八年级（上）期末数学试卷
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
2. 关于x的方程 是一元二次方程，那么
A. B. C. D.
3. 反比例函数 的图象经过点 ， 、 是图象上另两点，其中
，那么 、 的大小关系是
A.
B.
C. C.
D. 都有可能 D.
4. 用配方法解方程 时，原方程可变形为
A. B.
5. 下列命题中是真命题的是
A. 反比例函数 ，y随x的增大而减小
B. 一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则三边长度之比是1：2：3 C. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三
角形
D. 如果 ，那么一定有
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点
，与x轴夹角为 ，将 沿直线AB
翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 A. 4 B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分） 7. 已知函数 ，其定义域为______． 8. 不等式 的解集是______．
9. 在实数范围内因式分解 ______． 10. 方程 的根是______．
11. 平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是______． 12. 在工地一边的靠墙处，用32米长的铁栅栏围一个所占
地面积为140平方米的长方形临时仓库，并在平行于墙一边上留宽为2米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程______． 13. 已知反比例函数
的图象在第二、四象限内，那
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么k的取值范围是______．
14. 如果点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，那么线段AB的长等于______ ． 15. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的取
值范围是______．
16. 如图， 中， 于D，E是AC的中点．若 ，
，则CD的长等于______． AD是 中， ， ，17. 如图，
的角平分线， ______度．
，18. 已知，在 中，将 翻折使得点A与点C重合， ，
折痕与边BC交于点D，如果 ，那么BD的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共58.0分） 19. 计算：
20. 解方程：
21. 甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离 千米 与其相关
的时间 小时 变化的图象如图所示，读图后填空： 地与B地之间的距离是______千米；
甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域是______； 乙车的速度比甲车的速度每小时快______千米．
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22. 已知 ， 与 成正比例， 与x成反比例，且当 时， ；当
时， ，求y关于x的函数解析式．
23. 如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相
交于点G， 垂足为B， ，垂足为E，且 ， ，
求证：点G在线段FC的垂直平分线上． 24. 已知，如图，在 中， ，点E在AC上， ， ．
求证： ．
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25. 如图，已知正比例函数图象经过点 ，
求正比例函数的解析式及m的值；
分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、 点C、D均在点A、B下方 ，若 ，求反比例函数的解析式；
在第 小题的前提下，联结AD，试判断 的形状，并说明理由．
26. 如图，已知在 中， ， ， ， ，将一个
直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，直角的两边分别交AB的延长线于点E，交射线AD于点F，联结EF交BC于点G，设 ．
旋转过程中，当点F与点A重合时，求BE的长； 若 ，求y关于x的函数关系式及定义域； 旋转过程中，若 ，求此时BE的长．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、
，不是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式； C、 ，是最简二次根式； D、 ，不是最简二次根式； 故选：C．
根据最简二次根式的概念判断即可．
被开方数不含分母； 被本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：
开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2.【答案】A
【解析】解： ， ， 依题意得： ． 故选：A．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3.【答案】B
【解析】解： 反比例函数 的图象经过点 ，
，
此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ，
、 两点均位于第二象限， ． 故选：B．
先代入点 求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据 判断出 、 所在的象限，根据此函数的增减性即可解答． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解： ， ， 则 ，
，即
，
故选：B．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
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题的关键． 5.【答案】C
【解析】解：A、反比例函数 ，在第一、三象限，y随x的增大而减小，本说法是假命题；
B、一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3， 这三个角的度数分别为 、 、 ，
则三边长度之比是1： ：2，本说法是假命题；
C、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形是真命题；
D、如果 ，那么一定有 ，本说法是假命题； 故选：C．
根据反比例函数的性质判断A；根据三角形内角和定理、直角三角形的性质求出三边长度之比，判断B；根据等腰直角三角形的性质判断C；根据二次根式的性质判断D． 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6.【答案】D
【解析】解：设点C的坐标为 ，过点C作 轴，作 轴，
将 沿直线AB翻折，
， ， ，
， ， 点C在第二象限， ，
点C恰好落在双曲线 上，
， 故选：D．
设点C的坐标为 ，过点C作 轴，作 轴，由折叠的性质易得
， ， ，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．
本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．
，
，
，
7.【答案】
【解析】解：依题意有 ，
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解得 ． 故答案为： ．
当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
考查了函数自变量的取值范围，关键是熟悉当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零的知识点． 8.【答案】
【解析】解：
故答案为 ．
根据解不等式的过程解题，最后系数化1时进行分母有理化即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，解决本题的关键是系数化1时进行分母有理化．
9.【答案】
【解析】解：令 ， ，
，
故答案为：
先求出方程 的两个根 、 ，再把多项式写成 的形式
本题考查了实数范围内分解因式，明确一元二次方程的根与因式分解的关系，是解题的关键．
10.【答案】 ，
【解析】解： ， ，
， ， ， ．
故答案为： ， ．
把方程的左边分解因式得到 ，得到 ， ，求出方程的解即可． 本题主要考查对解一元二次方程 因式分解法，解一元一次方程，因式分解 提公因式法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 11.【答案】以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆
【解析】解：平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是以点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
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根据圆的定义就可解决问题．
本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 12.【答案】
【解析】解：设所求边长为x，则矩形的长为 ． 根据题意得： ． 故答案为： ．
设所求边长为x，则矩形的长为 ，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 本题主要考查的是一元二次方程的应用以及一元二次方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键． 13.【答案】
【解析】解：由题意可得 ， 则 ．
故答案为： ．
根据 时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
时， 时，此题主要考查反比例函数图象的性质：图象是位于一、三象限．
图象是位于二、四象限． 14.【答案】5
【解析】解： ． 故答案为：5．
利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解． 15.【答案】 且
【解析】解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，
解得： 且 ． 故答案为： 且 ．
根据二次项系数非零及根的判别式 ，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式 ，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 16.【答案】8
【解析】解：如图， 中， 于D，E是AC的中点， ， ，
．
在直角 中， ， ， ，则根据勾股定理，得 ． 故答案是：8．
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 ；然后在直角 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
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17.【答案】30
【解析】解：过点D作 于E点，
是 的角平分线， ， ， ． ， ． ． ， ．
．
故答案为30．
过点D作 于E点，根据角平分线性质可得 ，从而 ，则 ，可知 ，再利用角平分线的定义可求 度数． 本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键． 18.【答案】 或
【解析】解：分两种情况：
当 为锐角时，如图所示，过A作 于F，
由折叠可得，折痕DE垂直平分AC， ，
， 是等腰直角三角形， ， 又 ，
中， ， ；
当 为钝角时，如图所示，过A作 于F，
同理可得， 是等腰直角三角形， ， 又 ，
中， ， ； 故答案为： 或 ．
过A作 于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形
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进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】解：原式
．
【解析】利用二次根式的乘法法则、完全平方公式和分母有理化进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：将方程整理，得： ， ， ， ，
， 则
，
， ．
【解析】先将方程整理成一般式，再利用公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】60 40
【解析】解： 从图象可以看出AB之间的距离为60千米， 故答案为60；
甲的速度为： ，故 ， 故答案为： ； 乙的速度为： ， 故答案为40．
从图象可以看出AB之间的距离为60千米，即可求解； 甲的速度为： ，即可求解； 乙的速度为： ，即可求解．
此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙的速度．
22.【答案】解：设 ，
，
．
把 时， ；当 时， 代入可得： ，
解得， ，
关于x的函数解析式为 ．
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【解析】可设 ， x的函数解析式；
，把已知条件代入则可求得y与
本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分． 23.【答案】证明： ，
，即 ． 又 ， ， ．
在 和 中， ，
≌
全等三角形的对应角相等 ， 等角对等边 ，
点G在线段FC的垂直平分线上．
【解析】证得 ≌ ，推知 ，然后由“等角对等边”证得 ，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】证明：
取DE的中点F，连接AF， ， ， ， ，
，
，
， ， ， ， ，
，
．
【解析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出 ，推出 ，根据等腰三角形的性质求出 ， ，求出 ， ，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中． 25.【答案】解： 设正比例函数的解析式为 ，
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正比例函数图象经过点 ， ， ，
比例函数的解析式为 ； 把 代入解析式得， ； 轴，
点的横坐标为2，D点的横坐标为3，
设反比例函数的解析式为 ，分别代入得 ， ， ， ， ，
，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ；
是等腰直角三角形；
理由是：由 得： ， ， ，
， ， ，
，且 ， 是等腰直角三角形．
【解析】 设正比例函数的解析式为 ，代入A的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把B代入即可求得m的值；
D点的横坐标为3， 根据题意得出C点的横坐标为2，设反比例函数的解析式为 ，分别代入得 ， ，进而求得 ， ，根据 列方程，解方程求得m的值，即可求得解析式；
根据两点的距离公式可得AB和AD，BD的长，根据勾股定理的逆定理可得结论． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据题意求得C、D的坐标是解题的关键． 26.【答案】解： 如图1， ， ， ， ， ， ， ，
，
；
过F作 于H， ，
，
，
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四边形ABHF是矩形，
， ， ， ，
， ， ∽ ，
，
，
， ；
， ， ，
， ，
， ， 在 中，
， ， ， ．
【解析】 如图1，根据勾股定理得到 ，根据射影定理即可得到结论；
过F作 于H，根据平行线的性质得到 ，根据矩形的性质得到 ， ，求得 ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到 ，根据角平分线的性质得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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