期中数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ） A．﹣4
B．2
C．﹣1
D．3
2．新型冠状病毒有包膜，直径在60﹣220纳米之间，平均直径为110纳米左右，颗粒呈圆形或者椭圆形，对紫外线和热敏感，在75%酒精乙醚、甲醛、含氯消毒液等可使其灭活，将110纳米用科学记数法表示为（ ）（1纳米＝10A．11×10
﹣7
﹣9
米）
﹣8
米 B．1.1×10
﹣7
米 C．11×10米 D．1.1×10
﹣8
米
3．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣5
B．x≠﹣5
C．x≥﹣5
D．x＞﹣5且x≠0
4．如图所示的两个几何体都是由若干个相同的小正方体搭成的，在它们的三视图中，相同的视图是（ ）
A．主视图
B．左视图
C．俯视图
D．三视图
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．算术平方根等于它本身的数一定是1和0 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C．为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则200名学生是总体的一个样本 D．正八边形的每个内角为135°
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO的大小为（ ）
A．30° 7．估算A．5
﹣
B．40°
C．45°
D．50°
的值离下列哪个整数较近（ ）
B．6
C．7
D．8
8．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝5，则S△A′B′C′等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．按照如图的程序计算：如果输入y的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有
（ ）A．4
B．3
C．2
D．1
10．重庆李子坝轻轨站穿楼而过成网红，小明想要测量轻轨站穿楼时轨道与大楼连接处M距离地面N的高度，他站在点A处测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为45°，向前走了1米到达B处，再沿着坡度为1：2.4，长度为13米台阶到达C处，测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为53°，已知小明的身高为1.6米，则MN的高度约为（ ）米（精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≠0.8，tan37°≈0.75）
A．28.0
B．29.6
C．32.0
D．33.6
11．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式
方程A．6
的解满足﹣3≤y≤4，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） B．5
C．4
D．3
12．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过正方形ABCD的顶点D，反比例函数y
＝
＝（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A和顶点B，AD边交y轴于点E，若，且顶点C的纵坐标为1，则A点坐标为（ ）
A．（﹣1，8）
B．（﹣2，12）
C．（﹣2，10）
D．（﹣1，10）
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．
+（﹣）1+（3.14﹣π）0＝ ．
﹣
14．将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使得a+b≥10的概率
为 ．
15．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AD为直径的半圆与BC相切于点，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3
，则B′D的长度为 ．
17．一天早上小飞和妈妈一起从家出发，小飞向西去学校，妈妈向东去单位上班（学校、家和妈妈单位在一条直线上），当妈妈出发5分钟后发现小飞的备用口罩还留在家里，立即掉头，提速回家取备用口罩，她返回家只用了一分钟，然后以提速后的速度去追小飞，妈妈追上小飞后，立即把口罩交给小飞，然后再以提速前的速度返回单位上班（妈妈取口罩和把口罩交给小飞的时间忽略不计）．已知妈妈和小飞离家的距离之和y（米）与妈妈出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为 米．
18．三峡之巅•诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷
尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园72﹣1脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取
出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套
装为每件奉园72﹣1脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进 件．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）（a﹣2b）2﹣2b（b﹣2a）； （2）（a+2﹣
）÷
．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的⻆平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF＝FE． （1）求证：BE＝CD； （2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若tan∠BEA＝，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 整理数据 成绩x（分） 甲小区 乙小区 分析数据
统计量 甲小区 乙小区 应用数据
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由． 22．有这样一个问题：探究函数y＝小东根据学习函数的经验，对函数y＝下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝ ，当x＜﹣1时y＝ ； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ． （4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
的只有一个的图象；
的图象与性质．
的图象与性质进行了探究．
平均数 85.75 83.5
中位数 87.5 d
众数 c 80
60≤x≤70
2 3
70＜x≤80
5 7
80＜x≤90
a 5
90＜x≤100
b 5
23．阅读材料：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“风月同天数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：7 “风月同天数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k（x，y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使N是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“岂无衣数”．若m既是“岂无衣数”，又是“风月同天数”，请求出m的所有平方差分解．
24．2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动．商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售．
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%？ （2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕Led液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高（2m﹣12）%，再大幅降价150m元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到22400元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标和直线BC的解析式；
（2）点P为抛物线上位于第一象限内的点，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标； （3）当点P满足（2）中的条件，且位于对称轴右侧时，点M为线段CP上一动点，点N为直线OP上的动点，请问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Q，使得由M、N、P、Q构成的四边形是以PM为边的菱形？若能，求出菱形的边长；若不能，说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题） 1． A． 2． B． 3． A． 4． B． 5． C． 6． B． 7． C． 8． D． 9．B． 10． D． 11． C． 12． C．
二．填空题（共6小题） 13．﹣4． 14．
．
15．π． 16． 6． 17． 840． 18． 360．
三．解答题（共7小题） 19．
解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣2b2+4ab ＝a2+2b2． （2）原式＝＝＝2a+6．
••
20．
解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BE＝AB＝CD．
（2）∵AF＝EF，BE＝BA， ∴BF⊥AE，∠EBF＝∠ABF， ∵∠D＝54°， ∴∠ABC＝∠D＝54°， ∴∠ABF＝∠CBF＝27°， 又∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝27°． （3）∵tan∠BEA＝
＝，
∴设EF＝3x，BF＝4x，则BE＝5x， ∵BE＝BA＝4， ∴5x＝4， ∴x＝， ∴EF＝
，BF＝
，
．
．
，BE＝
，
∴AF＝EF＝
∴S△ABF＝AF•BF＝
∴平行四边形的面积为2S△ABF＝21．
解：（1）a＝8，b＝5，
甲小区的出现次数最多的是90，因此众数是90，即c＝90． 中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，
由乙小区中的数据可得处在第10、11位的两个数的平均数为（80+85）÷2＝82.5， 因此d＝82.5． （2）800×
＝200（人）．
答：估计甲小区成绩大于90分的人数是200人．
（3）根据（1）中数据，甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由是：甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
故答案为：8，5，90，82.5；甲，甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大． 22．
解：（1）化简函数y＝当x≥﹣1时，y＝ 故答案为x，﹣1； （2）图象如图所示．
（3）函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
故答案为 函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大． （3）由图象可知，当a≤0或a≥1时，函数y＝ax+1与y＝即关于x的方程ax+1＝故答案为a≤0或a≥1．
的只有一个实数根．
的只有一个交点，
，
＝x，当x＜﹣1时y＝
＝﹣1
23．
解：（1）∵7＝42﹣32， ∴7是“风月同天数”，
故答案为：是；
（2）∵N是“风月同天数”， ∵x+1＞y， ∴x+3＞y+2，
∴N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2， ∵N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k＝（x+3）2﹣（y+2）2， ∴k＝5；
（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7， ∴x＝1或x＝2，
当x＝1时，这个三位数是178， ∴m＝178＝2×89， 此时m不是“风月同天数”； 当x＝2时，这个三位数是279， ∴m＝279＝3×93＝9×31，
∴m＝482﹣452＝202﹣112＝1402﹣1392，
∴48与45是m的平方差分解；20与11是m的平方差分解；140与139是m的平方差分解． 24．
解：（1）设降价x元，列不等式（6000×0.9﹣x）≥4000（1+30%） 解得：x≤200
答：最多降价200元，才能使得利润不低于30%；
（2）根据题意得：整理得：3m2﹣8m﹣640＝0 解得：m1＝16，m2＝﹣∴m＝16
答：m的值为16． 25．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点，
（舍去）
令﹣x2+3x+4＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b，可得解得
，
，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4）， ∴PE＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴S△PBC＝S△PEC+S△PEB
＝•PE•（xP﹣xC）+•PE•（xB﹣xP） ＝•PE•（xB﹣xC）
＝×（﹣m2+4m）×（4﹣0） ＝﹣2m2+8m，
∵S△ABC＝•AB•OC＝×（4+1）×4＝10； ∴S△PBC＝S△ABC＝×10＝6，
∴﹣2m2+8m＝6，解得m＝1或m＝3， ∴P（1，6）或P（3，4）； （3）存在，理由如下： ∵点P在对称轴x＝右侧， ∴P（3，4），
∵C（0，4），P（3，4）， ∴PC∥x轴，
∵四边形是以PM为边的菱形， ∴PM∥NQ，NQ∥x轴， ∴∠PNH＝∠POD，
设直线OP的解析式为y＝kx，
将P（3，4）代入可得4＝3k，解得得k＝， ∴直线OP的解析式为y＝x；
如图2，当四边形PMNQ是菱形时，设菱形的边长为t， 则NQ＝PQ＝t，
过点Q作QF⊥PN于点F，过点P作PD⊥x轴交NQ于点H，
∴∠PDO＝∠PHN＝∠QFN＝90°， ∴△POD∽△PNH∽△QNF，
∴OD：PD：OP＝NH：PH：NP＝NF：FQ：NQ＝3：4：5， ∵PQ＝NQ＝t， ∴NF＝PN＝
，NP＝t，
∴FH＝NP＝t，PH＝NP＝
t＝t），
t，
t，
∴HQ＝NQ﹣NH＝t﹣∴Q（3+
t，4﹣
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+3x+4， ∴﹣（3+解得t＝此时Q（
t）2+3（3+（t＝0舍去）； ，
）符合题意，
t）+4＝4﹣
t，
如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QK⊥MP于点K， ∴∠PDO＝∠QKM＝90°，
∵PC∥x轴，
∴∠POD＝∠PNQ＝∠QMP， ∴△POD∽△QMK，
∴OD：PD：OP＝MK：QK：QM＝3：4：5， 当四边形PNQM是菱形时，设菱形的边长为m， 则NQ＝MQ＝m， ∴MK＝m，QK＝m，
∴PK＝MP﹣MK＝m﹣m＝m， ∴Q（3﹣m，4+m）， ∵点Q在抛物线y＝﹣x2+3x+4，
∴﹣（3﹣m）2+3（3﹣m）+4＝4+m， 解得m＝（m＝0舍去）， 此时Q（2，6），符合题意． 综上，符合题意的菱形的边长为：
或．
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