.5；
(3)设小明的速度为b米/秒， (300−100)𝑏=800， 解得，𝑏=4米/秒，
小明和小强第一次相遇时的所用的时间为m秒， 4𝑚=(800−500)+1.5𝑚， 解得𝑚=120，
小明和小强第一次相遇时他们距A地为：4×120=480(米)， 故答案为：480；
(4)设小明到B地后再经过b秒，与小强相距100米， 小明到达B地休息时间段时，500−100=1.5(𝑏+200) 解得，𝑏=
2003
，
小明从B地返回A地且小强从B地也返回A地时， 4(𝑏+200−300)−100=4.8(𝑏+200−解得，𝑏=175，
小明从B地已经出发且小强未到达B地时， 500−1.5(𝑏+200)+100=4(𝑏+200−300)， 解得，𝑏=
1400112003
5001.5
)或
140011
故答案为：或或175．
(1)根据函数图象中的数据可以得到A，C两地相距多远； (2)根据函数图象中的数据可以计算出小强原来的速度；
(3)根据函数图象中的数据可以计算出小明和小强第一次相遇时他们距A地的距离； (4)根据函数图象中的数据可以计算出小明到B地后再经过多少秒与小强相距100米． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结
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合的思想解答．
26.【答案】解：(1)𝐵𝐶=2𝐴𝐶．
理由如下：
如图1，过点D作𝐷𝑀⊥𝐴𝐶于点M，
1
∵𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∴𝑀为AC的中点， ∴𝐶𝑀=𝐴𝑀=2𝐴𝐶， ∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴𝐷𝑀=𝐷𝐵，
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀和𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵中， 𝐶𝐷=𝐶𝐷{， 𝐷𝑀=𝐷𝐵
∴𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀≌𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵(𝐻𝐿)， ∴𝐶𝑀=𝐶𝐵， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶；
21
1
(2)证明：如图2，作𝐷𝐾⊥𝐴𝐵交BF的延长线于点K，
∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐹𝐾=90°， ∴∠𝐴=∠𝐾，
又∵∠𝐵𝐷𝐾=∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐵≌𝑅𝑡△𝐵𝐾𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐾=𝐴𝐶，𝐷𝐾=𝐴𝐵，
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∵𝐴𝐷=𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐵𝐸+𝐵𝐷， 即𝐴𝐵=𝐷𝐸， ∴𝐷𝐾=𝐷𝐸，
又∵𝐷𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐶𝐷𝐵=45°，
∴∠𝐾𝐷𝐺=∠𝐸𝐷𝐺=45°， 又∵𝐷𝐺=𝐷𝐺， ∴△𝐷𝐾𝐺≌△𝐷𝐸𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐾𝐺=𝐸𝐺，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐾=𝐾𝐺+𝐵𝐺=𝐸𝐺+𝐵𝐺．
【解析】(1)如图1，过点D作𝐷𝑀⊥𝐴𝐶于点M，证明𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀≌𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵(𝐻𝐿)，由全等三角形的性质得出𝐶𝑀=𝐶𝐵，则可得出结论；
(2)作𝐷𝐾⊥𝐴𝐵交BF的延长线于点K，证明𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐵≌𝑅𝑡△𝐵𝐾𝐷(𝐴𝐴𝑆)，得出𝐵𝐾=𝐴𝐶，𝐷𝐾=𝐴𝐵，证明△𝐷𝐾𝐺≌△𝐷𝐸𝐺(𝑆𝐴𝑆)，得出𝐾𝐺=𝐸𝐺，则结论可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27.【答案】−45
【解析】解：(1)∵𝑚=618， ∴重新排列为816、861． ∴<8,6>=2=4，<8,1>=∵3<4<24，
∴816是𝑚=618的“倍约数”， 此时：𝐹(816)=62−(8+1)2=−45， 故答案为：−45；
(2)证明：∵𝑚百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2， ∴𝑚=402，513，624，735，846，957． ∵𝑚能被19整除， ∴𝑚=513．
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[8,1]
8
[8,6]
241
=24，
∴𝑚重新排列得：531，315． ∵
[5,3]<5,1>
=
151
=15，
[3,1]<3,5>
==3，且3<15，
1
3
∴315是𝑚=513的“倍约数”， ∴𝐹(𝑚)=52−(3+1)2=9=32， ∴𝐹(𝑚)是一个完全平方数．
(3)解：∵三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且𝑚−𝑛=𝑝(𝑝为质数)， ∴√𝑚−√𝑛=1，√𝑚+√𝑛为质数．
∵17×17=289，18×18=324，10×10=100， 𝑚=16√𝑚=15√𝑚=12∴{√，{，{． √𝑛=15√𝑛=14√𝑛=11∴𝑚的最大值为256，
∴𝑚重新排列得：652，625，526． ∵<6,2>=
[6,5]
302
=15，<6,5>=1=6，<5,6>=
[6,2]6[5,2]101
=10，且6<10<15，
∴625是𝑚=256的“倍约数”， ∴𝐹(𝑚)=62−(2+5)2=−13．
(1)根据新定义找出618的“倍约数”，即可得出结论；
(2)由m的三个数位上数字之间的关系可找出m的值，结合m能被19整除可得出m的值，利用“倍约数”的定义可找出315是𝑚=513的“倍约数”，再代入𝐹(𝑚)=𝑐2−(𝑎+𝑏)2即可证出结论；
(3)由题意可找出√𝑚、√𝑛的值，取m的最大值，利用“倍约数”的定义可找出625是𝑚=256的“倍约数”，再代入𝐹(𝑚)=𝑐2−(𝑎+𝑏)2即可求出结论．
本题考查了完全平方数、因式及倍数，解题的关键是：(2)由m的三个数位上数字之间的关系结合m能被19整除，求出m的值；(3)由三位正整数m，n均小于300的完全平方数且𝑚−𝑛=𝑝(𝑝为质数)，求出m的最大值．
28.【答案】解：(1)如图1中，
∵∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵=90°，𝐴𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴△𝐷𝐴𝐶≌𝐸𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，
第25页，共28页
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=22.5°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=22.5°，
∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸=22.5°．
(2)∵𝐵𝐴，BC是定值，𝐵𝐴′=𝐵𝐴，
∴点𝐴′的运动轨迹是以B为圆心，BA为半径的圆， ∴当点𝐴′在CB的延长线上时𝐶𝐴′的长最大(如图2−1)
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=45°， ∴∠𝐴𝐵𝐴′=135°， ∵∠𝐴′=∠𝑃𝐴𝐵=90°， ∴∠𝐴𝑃𝐴′=45°， ∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐵𝑃𝐴′， ∴∠𝐵𝑃𝐴=×45°=22.5°．
21
(3)有4种情形：如图3−1中，当𝐵𝑀=𝐵𝑁时，
第26页，共28页
∵∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸=45°--30°=15°， ∴∠𝐵𝑀𝑁=∠𝐵𝑁𝑀=82.5°，
∴∠𝐵𝐴𝐷′=360°−60°−82.5°−45°=172.5°， ∴∠𝐵𝐴𝐶′=172.5°−90°=82.5°， ∴𝛼=∠𝐶𝐴𝐶′=90°−82.5°=7.5°．
如图3−2中，当𝐵𝑁=𝑀𝑁时，同法可得𝛼=∠𝐶𝐴𝐶′=75°
如图3−3中，当𝐵𝑁=𝐵𝑀时，同法可得𝛼=∠𝐶𝐴𝐶′=97.5°
如图3−4中，当𝑀𝑁=𝐵𝑀时，同法可得𝛼=∠𝐶𝐴𝐶′=120°，
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综上所述，满足条件的𝛼定值为7.5°或75°或97.5°或120°．
【解析】(1)证明△𝐷𝐴𝐶≌𝐸𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，推出∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=22.5°可得结论． (2)因为BA，BC是定值，𝐵𝐴′=𝐵𝐴，推出点𝐴′的运动轨迹是以B为圆心，BA为半径的圆，推出当点𝐴′在CB的延长线上时𝐶𝐴′的长最大(如图2−1)，求出此时∠𝐴𝑃𝐵即可． (3)分四种情形：如图3−1中，当𝐵𝑀=𝐵𝑁时，如图3−2中，当𝐵𝑁=𝑀𝑁时，如图3−3中，当𝐵𝑁=𝐵𝑀时，如图3−4中，当𝑀𝑁=𝐵𝑀时，分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
第28页，共28页
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