2014年江苏高考数学真题及答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上． ．．．

1. 已知集合A={2,1,3,4}，B{1,2,3}，则AB▲.

2. 已知复数z(52i)2(i为虚数单位),则z的实部为▲.

3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.

4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.

5. 已知函数ycosx与ysin(2x)(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为

交点,则的值是▲.

6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测

的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.

7. 在各项均为正数的等比数列{an}中,a21,a8a62a4,则a6的值是▲.

8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，

且

9. 在平面直角坐标系xOy中,直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为

▲.

10. 已知函数f(x)x2mx1,若对于任意x[m,m1],都有f(x)0成立,则实数m的

取值范围是▲.

11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2b(a，b为常数) zxxk过点P(2,5)，且该x曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是▲. S19V，则1的值是▲. S24V2频率 组距nnn0 1 2n20

的3

12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，

CP3PD，APBP2，则ABAD的值是▲.

13. 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x[0,3)时,f(x)|x22x1|.若函数2yf(x)a在区间[3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.

14. 若△ABC的内角满足sinA2sinB2sinC,则cosC的最小值是▲.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出．．．．．．．

文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)

5已知(,),sin.

52)的值；

45(2)求cos(2)的值.

6(1)求sin(

16.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分zxxk别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA6, BC8,DF5.

求证: (1)直线PA//平面DEF；

(2)平面BDE平面ABC. P D

AC

E

F B （第16题）

17.(本小题满分14分)

ab顶点B的坐标为(0,b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

41(1)若点C的坐标为(,),且BF22,求椭圆的方

33程；

(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.

如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆

x22y32右焦点，1(ab0)的左、

18.(本小题满分16分)

如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北

4方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO.

3(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？ （第18题）

19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)exex,其中e是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式mf(x)≤exm1在(0,)上恒成立，学科网求实数m的取值范围；

33x0)成立.试比较ea1与ae1(3)已知正数a满足：存在x0[1,)，使得f(x0)a(x0的大小，并证明你的结论.

20.(本小题满分16分)

设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n，学科网总存在正整数m，使得Snam，则称{an}是“H数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn2n(nN),证明:{an}是“H数列”;

(2)设{an} 是等差数列,其首项a11,公差d0.若{an} 是“H数列”,求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得anbncn (nN)成立.

2014年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B= {﹣1，3} ．

考点：交 集及其运算． 专题：集 合． 分析：根 据集合的基本运算即可得到结论． 解答：解 ：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：本 题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2

2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）（i为虚数单位），则z的实部为 21 ．

考点：复 数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题：数 系的扩充和复数． 分析：根 据复数的有关概念，即可得到结论．

22

解答：解 ：z=（5+2i）=25+20i+4i=25﹣4+20i=21+20i，

故z的实部为21， 故答案为：21 点评：本 题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础． 3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．

考点：程 序框图．菁优网版权所有 专题：算 法和程序框图．

n

分析：算 法的功能是求满足2＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．

n

解答：解 ：由程序框图知：算法的功能是求满足2＞20的最小的正整数n的值，

45

∵2=16＜20，2=32＞20， ∴输出n=5． 故答案为：5． 点评：本 题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关

键． 4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是

．

考点：古 典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：概 率与统计． 分析：首 先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个

数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可． 解答：解 ：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，

3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个， 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，

故所求概率P=故答案为：．

点评：本 题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件． 5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为

的交点，则φ的值是

．

．

考点：三 角方程；函数的零点．菁优网版权所有 专题：三 角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：

由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为

的交点，可得

=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．

解答：

解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为

∴

∵0≤φ＜π，∴∴

+φ=

． ． ，

=．

，

的交点，

解得φ=故答案为：

点评：本 题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题． 6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm．

考点：频 率分布直方图．菁优网版权所有 专题：概 率与统计． 分析：根 据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据

频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数． 解答：解 ：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，

∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）． 故答案为：24． 点评：本 题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×

组距=

．

7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 ．

考点：等 比数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：等 差数列与等比数列． 分析：利 用等比数列的通项公式即可得出． 解答：解 ：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．

∵a8=a6+2a4，

∴

4

2

，

2

化为q﹣q﹣2=0，解得q=2． ∴a6=

=

=1×2=4．

2

故答案为：4． 点评：本 题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且

=，则

的值是

．

考点：棱 柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题：立 体几何． 分析：设 出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 解答：解 ：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；

∵

=，

∴∴

，它们的侧面积相等，，

∴===．

故答案为：．

点评：本 题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．

2

9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）+（y+1）

2

=4截得的弦长为 ．

考点：直 线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：直 线与圆． 分析：求 出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到

直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．

22

解答：解 ：圆（x﹣2）+（y+1）=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，

∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d=

2

=，

2

∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）+（y+1）=4截得的弦长为2

故答案为：

=2

．

=

点评：本 题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、

圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

2

10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是 （﹣

考点：二 次函数的性质．菁优网版权所有 专题：函 数的性质及应用． 分析：

由条件利用二次函数的性质可得

求得m的范围．

2

解答：解 ：∵二次函数f（x）=x+mx﹣1的图象开口向上，

对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，

∴

，

，0） ．

，由此

即 ，解得﹣＜m＜0，

故答案为：（﹣，0）．

点评：本 题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是 ﹣3 ．

考点：利 用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：导 数的概念及应用．

2

分析： 2

由曲线y=ax+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线

7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=解答：

解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=

2

，解方程可得答案．

，

曲线y=ax+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行， ∴y′=2ax﹣

，

∴，

解得：，

故a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 点评：本 题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣

5，且y′|x=2=

12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3则

•

的值是 22 ．

，•

=2，

，是解答的关键．

考点：向 量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：平 面向量及应用． 分析：

由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3构造方程，进而可得答案． 解答：

解：∵=3，

∴

=

+

，

=

﹣

，

，•=2，

又∵AB=8，AD=5，

∴•=（+）•（﹣）=||﹣

2

•﹣||=25﹣

2

•﹣

12=2， 故

•

=22，

故答案为：22． 点评：本 题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得

到

=

+

，

=

﹣

，是解答的关键．

13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 （0，） ．

考点：根 的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 专题：函 数的性质及应用． 分析：在 同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可． 解答： 2

解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，

若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知故答案为：（0，）．

．

2

点评：本 题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． 14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是

．

考点：余 弦定理；正弦定理．菁优网版权所有 专题：三 角函数的图像与性质；解三角形． 分析：根 据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论． 解答：

解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），

由余弦定理得cosC===

=当且仅当故故答案为：

≥

时，取等号，

=，

≤cosC＜1，故cosC的最小值是

．

．

点评：本 题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（（1）求sin（（2）求cos（

+α）的值； ﹣2α）的值．

，π），sinα=

．

考点：两 角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有 专题：三 角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：

（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（

（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（解答：

解：α∈（

（1）sin（∴sin（

，π），sinα=+α）=sin

．∴cosα=﹣

sinα=

+α）的值；

﹣2α）的值． =

=﹣

；

cosα+cos

．

+α）的值为：﹣

，π），sinα=

（2）∵α∈（﹣

．∴cos2α=1﹣2sinα=，sin2α=2sinαcosα=

2

∴cos（

．

cos（

﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣

﹣2α）的值为：﹣．

点评：本 题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．

考点：平 面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：空 间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析：（ 1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可． 解答：证 明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE+EF=DF， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC． 点评：本 题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间

的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．

2

2

2

17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a

＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C． （1）若点C的坐标为（，），且BF2=（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

，求椭圆的方程；

考点：椭 圆的简单性质；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：圆 锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（ 1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．

（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值． 解答：

解：（1）∵C的坐标为（，），

∴∵∴a=（

2

，即

，

，

）=2，即b=1，

+y=1．

2

22

则椭圆的方程为

（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∵B（0，b）， ∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程

+

=1（a＞b＞0）得（

）x﹣

2

=0，

解得x=0，或x=，

∵A（，），且A，C关于x轴对称，

∴C（，﹣），

则=﹣=，

∵F1C⊥AB， ∴

×（

）=﹣1，

由b=a﹣c得

222

，

即e=．

点评：本 题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜

率之间的关系，运算量较大． 18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=． （1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

考点：圆 的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：直 线与圆． 分析：（ 1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通

过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；

（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数

式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大． 解答：解 ：（1）如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，

∵∠ABC=90°，∠BEC=90°， ∴∠ABF=∠BCE， ∴

．

设AF=4x（m），则BF=3x（m）． ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m）， ∴BE=（3x+60）m． ∵∴CE=∴∴

， ，

（m）． （m）．

解得：x=20．

∴BE=120m，CE=90m， 则BC=150m； （2）如图，

设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P， ∵∠POM=∠PQC=90°， ∴∠PMO=∠BCO． 设OM=xm，则OP=

m，PM=

m．

∴PC=

设⊙M半径为R， ∴R=MQ=

m，PQ=m．

m=m．

∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m， 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣

﹣（60﹣x）≥80，136﹣

﹣x≥80．

解得：10≤x≤35．

∴当且仅当x=10时R取到最大值． ∴OM=10m时，保护区面积最大． 点评：本 题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是

中档题．

x﹣x

19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e+e，其中e是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是R上的偶函数；

﹣x

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

3a

（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0+3x0）成立，试比较e﹣1e﹣1

与a的大小，并证明你的结论．

考点：利 用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 专题：导 数的综合应用． 分析：（ 1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；

﹣x

（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；

（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．

x﹣x

解答：解 ：（1）∵f（x）=e+e，

﹣xx

∴f（﹣x）=e+e=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；

﹣x

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

x﹣x﹣x

即m（e+e﹣1）≤e﹣1， ∵x＞0，

x﹣x

∴e+e﹣1＞0，

即m≤

在（0，+∞）上恒成立，

设t=e，（t＞1），则m≤

x

在（1，+∞）上恒成立，

∵=﹣=﹣，当且仅当t=2

时等号成立，

∴m．

x

﹣x

3

（3）令g（x）=e+e﹣a（﹣x+3x），

x﹣x2

则g′（x）=e﹣e+3a（x﹣1），

当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增， 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，

由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0+3x0）成立， 故e+﹣2a＜0， 即a＞（e+），

令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则h′（x）=1﹣由h′（x）=1﹣

，

=0，解得x=e﹣1，

3

当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）， 注意到h（1）=h（e）=0，

∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e

e﹣1

a﹣1

＜a，

e﹣1a﹣1

②当a=e时，a=e，

③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1

a﹣1e﹣1

＞（e﹣1）lna，从而e＞a． 点评：本 题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的

关键，综合性较强，运算量较大． 20．（16分）（2014•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．

n*

（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2（n∈N），证明：{an}是“H数列”；

（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；

*

（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+c（nn∈N）成立．

考点：数 列的应用；等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：等 差数列与等比数列． 分析：（ 1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数

列的意义即可得出．

（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N，∃m∈N使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；

（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．

nn﹣1n﹣1

解答：解 ：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣2=2，

当n=1时，a1=S1=2． 当n=1时，S1=a1． 当n≥2时，Sn=an+1．

∴数列{an}是“H”数列．

（2）Sn=

*

*

**

=，

，

，

对∀n∈N，∃m∈N使Sn=am，即取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得

∵d＜0，∴m＜2，

*

又m∈N，∴m=1，∴d=﹣1．

（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，

*

对∀n∈N，bn+1﹣bn=﹣a1， cn=（n﹣1）（a1+d），

*

对∀n∈N，cn+1﹣cn=a1+d，

则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列． 数列{bn}的前n项和Tn=令Tn=（2﹣m）a1，则

．

，

当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．

*

当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N．

**

因此对∀n∈N，都可找到m∈N，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列． 数列{cn}的前n项和Rn=令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=

*

*

， ．

∵对∀n∈N，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N．

**

因此对∀n∈N，都可找到m∈N，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列． 因此命题得证． 点评：本 题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n

项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】

21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．

考点：弦 切角．菁优网版权所有 专题：直 线与圆． 分析：利 用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 解答：证 明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 点评：本 题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

【选修4-2：矩阵与变换】

22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=若A

=B

，求x+y的值．

，B=

，向量

=

，x，y为实数，

考点：矩 阵与向量乘法的意义．菁优网版权所有 专题：矩 阵和变换． 分析：

利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值． 解答：

解：∵矩阵A=

，B=，向量=，A=B，

∴，

∴x=﹣，y=4， ∴x+y=

点评：本 题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．

【选修4-3：极坐标及参数方程】

23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为

参数），直线l与抛物线y=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

考点：直 线的参数方程．菁优网版权所有 专题：计 算题；坐标系和参数方程．

2

分析：直 线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线

段AB的长． 解答：

解：直线l的参数方程为

，化为普通方程为x+y=3，

2

与抛物线y=4x联立，可得x﹣10x+9=0，

∴交点A（1，2），B（9，﹣6）， ∴|AB|=

=8

．

22

点评：本 题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

【选修4-4：不等式选讲】

22

24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y）（1+x+y）≥9xy．

考点：不 等式的证明．菁优网版权所有 专题：证 明题；不等式的解法及应用． 分析： 22

由均值不等式可得1+x+y≥3，1+x+y≥，两式相乘可得结论． 解答： 2

证明：由均值不等式可得1+x+y≥3

2

2

，1+x+y≥

2

分别当且仅当x=y=1，x=y=1时等号成立，

22

∴两式相乘可得（1+x+y）（1+x+y）≥9xy． 点评：本 题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．

(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

考点：离 散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：概 率与统计． 分析：（ 1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式

计算即可；

（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可． 解答： （1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有解=10种可能

情况

∴取出的2个球颜色相同的概率P=

．

（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=

于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=X的概率分布列为

X 2 3 4 P

故X数学期望E（X）=

，

．

点评：本 题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础

题．

26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=n∈N． （1）求2f1（

）+

f2（

*

*

（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，

）的值；

）+

fn（

）|=

都成立．

（2）证明：对任意n∈N，等式|nfn﹣1（

考点：三 角函数中的恒等变换应用；导数的运算．菁优网版权所有 专题：函 数的性质及应用；三角函数的求值． 分析：（ 1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0

（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，

把x=

代入式子求值；

（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=解答： 解：（1）∵f0（x）=

代入所给的式子求解验证．

，∴xf0（x）=sinx，

则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，

∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N， ∴f0（x）+xf1（x）=cosx，

两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx， 将x=

代入上式得，2f1（

）+

f2（

）=﹣1，

），

*

（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+

恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π）， 再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+

），

同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）， 猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当n=1时，

②假设n=k（k＞1且k∈N）时等式成立，即

，

∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）

=（k+1）fk（x）+xfk+1（x） 又=

=

**

）对任意n∈N恒成立，

*

成立，则上式成立；

=

，

∴那么n=k+1（k＞1且k∈N）时．等式

也成立，

由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+令x=

代入上式得，nfn﹣1（

*

）对任意n∈N恒成立， ）=sin（fn（

）|=

+

）=±cos都成立．

=±

，

*

）+fn（）+

所以，对任意n∈N，等式|nfn﹣1（

点评：本 题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证

明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．