优化探究高考数学一轮复习 选修部分 几何证明选讲课时作业 理 新人教A版选修4-1-新人教A版高三选

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 选修部分 几何证明选讲课时

作业 理 新人教A版选修4-1

A组 考点能力演练

1.(2016·某某模拟)如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，

ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．

解：因为AE∥BC，D为AC的中点，

AEAG1

所以AE＝CF，＝＝. BFBG3

设AE＝x，又BC＝8， 所以

1

＝，3x＝x＋8，所以x＝4. x＋83

x所以AE＝4.

2.(2016·某某模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦

BM与CD交于点F.

(1)证明：A，E，F，M四点共圆； (2)证明：AC＋BF·BM＝AB.

证明：(1)连接AM(图略)，则∠AMB＝90°. ∵AB⊥CD，∴∠AEF＝90°.

∴∠AMB＋∠AEF＝180°，即A，E，F，M四点共圆． (2)连接AC，CB(图略)．由A，E，F，M四点共圆， 得BF·BM＝BE·BA.

在Rt△ACB中，BC＝BE·BA，AC＋CB＝AB，∴AC＋BF·BM＝AB.

3.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AE111＝AC，BD＝AB，且CF＝BC. 333

求证：(1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC. 证明：设AB＝AC＝3a， 则AE＝BD＝a，CF＝2a.

2

2

2

2

2

2

2

2

CE2a2CF2a2(1)＝＝，＝＝. CB32a3CA3a3

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC， 由∠BAC＝90°得∠EFC＝90°，故EF⊥BC.

- 1 - / 4

word

(2)由(1)得EF＝·AB＝2a， 故∴

FCACAEa2AD2a2＝＝，＝＝， EF2a2BF22a2AEAD＝， EFBF∴△ADE∽△FBE， 所以∠ADE＝∠EBC.

1

4.(2016·某某双基)如图，在正△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝BC，CE＝

31

CA，AD，BE相交于点P.求证： 3

(1)四点P，D，C，E共圆； (2)AP⊥CP.

11

证明：(1)在正△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA，知：△ABD≌△BCE，

33∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π， ∴四点P，D，C，E共圆．

(2)连接DE(图略)，在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°， 由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，∴AP⊥CP. 5.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.

(1)求证：l是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长． 解：(1)证明：连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，从而OP⊥l.

∵点P在⊙O上，∴l是⊙O的切线． 1

(2)由(1)可知OP＝(AC＋BD)，

2∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6.

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE＝BD－AC＝6－4＝2. ∴在Rt△ABE中，AE＝AB－BE＝10－2＝46. ∴CD＝46.

- 2 - / 4

2222与lword

B组 高考题型专练

1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形． 2.(2015·高考某某卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两

弦

AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证

明：

(1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO.

证明：(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，以OM⊥AB，ON⊥CD，

所

即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.

(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.

3．(2015·高考某某卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.

(1)证明：∠CBD＝∠DBA；

(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径． 解：(1)证明：因为DE为⊙O的直径， 则∠BED＋∠EDB＝90°，

- 3 - / 4

word

又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 从而∠CBD＝∠BED.

又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA. (2)由(1)知BD平分∠CBA， 则

BAAD＝＝3，又BC＝2，从而AB＝32. BCCD2

2

所以AC＝AB－BC＝4，所以AD＝3.

AB2

由切割线定理得AB＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.

AD2

4.(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

(1)证明：EF∥BC；

(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．

解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线． 又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC. (2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线． 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上． 连接OE，OM，则OE⊥AE.

由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△

ABC和△AEF都是等边三角形．

因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2. 1

因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝3，所以OD＝1.

2103

于是AD＝5，AB＝.

3

110323131632

所以四边形EBCF的面积为××－×(23)×＝. 232223

- 4 - / 4