北师大版高中数学选修导数的概念教案

§2 导数的概念及其几何意义

第四课时 导数的概念

一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.

二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。

教学难点：理解导数概念的本质内涵 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程

（一）、复习：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为

yf(x1)f(x0)f(x0x)f(x0) xx1x0x当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1

趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数yf(x)在点x0的瞬时变化率。 （二）、探究新课

在数学上，称瞬时变化率为函数yf(x)在点x0的导数，通常用符号f(x0)表示，记作

f(x0)limx1x0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)lim。

x1x0xx0例1、一条水管中流过的水量y（单位：m3）是时间x（单位：s）的函数yf(x)3x。求函数yf(x)在x=2处的导数f(2)，并解释它的实际意义。

解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为

f(2x)f(2)3(2x)323x3（m3/s）.

xxx

当x趋于2，即Δx趋于0时，，平均变化率趋于3，所以

f(2)3（m3/s）.

导数f(2)表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3m3。

例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数yf(x)。假设函数yf(x)在x=1和x=3处的导数分别为f(1)4和f(3)3.5，试解释它们的实际意义。

解：f(1)4表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。

，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如f(3)3.5表示该工人上班后工作3h的时候，

果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。

例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数

yf(t)，假设函数yf(t)在t=10和t=100处的导数分别为f(10)1.5和f(100)0.6，试解释它们的实际意义。

解：f(10)1.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min）。

f(100)0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/

（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min）。

(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：

1、求函数的变化率yf(x0x)f(x0)

2、求函数的平均变化率

3、求极限lim

x00yxyx

（四）、练习：课本P33练习：1、2. （五）、作业：课本P37习题2-2中A组2、3

补充题：1、求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)2解：3x

xxy(1x)2(1x)2 f(1)limlim(3x)3

x0xx0x2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6) 根据导数定义，

''2f(2x)f(x0)f xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 五、教后反思：