初高中衔接 函数专题复习

一、知识要点及典型例题

1、正比例函数

形如ykxk0的函数称为正比例函数，其中k称为函数的比例系数.

（1）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； （2）当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.

2、一次函数

形如ykxb的函数称为一次函数，其中k称为函数的比例系数，b称为函数的常数项. （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小. 例1 在一次函数y＝(m－3)xm-1＋x＋3中，符合x≠0，则m的值为 . 例2 已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（ ） A、﹣2

B、﹣1 C、0

D、2

例3 已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点x1,y1,x2,y2，如果满足y1y2，那么x1 x2.

3、待定系数法求解函数的解析式

（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程.

（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数k、b.

例4 已知 一次函数ykxb的图象经过M(0，2)，(1，3)两点. （1）求k、b的值；

（2）若一次函数ykxb的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值.

4、一次函数与方程、不等式结合

（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察

（2）一次函数的交点问题 求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可.

例5 已知一次函数yaxb的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式

a(x1)b0的解集为（ ）

A、x<－1 B、x> -1 C、x>1 D、x<1

例6 在同一平面直角坐标系中，若一次函数yx3与y3x5图象交于点M，则点M的坐标（ ） A、（-1，4）

B、（-1，2） C、（2，-1） D、（2，1）

5、一次函数的基本应用问题

例7 如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B一D→ C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y,则y关于x的函数图象大致是( )

例8 如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C. （1）求k的值； （2）求△ABC的面积.

二、巩固练习

1.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_______.

2.直线y=x－1的图像经过象限是（ ）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限 3.一次函数y=6x＋1的图象不经过（ ） ．．．A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

4.直线ykx1一定经过点（ ）.

A、(1，0) B、(1，k) C、(0，k) D、(0，－1) 5.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ） A、2 B、-2 C、1 D、-1 6.一次函数y2x4的图象与y轴的交点坐标是（ ） A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2）

7.若直线y2x4与直线y4xb的交点在第三象限，则b的取值范围是（ ） A、4b8 B、4b0 C、b4或b8 D、4b8 8.结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是( ) A、y=1 B、1≤y<4 C、y=4 D、y>4

9.如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程

L2 y l1 P 3 x yk1xb1,组的解是（ ）

ykxb22x2,x3,x2,x2A、 B、 C、 D、

y3y3y3y2-2 O

10.已知一次函数ykxbk0图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式.

11.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．

（1）当b＝3时，①求直线AB的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值； （2）若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D． 当P'D DC=1 3时，求a的值；

（3）是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由..

专题二 反比例函数及其基本性质

一、知识要点及典型例题

1、反比例函数的基本形式

一般地，形如ykk1（k为常数，ko）的函数称为反比例函数.y还可以写成ykx

xx

ykk(k0) y(k0) xx2、反比例函数中比例系数k的几何意义

（1）过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半.

（2）正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=

k（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，xk（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，x垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关. （3）正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=

过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关.

例1 点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线y轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）

A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定 例2 如图，双曲线y1

于点Q，连续OQ，当点P沿xx

k(k0)与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作x

垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 .

3、反比例函数的图像问题

（1）反比例函数的图像取决于比例系数.

（2）利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合 例1 函数yaxa与ya(a0)在同一坐标系中的图象可能是（如图所示） x

例2 如图，正比例函数y1k过A点作xx的图象与反比例函数y(k0)在第一象限的图象交于A点，

2x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PAPB最小.

2

例3 已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，

xx的取值范围是( )．

A、x＞2 B、－1＜x＜0 C、x＞2，－1＜x＜0 D、x＜2，x＞0

4、反比例函数的基本应用

例1 如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A(2,0)、B(6,0)、D(0,3)，反比例函数的图象经过点C．

（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．

例2 如图，点A在双曲线y＝

k的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，x且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．

二、巩固练习

1.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数

k22k1y的图象上.若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为( )

xA、1

B、－3

C、4

D、1或－3

2.如图所示，在反比例函数y2(x0)的图象上有点P1,P2,P3,P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，x分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4，则

S1S2S3 .

3.如图,直线l和双曲线yk(k0)交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、xP分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（ ）

A、S1＜S2＜S3 B、 S1>S2>S3 C、S1=S2>S3 D、S1=S2y C O A D x

B 4.一次函数yxm(m0)与反比例函数ym的图像在同一平面直角坐标系中是（ ） x

k1k1

5.如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x

xx的取值范围是

A、-1＜x＜0 B、-1＜x＜1 C、x＜-1或0＜x＜1 D、-1＜x＜0或x＞1

-3

6.点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的图象上，若x1xA、 y3B、y1C、y3D、y27.如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数y2=＞y2，则x的取值范围是

kk0的图象交于A（1,4）、B（4,1）两点，若y1x

8.如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=（1）求k的值及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

k，与x轴交于点B． x>0的图象交于点A（4，2）

x

9.已知一次函数y1xm的图象与反比例函数y2当0x1时，y1y2.

yA6的图象交于A、B两点，.已知当x1时，y1y2；xCOBx

（1）求一次函数的解析式；

（2）已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.

10.如图，M为双曲线y3上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于D、Cx两点，若直线yxm与y轴交与点A，与x轴交与点B，求AD·BC的值.

专题三 二次函数及其基本性质

一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用

1、二次函数的解析式及其求解

一般的，形如yaxbxc(a0,a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，

2a、b、c分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）一般式 yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式 yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22（3）交点式 已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式 yaxx1xx2.

（4）对称点式 已知图像上有两个关于y轴对称的点x1,k,x2,k，那么函数的方程可以选用对称点式

yaxx1xx2k，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了.

例1 根据题意，求解二次函数的解析式.

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程

（2）已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式. （4）已知二次方程ax2bxc3的两个根是-1和2，而且函数yaxbxc过点（3,4），求函数

2yax2bxc的解析式.

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.

（6）已知二次函数当x＝2时有最大值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.

2、二次函数的基本图像

（1）二次函数yax的图像 一般地，抛物线yax的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.

（2）二次函数ya(xh)k的图像 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h；顶点坐标是（h，k）.

（3）二次函数ya(xh)k与yax图像的关系 一般地，抛物线ya(xh)k与yax形状相同，位置不同.把抛物线yax向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线ya(xh)k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.

222222222

（4）二次函数yaxbxc(a0)的图像 一般地，我们可以用配方法求抛物线

2b4acb2222yaxbxc(a0)的顶点与对称轴.yaxbxcax，因此，抛物线

2a4ab4acb2b,). yaxbxc(a0)的对称轴是x，顶点坐标是(2a4a2a22例1 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A、y=3(x+3)2－2

B、y=3(x+3)2+2

C、y=3(x－3)2－2

D、.y=3(x－3)2+2

例2 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（ ）

A、y=－x2+2x+3

B、y=x2－2x－3

C、y=－x2－2x+3

D、y=－x2－2x－3

例3 已知抛物线的解析式为y＝(x－2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A、(－2,1)

B、(2，1)

C、(2，－1)

D、(1，2)

例4 关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n（m≠0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）

3、二次函数的增减性及其最值

（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增

4acb2大；在对称轴处取到最小值，越靠近对称轴，函数值越小.

4a（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减

4acb2小；在对称轴处取到最大值，越靠近对称轴，函数值越大.

4a例1 二次函数yax2bxc的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（

）

A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、不能确定

例2 设A(2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y(x1)m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（ ） A、y1y2y3 B、y1y3y2 C、y3y2y1 D、y2y1y3

24、二次函数中三大参数的和函数图像的关系

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

2（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线x2b,故 2a①b0时，对称轴为y轴；②0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

2bab0(即a、b异号)时,a2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)

①c0，抛物线经过原点； ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

2b0. a例1 已知二次函数yaxbxc（a0）的图象如图4所示，有下列四个结论

①b0②c0③b24ac0④abc0，其中正确的个数有（ ）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

例2 已知二次函数

的图象如图所示，有下列结论 ①

；②abc＞0；

③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0.其中，正确结论的个数是( ). A、1 B、2 C、3 D、4

二、二次函数的基本应用

1、二次函数求解最值问题

例1 某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售.

（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；

（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为

1z(x8)212， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？

8并求最大利润为多少？

2、二次函数中的面积问题

例 如图，直线y35x6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线yx与AB交于点C，与过点A44且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与．点E的运动时间为t（秒）． △ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）（1）求点C的坐标；

（2）当0t5时，求S与t之间的函数关系式； （3）求（2）中S的最大值；

（4）当t0时，直接写出点4，在正方形PQMN内部时t的取值范围．

y D Q B C O

P E A N x M 92

3、涵洞桥梁隧道问题

例1 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系. （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

三、二次函数中的动点问题

注意动的点以及其所构成的位置关系.一般而言会有两个到三个点运动.此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同.

例 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

巩固练习

1.已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y轴交点为（0，7），则函数的解析式为__________.

22.已知过点（2，0），（3，5）的抛物线yaxbxc与直线y3x3相交与x轴上，则二次函数的解

析式为__________.

3.已知二次函数yax2bxc，其顶点为（2,2)，图象在x轴截得的线段长为2，则这个二次函数的解析式为__________.

4.已知函数的yax2bxc过点(1,3),且函数的对应方程的根是2和4，则方程ax2bxc13的解为__________.

5.抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是直线（ ） A.x1

B.x1

C.x3

2D.x3

6.在同一平面直角坐标系内，将函数y2x4x1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）

A.（1，1） B.（1，2） C.（2，2） D.（1，1）

7.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A.y3(x2)3 B.y3(x2)3 C.y3(x2)3 D.y3(x2)3 8.已知二次函数y＝－

1215x －7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值222222y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A.y1＞y2＞y3 9.已知二次函数

B. y1＜y2＜y3

(其中

C.y2＞y3＞y1 ，

，

D. y2＜y3＜y1

)，关于这个二次函数的图象有如下说

法 ①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的有( )．

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

10.已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示对称轴为xA.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a十c<2b 11.已知二次函数

中，其值大于0的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

的图象如图所示，则下列5个代数式 ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b

21.下列结论中，正确的是（ ） 2

12.新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA.曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y5x205x1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12.

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

2

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A.C分别在x轴.y轴的正半轴上，二次函数y=22xbxc的图像经过B.C两点． 3（1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图像探索 当y>0时x的取值范围.

14.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

）．

15.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱

的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m.高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计)）？请说明你的理由.

16.如图，抛物线yx2x3与x轴相交于A.B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）直接写出A.B.C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系.

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